两万字长文带你走近神秘的量子纠缠（中2）-经管之家官网！

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隐变量诠释

贝尔当初所热衷的，是“隐变量”的问题。

在前面的“玻爱之争”一讲中，我们用掷硬币的例子来说明“上帝掷骰子”与“人掷骰子”的区别。上抛的硬币，实际上是完全遵循确定的力学规律的，它之所以表现出随机性，是因为我们不了解硬币从手中飞出去时的详细信息。也就是说，我们放弃了一些“隐变量”：硬币飞出时的速度、角速度、方向、加速度……等等。如果忽略外界的影响，把这些隐变量全都计算进去，我们可以说上抛硬币掉回原处时的状态是在离开手掌的那一刻就决定了的！

现在，爱因斯坦等人提出的 EPR 佯谬，是否也是因为我们忽略了某些隐变量的原因呢？贝尔在感情上更偏向爱因斯坦，相信爱因斯坦的观点：既然两个互相纠缠的粒子，当它们被测量仪器观测到的那一刹那，是不可能瞬时超距地传递信息的，那么，它们被测量时候的状态，就应该是在它们产生之时，或者说互相分开的那一刻，就已经决定了。这就和我们掷硬币的情形类似，随机性来源于我们尚未认识的某些隐变量，而不是像玻尔所认为的那样，后来被观测的那一刻，才临时随机选择而坍缩成某个量子态的！因此，贝尔下决心要用实际行动来支持伟人爱因斯坦，要研究这其中潜藏着的隐变量！

冯 · 诺依曼的证明

冯 · 诺依曼 ( 图片来自 Wikipedia )

可是，他一开始就碰到了高手。早在1932 年，冯·诺依曼在他的著作《量子力学的数学基础》中，为量子力学提供了严密的数学基础，其中捎带着做了一个隐变量理论的不可能性证明。他从数学上证明了，在现有量子力学适用的领域里，是找不到隐变量的！

冯·诺依曼何等人物啊！天才神童，计算机之父。这位数学大师一言既出，二十年内量子论的隐变量理论无人问津。还好，当贝尔在60年代碰到这堵高墙的时候，前面已经有人为他开路：美国物理学家戴维·玻姆 (David Bohm)在 50 年代的工作，为冯·诺依曼的隐变量不可能性证明提供了一个实际的反例。而且，玻姆还将原来 EPR 论文中非常复杂的测量位置和动量的实验，简化成了测量“电子自旋”的实验。

顽强的贝尔虽然是“业余”理论物理学家，却有“敢摸老虎屁股”的精神。他仔细研究了冯·诺依曼有关“隐变量不可能性证明”的工作后，找出了大师在数学和物理的交接之处，有一个小小的漏洞。

冯·诺依曼在他的证明中，用了一个假设：“两个可观察量之和的平均值，等于每一个可观察量平均值之和”。但是，贝尔指出，如果这两个观察量互为共轭变量，也就是说，当它们满足量子力学中的不确定性原理的话，这个结论是不正确的。

一点小插曲

这儿可以插入一段有趣的历史。贝尔是在 1964 年才指出冯·诺依曼的错误的。其实，早在 1935 年，有一个鲜为人知的德国女数学家格雷特·赫尔曼 ( Grete Hermann, 1901-1984 ) 就指出了天才数学大师的这点失误。

格雷特·赫尔曼是享有“代数女皇”之称的著名数学家艾米·诺特（Emmy Noether）在哥根廷大学的第一个学生。她早期对量子力学的数学哲学基础作了重要的贡献。1935 年，格雷特在一篇文章中提出对冯·诺依曼有关“隐变量不可能性证明”的驳斥。但遗憾的是，格雷特·赫尔曼的文章长期被忽略。即使贝尔1964 年提出冯·诺依曼有关隐变量问题的错误之后，也没有人想到当年格雷特·赫尔曼的那篇文章。又过了10 年，直到1974 年，格雷特·赫尔曼的原文已经发表了将近四十年之后，才被另一位数学家Max Jammer 发掘出来，为这位默默无闻的数学家正名。由此一事，充分显示了名人威力之强大。

Grete Hermann ( 图片来自 wikipedia )

第二次世界大战开始后，格雷特·赫尔曼积极参与了反纳粹组织的各种活动。后来几十年，她也不再涉猎数学和物理，而将她的人生兴趣转向了政治，此是与主题无关的后话。

帮「倒忙」的贝尔

确认了数学大师的这个小错误之后，贝尔探索隐变量的道路畅通了。于是，他开始构想他的理论，以此来支持他的偶像爱因斯坦，企图将量子物理的图像搬回到经典理论的大厦中！不过，他万万没料到，他最终是帮了爱因斯坦的倒忙，反过来证明了量子力学的正确性！接下来，我们稍微用点简单的数学，扼要地说明贝尔是如何得到他的著名的不等式的。

1963-1964 年，在长期供职于欧洲核子中心 (CERN) 后，约翰·贝尔有机会到美国斯坦福大学访问一年。北加州田园式的风光，四季宜人的气候，附近农庄的葡萄美酒，离得不远的黄金海滩，加之斯坦福大学既宁静深沉又宽松开放的学术气氛，孕育了贝尔的灵感，启发了他对 EPR 佯谬及隐变量理论的深刻思考。

贝尔开始认真考察量子力学能否用局域的隐变量理论来解释。贝尔认为，量子论表面上获得了成功，但其理论基础仍然可能是片面的，如同瞎子摸象，管中窥豹，没有看到更全面、更深层的东西。在量子论的深处，可能有一个隐身人在作怪：那就是隐变量。

根据爱因斯坦的想法，在 EPR 论文中提到的，从一个大粒子分裂成的两个粒子的自旋状态，虽然看起来是随机的，但却可能是在两粒子分离的那一刻 ( 或是之前 ) 就决定好了的。打个比喻说，如同两个同卵双胞胎，他们的基因情况早就决定了，无论后来他 ( 她 ) 们相距多远，总在某些特定的情形下，会作出一些惊人相似的选择，使人误认为他们有第六感，能超距离地心灵相通。但是实际上，是有一串遗传指令隐藏在他们的基因中，暗地里指挥着他们的行动，一旦我们找出了这些指令，双胞胎的“心灵感应”就不再神秘，不再需要用所谓“非局域”的超距作用来解释了。

粒子的自旋

尽管粒子自旋是个很深奥的量子力学概念，并无经典对应物，但粗略地说，我们可以用三维空间的一段矢量来表示粒子的自旋。比如，对 EPR 中的纠缠粒子对 A 和 B 来说，它们的自旋矢量总是处于相反的方向，如下图所示的红色矢量和蓝色矢量。这两个红蓝自旋矢量，在三维空间中可以随机地取各种方向，假设这种随机性来自于某个未知的隐变量 L。为简单起见，我们假设 L 只有 8 个离散的数值，L=1，2，3，4，5，6，7，8，分别对应于三维空间直角坐标系的 8 个卦限。

8 个卦限中纠缠态粒子 A 和 B 的自旋

由于 A，B 的纠缠，图中的红色矢量和蓝色矢量总是应该指向相反的方向，也就是说，红色矢量的方向确定了，蓝色矢量的方向也就确定了。因此，我们只需要考虑 A 粒子的自旋矢量 (简称红矢) 的空间取向就够了。假设红矢出现在 8 个卦限中的概率分别为 n1，n2…n8。由于红矢的位置在8 个卦限中必居其一，因此我们有：n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 + n7 + n8 = 1

现在，我们来描述 A，B 的自旋矢量在三维空间可能出现的 8 种情况。下表左半部分列出了在这些可能情况下，自旋矢量在 x，y，z方向的符号。

表1 AB 纠缠态自旋矢量的 8 种可能性以及 4 个相关函数的值

既然 A、B 二粒子系统形成了互为关联的纠缠态，我们便定义几个关联函数，用数学语言来更准确地描述这种关联的程度。比如，我们可以如此来定义 Pxx(L)：观察 x 方向红矢的符号和 x 方向蓝矢的符号，如果两个符号相同，函数 Pxx(L) 的值就为 +1，否则，函数 Pxx(L) 的值就为 -1。我们从上表列出的红矢和蓝矢的符号不难看出，Pxx(L) 的 8 个数值都是 -1。然后，我们使用类似的原则，可以定义其他的关联函数。比如说，Pxz(L)，是 x 方向红矢符号与 z 方向蓝矢符号的关联，等等。在上表的右半部分，我们列出了 Pxx(L)，Pxz(L)，Pzy(L) 和 Pxy(L) 的数值。

贝尔的思路

现在，贝尔继续按照经典的思维方式想下去：一个大粒子分裂成两个粒子 A 和 B，A，B 的自旋看起来是随机的，但实际上是按照上面的列表互相关联着的。然后，它们朝相反方向飞去。经过一段时间之后，两个粒子 A 和 B 分别被两方的观测仪器俘获了。两方的观测者分别对 A 和 B 的自旋方向进行测量。因为 L是不可知的隐变量，因此，只有关联函数的平均值才有意义。根据表 1 中的数值，我们不难预测这几个关联函数被测量到的平均值：

Pxx = -n1 - n2 - n3 - n4 - n5 - n6 - n7 - n8 = -1

Pxz = -n1 + n2 + n3 - n4 + n5 - n6 - n7 + n8

Pzy = -n1 - n2 + n3 + n4 + n5 + n6 - n7 - n8

Pxy = -n1 + n2 - n3 + n4 - n5 + n6 - n7 + n8

让我们直观地理解一下，这几个关联函数是什么意思呢？可以这样来看：Pxx 代表的是 A 和 B 都从 x 方向观测时，它们的符号的平均相关性。因为纠缠的原因，A，B 的符号总是相反的，所以都从 x 方向观察时，它们的平均相关性是 -1，即反相关。类似地，Pxz 代表的是从 x 方向观测 A 且从 z 方向观测 B 时，它们符号的平均相关性。如果自旋在每个方向的概率都一样，即 n1 = n2 = … = n8 = 1/8 的话，我们会得到 Pxz 为 0。对 Pzy 和 Pxy，也得到相同的结论。

换言之，当概率均等时，如在相同方向测量 A，B 的自旋，应该反相关；而如果在不同方向测量 A 和 B 的自旋，平均来说应该不相关。

我们可以用一个通俗的比喻来加深对上文的理解：两个双胞胎 A 和 B，出生后从未见过面，互相完全不知对方情况。一天，两人分别来到纽约和北京。假设双胞胎诚实不撒谎。当纽约和北京的警察问他们同样的问题：“你是哥哥吗？”，如果 A 回答“是”，B 一定是回答“不是”，反之亦然。对这个问题，他们不需要互通消息，回答一定是反相关的，因为问题的答案是出生时就因出生的顺序而决定了的 (这相仿于 Pxx = -1 的情况)。但是，如果纽约警察问 A：“两人中你更高吗？”，而北京警察问 B：“你跑得更快吗？”，按照我们的经典常识，两人出生后互不相识，从未比较过彼此的高度，也从未一起赛跑。所以，他们的回答就应该不会相关了 (这相仿于 Pxz = 0 的情况)。

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