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Alpha系列（五）——因子模型

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Alpha系列——因子模型不管是在现代的量化金融还是稍早的数量经济学领域，因子模型一直占据着核心地位。它不仅是对收益和风险的一个理想、简单的建模工具，还因为其有效性而备受理论界及工业界的青睐。在这篇教程中， ...

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Alpha系列——因子模型
不管是在现代的量化金融还是稍早的数量经济学领域，因子模型一直占据着核心地位。它不仅是对收益和风险的一个理想、简单的建模工具，还因为其有效性而备受理论界及工业界的青睐。在这篇教程中，我们将详细得阐述因子模型的理论基础和实践指南，并将结合金融市场的实际应用案例。

因子模型理论基础
https://pic3.zhimg.com/v2-19b68a6d21f7a39482067a7a000c5c63_b.jpg
其中：

xi,t代表第i个资产在时间t的随机变量，如收益率
αi代表资产i的截距
ft表示共同因子，在不同的资产i之间保持常量
β表示资产i的因子负荷，或者可以理解为因子ft的参数向量
ϵi,t表示资产i的残差收益率，可以包含资产i的特异收益率

还记得在《Alpha系列——从MPT到APT》里，我们说到关于因子的概念么？大家可以从下面的图看到，左边的两列分别代表股票和时间，后三列代表的是三个不同的因子，图中因子下面的单元格的不同颜色代表不同值。不难发现，图中每个股票每个时间下面各个因子的颜色（值）是一样的，也就是说因子变量在不同股票间是共享的，每个股票的因子数据就是所有股票的共同因子数据，不过是在不同股票间重复而已。作为对比，我还列了一个一般意义上表示特征的表格，大家可以发现在特征表格中所有的值在一般意义上都是不同的。
https://xqimg.imedao.com/1646967e4b63dd0f3fdb0b43.jpg!custom660.jpg
https://pic4.zhimg.com/v2-a32f302d1bb818a5c2ce019c4c2de0fa_b.jpg
上述因子模型的向量化版本为：
https://pic4.zhimg.com/v2-aaa7a0e851744ed78b219f2ae3a1bc74_b.jpg
其中B是因子负荷矩阵。
模型基本假设
模型假设1，ft是一个平稳过程：
https://pic3.zhimg.com/v2-f25a0c6b11fe1dd656cbcea984765688_b.jpg
模型假设2，ϵt是一个白噪声过程：
https://pic1.zhimg.com/v2-878659748ba123a35b1e83b2deb3fcea_b.jpg
其中，Ψ是一个(m x m)的对角矩阵，对角元素为(σ12,σ22⋯σm2)。σi2为第i个资产的残差风险（特异风险）方差。
模型假设3，f与ϵ两两不相关:
https://pic1.zhimg.com/v2-1322c8058d19eb9aaf0219add4777149_b.jpg
模型基本性质
条件矩：
https://pic1.zhimg.com/v2-87d05d04bc7100bfd9ae221683d9582c_b.jpg
无条件矩：
https://pic1.zhimg.com/v2-c8e7cf5bd533d39cbb96717686e94503_b.jpg
值得注意的是，它们最大的差异在于方差部分，在因子是条件信息的情况下，不确定性仅由资产的特异风险构成；当因子信息不给定时，就有因子预测μf代替ft，从而引入了因子不确定性，所以资产收益的无条件方差等于因子不确定性加上资产的特异不确定性。
看过之前教程的读者可能会回忆起来，要估计Cov[xt]协方差矩阵，本身要估 N(N-1)/2 个参数，而且参数估计误差使得协方差估计矩阵类似随机矩阵，只由少数特征值提供了大部分信息，这导致了实践应用的困难。而因子模型则拯救了我们，把估计整个协方差矩阵的任务分解成因子的协方差矩阵和资产的特异协方差矩阵。其中因子协方差矩阵的维度(K x K)要远远少于整个资产空间的维度(N x N)，而特异协方差矩阵是一个对角矩阵，所以说本质是一个N维向量，这使得协方差估计实践中变得可行。
下面我画了一个示意图，蓝色的矩阵表示资产协方差矩阵，右边那个小矩阵代表因子协方差矩阵，绿色的则代表资产特异协方差矩阵的对角元素。可以看到，我们要估计的参数数量由原来的18x17/2变成了3x2/2加上18x1，一共是21个参数，减少到原来参数估计数量的14%左右。而在实际中资产数量要远远因子数量，假设由2000个资产数量，那么我们的参数估计比例将只有0.1%。
再论CAPM
CAPM把股票风险分解为系统风险和非系统风险：
https://pic1.zhimg.com/v2-e3454ead0e96335fb89791cf98e71763_b.jpg
其中，rm,t为市场在时间t的超额收益率, xi,t为证券i在时间t的超额收益率，βi是市场风险因子的暴露系数。
CAPM下的协方差矩阵
回顾我们之前的证明：
https://pic4.zhimg.com/v2-4117503cc81e69a936d481f5198bd5af_b.jpg
这里和我们上述的一般性因子模型的形式相同。
在下面的例子中，我随机选了5只股票，令中证800为市场指数，根据月收益率计算股票的月度beta系数。简单起见，假设无风险收益率为0。最后我们验证了直接计算X的协方差矩阵以及用因子模型来得到协方差矩阵，发现差异并不大。
https://pic3.zhimg.com/v2-ea8e05f3f657fba81e33159a0c5cfb3d_b.jpg
Barra行业因子模型
模型形式
Barra行业因子模型可以由如下形式表达：
https://pic3.zhimg.com/v2-e5d98e2211f98d4d86ac533f50413331_b.jpg
向量化形式为：
https://pic2.zhimg.com/v2-db84db7c7c7266f6bf08235ec76b241e_b.jpg
其中，
https://pic3.zhimg.com/v2-c51738544ff9d48fa64ebb74995765d9_b.jpg
βi,k是事先知道的，fk,t是不可观测的，是我们需要估计的参数，表示该行业因子在时间t的可实现收益率。另外x_{i,t}表示超额收益率，其他的模型假设和前面的因子模型相同。

由于篇幅限制，完成文章和策略完整代码请转到：《Alpha系列——因子模型》
Alpha系列回顾

Alpha系列——股票主动投资组合管理思想和框架
Alpha系列——从均值方差到有效前沿
Alpha系列——从MPT到APT
Alpha系列——主动投资管理之信息率
Alpha系列——主动管理基本定律（初级篇）

参考文献

《OCW——Factor Modeling》
《Introduction to Machine Learning:Factor Analysis Models》
《Factor Models for Asset Returns》
《Machine learning A Probabilistic Perspective》
《The Fundamental Difference Between Principal Component Analysis and Factor Analysis》

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