多元函数泰勒Taylor展开公式

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计量建模以及经济建模当中Taylor展开方法是常用的方法。在实际应用时，同学们碰到一元函数的Taylor展开感觉比较轻松，但是面对多元函数的Taylor展开会感到有一些困难。我想，感到困难的很大一部分原因是多元函数的Taylor展开函数形式比较复杂。如果能够随时查到完整的公式，会对实际工作会有帮助。下面整理了一元和多元Taylor函数展开公式，希望同学们在使用的时候搜索一下本版，就能找到它。

• 一元函数在点$x_k$处的Taylor展开式为:
  $f(x)=f(x_k)+(x-x_k)f'(x_k)+\frac{1}{2!}(x-x_k)^2f''(x_k)+o^n$

• 二元函数在点$(x_k,y_k)$处的Taylor展开式为：
  $\begin{aligned} f(x,y) & =f(x_k,y_k)+(x-x_k)f'_x(x_k,y_k)+(y-y_k)f'_x(x_k,y_k)\\ &+\frac{1}{2!}(x-x_k)^2f''_{xx}(x_k,y_k)+\frac{1}{2!}(x-x_k)(y-y_k)f''_{xy}(x_k,y_k)\\ &+\frac{1}{2!}(x-x_k)(y-y_k)f''_{yx}(x_k,y_k)+\frac{1}{2!}(y-y_k)^2f''_{yy}(x_k,y_k)\\ &+o^n \end{aligned}$

• 多元函数$(x^1,x^2,...,x^n)$在点$(x^1_k,x^2_k,...,x^n_k)$处的Taylor展开式为：
  $\begin{aligned} f(x^1,x^2,...,x^n) & =f(x^1_k,x^2_k,...,x^n_k)+\sum_{i=1}^{n}(x^i-x^i_k)f'_{x^i}(x^1_k,x^2_k,...,x^n_k)\\ &+\frac{1}{2!}\sum_{i,j=1}^{n}(x^i-x^i_k)(y^i-y^i_k)f''_{ij}(x^1_k,x^2_k,...,x^n_k)\\ &+o^n \end{aligned}$

• 将Taylor展开式写成矩阵的形式：
  $f({\rm \bf x})=f({\rm \bf x}_k)+[\nabla f({\rm \bf x}_k)]^T({\rm \bf x}-{\rm \bf x}_k)+\frac{1}{2!}[{\rm \bf x}-{\rm \bf x}_k]^TH({\rm \bf x}_k)[{\rm \bf x}-{\rm \bf x}_k]+o^n$
  其中H为海塞阵。

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关键词：Taylor 实际应用 函数形式 经济建模 实际工作

nuomin 发表于 2020-11-29 13:20
计量建模以及经济建模当中Taylor展开方法是常用的方法。在实际应用时，同学们碰到一元函数的Taylor展开感觉 ...

难

主贴中的矩阵H为：

$H({\rm \bf x}_k)=\begin{bmatrix} \frac{\partial^2f({\rm \bf x}_k)}{\partial{\rm \bf x}_1^2} & \frac{\partial^2f({\rm \bf x}_k)}{\partial{\rm \bf x}_1\partial{\rm \bf x}_2}&\cdots&\frac{\partial^2f({\rm \bf x}_k)}{\partial{\rm \bf x}_1\partial{\rm \bf x}_n}\\ \frac{\partial^2f({\rm \bf x}_k)}{\partial{\rm \bf x}_2\partial{\rm \bf x}_1}& \frac{\partial^2f({\rm \bf x}_k)}{\partial{\rm \bf x}_2^2}&\cdots&\frac{\partial^2f({\rm \bf x}_k)}{\partial{\rm \bf x}_2\partial{\rm \bf x}_n}\\ \vdots &\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial^2f({\rm \bf x}_k)}{\partial{\rm \bf x}_n\partial{\rm \bf x}_1}&\frac{\partial^2f({\rm \bf x}_k)}{\partial{\rm \bf x}_n\partial{\rm \bf x}_2} &\cdots& \frac{\partial^2f({\rm \bf x}_k)}{\partial{\rm \bf x}_n^2}\\ \end{bmatrix}$

稍微复杂一些而已，难倒未必哦！