金融数学家的访谈

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數學傳播34卷2期, pp. 27-43
有朋自遠方來一一專訪馬進教授
策劃: 劉太平
訪問: 許順吉、姜祖恕、黃啟瑞、周雲雄、
李宣北
時間: 民國99年6月18日
地點: 中央研究院數學所
整理: 林思華
馬進教授1956 年出生於上海, 1987 年赴美就讀University of Minnesota,
1992 年獲得博士學位, 1992 年至2007 年任教於普度大學(Purdue University),
自2007年起任教於南加州大學(University of Southern California)。馬進教授
曾因文化大革命的影響而中斷求學, 1982年於復旦大學完成大學教育。他現在南加
州大學負責一個Mathematical Finance Master Program。他的專業研究包含
隨機控制理論, Forward-Backward 隨機微分方程(FBSDE) 的理論及應用。FBSDE
在財務(金融) 數學的相關研究有很多的應用,因此該題材在機率論及財務數學
的相關研究都受到相當的注意, 馬進教授在該研究方向做了很多重要貢獻, 是該領域
研究的先驅及重要的推手, 他與P. Protter, J. Yong 於1994 年提出Four Step
Scheme 來解FBSDE, 是該領域的經典作品。
姜祖恕(以下簡稱「姜」): 今天我們很高興有機會能跟你聊一聊, 你2008 年到南加大, 是否可
以先談談那裏的情形?
馬進(以下簡稱「馬」): 非常榮幸, 我看了很多以前的專訪, 都是非常有名的數學家, 非常不
敢當。不過, 既然是「有朋自遠方來」, 我們是朋友, 我想也可以聊一些。我現在在南加大
(USC, University of Southern California) 負責一個叫Mathematical Finance 的
27
28 數學傳播34卷2期民99年6月
Masters Program。學生主要是碩士生, 也有博士生。時間是一年半, 也就是十八個月, 學
生分別在數學系、經濟系、商學院(Business School) 選一些課。我在南加大有三年了。
姜: 談到這個Program, 你覺得Mathematical Finance 在美國的就業市場好不好? 在這個
領域發展前途如何?
馬: Mathematical Finance 或是叫做Quantitative Finance, 在美國90 年代以後, 是
比較熱門的學科, 可能是因為衍生性金融市場(derivative market) 的關係, 有些產品對
數學的要求比較高。90年代初, 比方像Itˆo’s formula1, 人們還是當作秘密武器(secret
weapon) 來用。如果你知道這方面的知識, 比較有利。所以大家都想要學。於是像工學院開
始有Quantitative Finance Program, 碩士生程度, 通常叫做Financial Engineering。
在數學系或者統計系這種比較接近數學的學門, 相關的碩士學程, 就叫做Mathematical
Finance 或是叫Computational Finance。最近這幾年, 由於金融危機, 學生畢業出來
找工作有點困難, 但早些時候, 學生很搶手, 出路很多, 在社會上有些影響, 因此大家都想
辦這樣的Program。在普度(Purdue) 的時候, 我負責一個Computational Finance
Program, 它與南加大有點不一樣, 普度是好幾個系一起辦, 甚至是跨學院合作。因為它是
公立學校, 資訊工程、商學院、數學系、統計系可以一塊辦, 學生可以在這些系自由選課而不
會牽涉到學費的問題。在南加大就有區別, Mathematical Finance Program 是放在包括
經濟系跟數學系的學院裡面。我們很想送學生去Industrial Engineering 選課, 但它在另
外一個學院, 有技術上的困難, 不過我們一定會送他們去商學院選課, 沒有商學院的課, 你
就不能稱之為Mathematical Finance Program。
姜: 畢業出來, 大部分的就業市場是走那個方向?
馬: 投資銀行或者對沖基金公司, 還有一些小的投資公司會來找人。
姜: 所以美國市場現在還是有相當的需求量?
馬: 現在找工作比較慢,但還是可以找到工作。現在的問題是, 在華爾街幾個像雷曼兄弟(Lehman
brothers)2 貝爾斯登(Bear Stearns)3 這樣的大公司倒閉或被合併, 一大批人失業。這批
人還要在這個行業找工作, 甚至願意拿比較低一點的薪水, 這就對剛畢業的碩、博士生造成
不小的壓力, 同樣的薪資, 公司傾向於請有經驗的人,新的畢業生只好到其他比較小的公司。
現在情況似乎開始好轉, 有些internship position 的職缺, 我現在有2 個Ph.D.學生就
在做這個。
1譯註: 用來計算隨機微分方程的方程式。為日本數學家伊藤清(ITˆO Kiyosi, 1915-2008) 所發明, 他最為人知的成就為Itˆo 積
分。
2譯註: 美國一家國際性金融機構及投資銀行, 於1850年設立, 2008年為美國第四大投資銀行。同年受到次級房貸風暴連鎖效應
波及, 申請破產。
3譯註: 曾是美國主要的投資銀行與證券交易公司, 成立於1923年。歷經美國30年代的大蕭條和多次經濟起落, 但最終在2008年
的美國次級房貸風暴中嚴重虧損, 瀕臨破產而被收購。
專訪馬進教授29
黃啟瑞(以下簡稱「黃」): 這個Program 是2 年還是1 年半?
馬: 在南加大是一年半, 在普度是2 年, 普度需要2年是有原因的。因為這個Program 的學生
在普度是拿數學碩士學位或統計碩士學位, specializing in Computational Finance。但
如果是拿數學碩士學位,就一定要學實變函數什麼的。所以學生在第一學期必須選measure
theoretical level 的probability 或者選calculus based probability 加上實變函數。在
南加大, 就是一個職業或專門的碩士學位, 所以沒有這種要求。
黃: 這個Program, 有沒有實驗室, 用電腦去跑實際的數據, 例如用Bloomberg。
馬: 普度有, 因為這需要時間。一年半的時間, 只夠選一些基本的課, 但我們有一門課是做模擬
(simulation), 介紹一些應用軟體(software)。
黃: 這個Program 有沒有跟一些外面的公司合作, 還是完全由學校規劃辦理?
馬: 沒有, 完全是學校。因為一年半的時間要訓練一個從什麼也不太知道到能夠進入市場的人
時間比較緊。有的Program 會有, 但也不是很容易。
姜: 這個Computational Finance Mathematics 最重要的核心, 是不是機率論?
馬: 概率論當然是一個很重要的部份。比方說, 現在招收學生, 不管在普度或南加大,我們主要看
四門課: 一個是要有好的微積分基礎, 最好是成績單上面有實變或者是學過Introduction
to Real Analysis, 比如Baby Rudin, 我們還希望學生知道一些拓樸的東西, 比如至少知
道一致收斂(uniform convergence)。
許順吉(以下簡稱「許」): 要懂得取極限。
馬: 取極限並不是寫進去就好了, 你要有一些"−  的基礎訓練。還有一個是線性代數, 一個是
概率論; 不帶統計的概率論。還有就是微分方程。因為我們是跨領域所以不同background
的學生都會來申請。這些課都沒念過的人要修Mathematical Finance 會比較困難。所以
概率論是一個重點, 特別是鞅論(Martingale Theory) 一定要念懂。還有條件機率(Conditional
Probability) 也要稍微訓練得好一點。
黃: 不僅要稍微訓練過, 要有點直覺。
姜: 要有一定的程度。
馬: 我們通常教的話, 一般先從概率論開始, 講Martingale Theory, 會用Borel field 去講。
這對很多學工程的人來說, 一開始是個挑戰, 要不然學到後面, 他用條件機率的時候, 要把
條件密度(conditional density) 寫出來才會算的話, 這個鞅(Martingale) 就很難講了。
但是如果沒有鞅的話, 鞅測度(Martingale Measure)、風險度量(Risk Measure) 什麼
的就沒辦法講啦。所以其實概率論是非常非常非常重要的。
姜: 這個領域最要緊是在應用方面。
馬: 在Finance 上, 現在所有做Mathematical Finance 的都要求會概率論, 我記得90 年代
初, 我剛去普度的時候, 那時候有個剛畢業的念數值分析的博士去華爾街工作。因為那時候
30 數學傳播34卷2期民99年6月
工作不好找, 所以數學系畢業後, 他又去念了個Computer Science 的碩士學位, 然後進
了華爾街工作。他回來跟我說:『我們組裡面, 每一個人的桌子上都放了一本Karatzas4 的
書, 像聖經一樣。』(眾人笑)
姜: 他哪一本書?
馬: 《Brownian Motion and Stochastic Calculus》5,黃皮書, 每個人桌子上都放一本, 但沒
人念得懂。
許: 那本書寫的很好, 但不容易念, 念懂要花很大的功夫。
馬: 他是學數值偏微分方程(Numerical PDE) 的, 他因為是Computer Science 的碩士
被華爾街錄用。之後人家知道他有數學博士學位, 就叫他教隨機分析(笑)。他回來問我:『有
沒有什麼概率論的書可以念?』結果他就自己念, 同時在公司每星期2次教別人。所以, 在
Finance 上面, 概率論很重要。還有一個要緊的其實是控制論, 現在世界上在Mathematical
Finance 上領先的人, 你去看他們的背景, 原來全都是做隨機控制(Stochastic Control)
的, 像Karatzas、Shreve6 、Mark Davis7 、El Karoui8 還有Fleming9 等等一大
堆人。
黃: 除了你以外?
姜: 他也是。
黃: 你不是Jain10 (Naresh Jain) 教授的學生嗎?
馬: 是的。但我是做控制論的。
姜: 他是Jain 那邊做控制論的。所以你覺得這些做控制論出身的人是他們幫了Mathematical
Finance 的忙, 還是Mathematical Finance 幫了他們的忙?
馬: 這個很難講, 因為, 做控制論的人本來是做什麼的呢? 比如tracking problem 就是打
飛機、打導彈什麼的。別人一個東西飛過來, 你這邊如何應戰。90 年冷戰結束以後就不太
熱門了。不過做數學的人比較自由, 一個SDE(Stochastic Differential Equation), 你可
以說它是incoming missile 的dynamics, 也可以說它是stock market 的dynamics。
Black-Sholes model11 出來以後, 就更容易理解了。其實控制論就是要讓事物最優化。
姜: 談談你怎麼進入控制論。
4譯註: Ioannis Karatzas, 現任教美國哥倫比亞大學。
5譯註: 此書為Ioannis Karatzas 與Steven E. Shreve 合著, 於1987年由Springer-Verlag 出版。
6譯註: Steven E. Shreve, 現任教美國Carnegie Mellon University, 著有許多關於金融數學的書籍。
7譯註: Mark H.A. Davis, 英國數學家, 現任教於英國Imperial College London。
8譯註: Nicole El Karoui(1944-), 為法國女數學家。現任教法國巴黎第六大學, 被視為金融數學發展的先驅。
9譯註: Wendell Helms Fleming, 是控制論的專家, 任教美國布朗大學, 於1987年獲頒Steel Prize。
10譯註: Naresh Chandra Jain, 任教美國明尼蘇達大學。
11譯註: F. Black 及M. Scholes 1973年在“The Pricing of Options and Corporate Liabilities” 中提出的關於金融市場
及衍生性投資工具的數學模型。

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关键词：金融数学 数学家 Mathematical Quantitative introduction University 数学家 大革命 南加州 研究院

馬: 這要講到很早以前。我中學畢業時, 不能直接進大學。在文革當中沒有大學可以念, 要去
工廠或農村做工。我當時在上海金山石油化工總廠做維修儀器的儀表工。那時就接觸過一
些PID 調節器, 工程控制之類的東西。後來考上復旦大學, 念大學時, 就好像腦子潛意識
中一直有控制論的概念。念碩士時, 跟著做控制論的李訓經12 老師學了控制論。李訓經老
師最早是做常微分方程的。Pontryagin13 教授寫的常微分方程的書就是他和金福臨14 老
師一塊兒翻譯成中文的, 金福臨老師比較資深, 李訓經老師在文革前就已經做有限維控制
論的研究, 文革10年, 停掉了。等到文革結束回來做研究時, 集中參數控制, 也就是有限維
的控制中大多數原來想的問題, 都過時了。他就開始做分布參數控制也就是PDE 的控制。
80年代初, 大約是80、81 年, 他去布朗大學(Brown University) 訪問W. Fleming
教授, 注意到隨機控制的領域。回來後, 他覺得復旦也應該有個隨機控制的研究群。我當時
正在念碩士, 他就讓我和一個師弟學隨機控制, 一個做離散, 一個做連續。我被指定做連續
時間的控制。那時也不曉得那是什麼, 拿了Fleming 的《Deterministic and Stochastic
Optimal Control》15 來念。那麼隨機微分方程怎麼辦呢? 當時復旦還有一位從日本回來的
老師, 他曾在Watanabe16 教授的seminar 裡面, 是被派出去做長期學習的。當時Ikeda
& Watanabe 那本書(《Stochastic Differential Equations and Diffusion Process》17 ),
還沒出來, 但是他有筆記, 他就把筆記全部用中文寫出來, 字寫得非常漂亮, 厚厚的一本, 我
到現在還收藏著。他寫出來後, 給我和師弟二個人上課, 這是我們第一次接觸隨機微分方程,
他講得非常好。
黃: Watanabe 那本書寫得非常general。
馬: 那本書上其實還有很多Manifold 上的東西, 但我們只學了些基本的鞅論, 和基本的隨機微
分方程。到了明尼蘇達(University of Minnesota) 後我當時其實很想跟Steven Orey18
教授, 我們談得很好, 他也給了我很多指導, 但沒有收我, 因為他當時身體很不好, 已經有
前列腺癌, 不想收學生了。Naresh Jain 教授當時是研究生主任(Director of Graduate
Study), 我問他怎麼辦? 他說:『我們可以一塊做。你可以教我控制論, 我可以教你別的。』我
就跟他一塊做, 再把Fleming 的書跟他報告, 把一些問題歸成完全是數學的問題跟他討論。
問題有很多是Steven Orey 教授那兒來的, 因為Fleming 做過很多跟Singular Control
12譯註: 中國大陸數學家, 任教中國大陸復旦大學。
13譯註: Lev Semenovich Pontryagin (1908-1988), 俄羅斯數學家, 在許多數學領域做出卓越貢獻。
14譯註: 中國大陸數學家, 任教中國大陸復旦大學。
15譯註: 此書為Wendell H. Fleming 及Raymond W. Rishel 合著, 由Springer 在1975 年出版。
16譯註: WATANABE Shinzo, 日本機率學家, 師承ITˆO Kiyosi。
17譯註: 指IKEDA Nobuyuki 和WATANABE Shinzo 合著的《Stochastic Differential Equations and Diffusion
Process》。
18譯註: Steven Orey(1929-1991), 曾任教美國明尼蘇達大學。

很靠近的東西。當時覺得Singular Control 很有意思, 因為它超出經典隨機控制論框架
, 看上去對我是完全新的, 所以比較感興趣, 我就做進去了。後來有個故事挺有趣的, 我研
究Singular Control 的時候, 念了很多文章, 當時在美國比較領先的就是Karatzas 跟
Shreve, 在英國是Mark Davis, 法國有El Karoui, 他們都做過Singular Control 的研
究。因為Naresh 不是做控制論的, 他就建議我:『你為什麼不寫信給Karatzas?』因為我在
復旦大學的時候做過些研究, 知道當文章發表時, 實際上可能已經有了更新的發展、更新的
結果。於是我寫信給Karatzas, 那時沒有email, 我就打字, 問他:『我念了一些您的文章, 如
果有這方面新的研究, 不曉得可不可以寄抽印本給我?』他回信:『我這方面的論文你好像已
經收集得很齊全了。』後來, 我的文章作出來後, 就投給他, 因為那時他是SICON(《SIAM
Journal on Control and Optimization》) 和《Stochastics》的編輯委員。我那時候才
剛開始練習用英文寫論文, 第一篇文章投稿前Jain 改得比較多, 第二篇文章做出來後, 我
寄了個草稿(draft) 給Karatzas 請他看看。文章寄回來後, 哇, 一片紅! 每頁都用紅筆
改過了! 我非常非常感動! 因為我跟他是沒有關係的人, 完全不認識, 連我的老闆都不認識
他, 他們是兩個領域的人。但他覺得年輕人要培養, 所以願意花時間拿著紅筆跟著我的文章
走一遍, 這種事好像不是每個人都會做的, 也是種運氣吧。後來, 跟他交流一直很多。92年
我從明尼蘇達畢業後, 去了普度, 做Protter19 的博士後。當時Protter 對我說:『我有幾
個project 在手裡, 那一個你有興趣?』很有意思, 其中就有BSDE(倒向隨機微分方程)。
我一下子就很感興趣。什麼道理呢? 因為我出國之前, 在復旦有一個李訓經老師帶的討論
班。他是做Pontryagin 極大值原理(Pontryagin Maximal Principle) 的, 當中碰到一
個伴隨方程(Adjoint Equation), 是一個倒向隨機微分方程。Bismut20 先做出來, 我87
年出國後, 復旦的討論班仍在繼續。92年的時候, Pardoux21 和Peng22 的BSDE 已經
出來了。後來El Karoui 在巴黎第六大學開始promote 這個問題。Stanford 的Darrell
Duffie23 用它做Stochastic Recursive Probability, 自然地牽涉到前向(Forward) 跟倒
向(Backward) 連接起來的BSDE, 就是所謂的FBSDE。一開始Protter 叫他的一個
學生做, 我也參加進去。因為我做過控制論, 想用隨機控制(Stochastic Control) 的方法
去做。後來雍炯敏24 訪問普度, 我們就一起做。當時的想法是把倒向方程寫成前向方程, 然
19譯註: Philip E. Protter, 現任教美國康乃爾大學。
20譯註: Jean Michel Bismut (1948-), 法國數學家, 為法國科學院院士, 現任教巴黎第11大學, 在隨機分析與隨機微分幾何的
領域有重要影響。
21譯註: Etienne Pardoux, 任教法國普羅旺斯大學。
22譯註: 彭實戈(1947-), 中國大陸數學家, 為中國科學院院士, 現任教中國大陸山東大學。他所創立的「倒向隨機微分方程」
(BSDE) 對金融數學影響甚大, 獲邀在2010年的ICM 大會上發表60分鐘的演講, 為中國大陸本土數學界獲此榮譽的
第一人。
23譯註: Darrell Duffie, 現任教美國史丹佛大學。
24譯註: (1958-), 中國大陸數學家, 現任教美國University of Central Florida。

後考慮一個最優控制問題, 值函數的結點集(Nodal set), 也就是相應的偏微分方程(HJB
equation) 的結點集。這樣做出存在性。後來發現這其實就是Feynman-Kac formula。其
實做研究就是這樣, 沒做出來之前很難受, 一做出來覺得很容易, 就是這種感覺。
姜: 所以你現在主要集中在Backward equation 方面?
馬: 後來也做了一些其他的東西。
姜: 你還做控制論嗎?
馬: 做控制論是免不了的, 有一些問題不純粹是控制論的問題, 但也會有一些關係, 像極大化
(maximization), 97年以後, 我花了一段時間做Stochastic Viscosity Solution 就是
SVS。其實它跟BSDE 也有很大的關係, 但是比較難做(目前這個領域的規模還不是很
大), 現在又有一個新的辦法出來, 用rough-path 的辦法做。
姜: 英國的Terry Lyons25?
馬: 對, 就是他! 2000 年後, 我帶著一批學生做與精算(Actuarial Science) 和保險模式(Insurance
Model) 有關的問題。那些問題也會走到控制論或走到倒向方程。
許: 你剛剛提到的結點集的概念, 那個是PDE 的概念?
馬: 是的, 我們把它拿過來, 其實有點像Charles Fefferman26 做的結點集。我們當時不知道
怎麼稱呼, 開始這麼叫, 後來就這麼一直叫下去。
許: 所以其實這問題有好幾個面, 一個是BSDE 的面, 一個是PDE 的面。
馬: 對! 和PDE 的聯繫其實很強。當時, 是有一些想法, 是不是能在PDE 方面提出一些問
題。比方講, 我上次講的前向方程的Diffusion 含Z, 這個放到PDE 上面, 就是拋物型
方程裡兩階導數的係數帶一階導數。那時, 做PDE 的Garofalo27 來聽我的演講。講到後
來, 我把它去掉。他說:『如果把那個做出來就好了。』上課時我也講過, 那個Z 放在那邊很
討厭, 能夠算出的案例都把它拿掉, 那是一個很不容易做的問題, 有些東西其實是本質的。
我們用得比較多的是PDE 的工具, 倒過去的方向在Viscosity Solution 的方面比較有
用, 就是用BSDE 去做Viscosity Solution, 因為它可以用一般隨機微分方程的方法估計,
這樣就比較好做一點。比方講, 做數值分析(Numerical Analysis) 的時候, 或者是找數值
法(Numerical Scheme) 的時候, 用BSDE 沒有維數(dimension) 的限制。它可以做到
quasi-linear 的, 甚至fully nonlinear 的情形。這個方面現在還在發展。quasi-linear 的
情形可以把維數(dimension) 做到12 吧。而用PDE 去做的話, 大概只做到3。做PDE
的人一般大概就不做下去了。
25譯註: Terry J. Lyons, 現任教英國牛津大學。
26譯註: Charles Louis Fefferman (1949-), 美國數學家, 為美國國家科學院院士, 現任教美國普林斯頓大學, 因數學分析的研
究而在1978年獲頒Fields Prize。
27譯註: Nicola Garofalo, 現任教美國普度大學。

許: 在Finance 裡有很多奇怪的PDE, 與一般傳統的PDE 不同。所以你的BSDE 最初的
動機是不是也跟Finance 有關係?
馬: 一開始的動機還沒有Finance, 完全就是最大值原理的adjoint equation。
許: 所以你不是去普度那邊才開始做的。
馬: 我去普度的時候, BSDE 已經出來了。Pardoux 跟Peng 開始提出的問題是怎麼從線性走
到非線性? 因為Bismut 提出來的是線性的BSDE, 線性方程能把解寫出來, 就是常數變
異(Variation of Constants 常微方程常用的技巧) 公式。那麼非線性又怎麼去做? 一開始
Pardoux 想用隨機演算(Malliavin Calculus) 去做, 結果Peng 提出一個迭代的方法。做
好後, 好像也不太難, 因此也沒投很好的雜誌, 就是《Statistics & Probability Letters》,
這個影響深遠(seminal) 的文章, 因此是投在一個不很起眼的雜誌上。但是, Peng 後來
繼續做下去, 把nonlinear Feynman-Kac 給做出來。就把PDE 連繫上了, 他後來在巴
黎第六大學和El Karoui 討論這東西, 發現它本質上可以dynamically evaluate future
position, 也就是說給定一個終端, 但dynamics 是隨機的, 是隨機微分方程, 而對於一個
給定的終端, 這個解還要是adapted 的解, 這樣的問題在Finance 之中比比皆是。
黃: 契約是未來的?
馬: 契約(contract) 都是未來的, 它可以是一個future product, 一個risk, 一個financial
position。或者從精算來講,就是一個present formula 的問題, 一般就是一個conditional
expectation。所以本質上就會有一個鞅出來,就是BSDE。在很多地方, 這是一個自然的工
具。後來發現, 把European option 拿過來, 用BSDE 一解, price 跟hedging strategy
兩個就同時出來。當時覺得這個很有用。而且因為有了非線性理論, 在drift 的地方, 你
可以加很多東西, 比如tax 什麼的進去, 還能把線性方程弄成非線性的。然後還可以去做
American Option, 就有了reflected BSDE。El Karoui 後來成了推動這個BSDE 的
主要推手之一。
許: 原來給European Option 定價的做法就是解PDE, PDE 通常不好解, 解出來後又要微
分才能得到hedging strategy。
馬: 如果你要求它的“delta” (財務理論術語) 的話。
姜: 這些理論不是在美國發展的吧? 大概是法國人在做。
馬: 法國人對BSDE 非常熱衷, 因為在法國有兩個人一南一北地推動, Pardoux 和El Karoui。
姜: 現在還是?
馬: 現在主要是El Karoui。
姜: 美國呢?
馬: 美國的話, Karatzas, Protter 和他們的學生做過一些。還有Florida 的雍炯敏。但是現在
的critical mass 好像主要就在南加州。

姜: 就是你那裡?
馬: 我跟張建豐28 還有Cvitanic29 。Cvitanic 是Karatzas 的學生。
許: 你好像還有好幾個學生? 從你那邊出去的, 現在都到哪些地方?
馬: 從現在算下來, 我一共帶出過10個Ph.D. 學生, 有大半是做與BSDE 或是FBSDE 有
關問題的, 其中有些去了Industry。有一個現在還在University of Michigan 做博士後,
叫姚松。做得最好的, 就是我現在的同事, 張建豐。
姜: 現在在南加大?
馬: 對, 在南加大。Cvitanic 是Karatzas 的學生。Karatzas 有點像我半個導師, 我92年畢
業後, Karatzas 說: 『你們兩個人可以見見面, 做些什麼東西。』我們在94年碰面, 就開始
做大投資者問題(Large Investor)。
許: 這個問題跟BSDE 的關係是什麼?
馬: 它就是FBSDE, 我在94年Cleveland 一次會議上遇到Cvitanic, 我們坐下來聊, 討論
了FBSDE。FBSDE 如果把它decouple, 前向方程就是一個股價(stock price), 倒向方
程就是Wealth Process。但是如果你把它couple 起來, 就出來一個大投資者的問題。
黃: 你的意思是可以影響他的機率?
馬: 對, 你把Wealth equation 裡面的項加到前向方程裡去, 那就是個大投資者的Wealth 或
是它的strategy 影響到股價(stock price) 了。
姜: 這些問題在實際的金融市場上操作會不會被接受?
馬: 實際上, 至少在概念上面, 他們會接受。其實現在很多東西都是假定大投資者, 要不然就是
你的strategy 不會影響到股價(stock price)。大投資者是相對於Small Investor, 那
是要修改Black-Scholes 理論的。因為Black-Scholes 的理論有一串假設, 其中之一就是
Small Investor。你談和Black-Scholes 不一樣的東西, 是要經過一些時間大家才會接受。
我們那篇文章是96年發表的, 在審稿過程中, 曾受到質疑提出這個問題。但97 年亞洲金融
危機, Long Term Capital, 對沖基金(hedge fund) 這些事情出來以後, 大投資者就變成
很容易接受的概念。
許: 看起來還是有蠻多後續的研究, 那篇文章被引用得不少。
馬: 那是篇比較早的文章, 我們算是比較早做大投資者問題的。
許: 你後來還有一些相關工作嗎?
馬: 沒有。後來就去做FBSDE, 這個問題沒再做。
姜: 問你一些比較一般的問題, 能不能跟我們談一下, 在美國數學領域裡, 機率論的發展前途,
還有目前的狀況?
28譯註: 張建豐(Zhang Jianfeng), 中國大陸數學家, 現任教美國南加州大學。
29譯註: Jaksa Cvitanic, 現任教美國加州理工學院。

馬: 這是個比較大的問題。
姜: 就談加州那邊的狀況。
馬: 機率或叫概率是每個學校都有, 有幾個交叉的學科可能做概率。比如做分析的, 做調和分析
或是做Heat Kernel 的都有可能做概率。做組合數學(Combinatorics) 的, 也可以做概
率。當然做Stochastic Analysis 的也可以教概率。概率論的課好像每個學校都有。
許: 在普度, 機率論及隨機分析開課的情況如何? 在台灣, 開的機率課不多, 主要是基礎課程。
馬: 在普度跟南加大, 機率都很強, 有一群做各式各樣機率的人。我去普度的時候, 有Burgess
Davis30 , Steve Lalley31 , Philip Protter, 以及Rodrigo Ba˜nuelos32 四位資深的教授,
我是最資淺的。當時這四個人, Burgess 是《Annals of Probability》的主編, 其他三人在
不同的階段擔任過《Annals of Probability》的Associate Editor, 那你想想, 這能不強
嗎? 南加大也很強, 有Boris Rozovski33 , Peter Baxendale34 , Kenneth Alexandar35 ,
還有你們都認識的Richard Arratia36, 後來還有Rozovski 的兩位Associates, 現在
還在。然後再加上Cvitanics, 然後還有張建豐。現在Cvitanics 跟Rozovski 都離開了,
Rozovski 去了布朗大學, Cvitanics 去了加州理工學院。不過那批做隨機微分方程的都還
在。這個領域有這麼多人在一個學校, 自然比較強。很多學校都有機率的課, 我說的是大學
程度的課。美國大學部機率的課大致是以微積分做基礎的程度。除了古典概型以外, 也會講
分布(Distribution) 和特徵函數, 就是傅立葉轉換(Fourier Transform)。但是概率論有
個公理體系, 就是Kolmogorov 在1932 年建立的公理體系, 它跟測度論有緊密的聯繫。
所以在研究所要念以測度論為基礎的概率。其實如果要做點研究的話, 測度論(Measure
Theory) 和實變函數是一定要念的。我在復旦是在大三時念的實變。
姜: 大三就念實變?
馬: 大三的時候, 上學期學實變, 下學期學泛函分析, 這是一個系列的課, 到了大四, 學Sobolev
函數空間什麼的。
許: 現在復旦還是這樣嗎?
馬: 我不清楚, 但應該還是。我看復旦的學生成績單, 好像還是有實變。
姜: 現在台灣這邊, 實變都是到研一才學。大學部可以選修, 但修的人不多, 泛函分析學的很少。
馬: 但是數學專業應該要學的。
30譯註: Burgess Davis, 現任教美國普度大學。
31譯註: Steven Lalley, 現任教美國芝加哥大學。
32譯註: Rodrigo Ba˜nuelos, 現任教美國普度大學, 專長為機率論、調合分析及偏微分方程。
33譯註: Boris L. Rozovski, 俄羅斯數學家, 現任教美國布朗大學。研究領域為隨機偏微分方程。
34譯註: Peter Baxendale, 現任教美國南加州大學。
35譯註: Kenneth S. Alexander, 現任教美國南加州大學。
36譯註: Richard A. Arratia, 現任教美國南加州大學。

姜: 在台灣你說的那些Sobolev Space 都是專題的課了。
馬: 在大學部的時候, 也是第一次唸這種Functional Analysis level 的PDE。一開始會學古
典偏微分方程解, D’ Alembert 公式等。如果是數學系的畢業生, 我們會期望他懂泛函分
析。
李宣北(以下簡稱李): 你是什麼時候念大學的?
馬: 1978 春, 通常是說77 級, 是文革後第一屆。
李: 但課程規劃仍是跟文革前一樣?
馬: 好像是。
姜: 當年你們這些課比一般美國大學教的要強很多, 美國一般大學也沒教這麼多。
馬: 我們大一上學期學數學分析, 一致收斂, 點集拓撲這些東西。
許: 一年級不是先學微積分?
馬: 是的。但是是從極限的嚴格定義開始學。在美國就是三年級以後的事了。
黃: 我還有一個一般的問題, 你在南加大開Computational Finance 跟Mathematical Finance
Program, 這跟傳統的數學系很不一樣,因為畢業生很容易就業。但台灣的數學系比
較乾淨, 不會去涉足這塊領域, 你覺得數學系是不是應該更入世, 去辦這個Program? 或
是這樣做污染了數學?
馬: 這是讓數學系的學生多了些工作的機會。在美國, 有很多很多的數學系辦這種Program,
或是精算, 或是Mathematical Finance, 在普度精算與Finance 兩者都有。對於一個學
校來講, 這是比較重要的。因為念數學出來要從事什麼行業? 光念數學, 念到大學畢業, 一
般很難就業, 念到碩士可以教中學, 念到博士可以教大學, 但這條路很長。像在普度, 很多主
修精算的學生, 一畢業就可以到康乃迪克州的哈特佛(Hartford) 找到一份工作, 那是保險
業的核心重地。我記得普度數學系最好的學生好像全都在Actuarial Program。這樣就會
有學生願意進數學系, 對學校來講也有好處。公立學校按人頭拿經費, 私立學校自然學費就
可以有更多收入。對學生來講, 學數學也變得比較實際。數學系不是光為數學天才開的, 因
為數學天才很少。對數學有興趣的小孩上數學系, 可是也都會有實際上的考量, 出來之後的
就業機會等等都在考量當中。當然, 做數學也有懷抱陽春白雪的想法的。
黃: 我這樣問的原因是美國數學系的人通常不那麼aggressive, 怎麼會有這麼多數學系都開這
個Program? 這是怎麼做到的?
馬: 因為數學系突然發現有這麼一個Program 可以吸引很多學生。
黃: 吸引這麼多好的學生, 這是一個誘因。
馬: 數學系終於可以拿出一個教書以外的工作吸引學生進來。

黃: 再來我想問, 美國數學系的老師覺得教書是“利他”而不是為己, 但是另一方面, 數學系的老
師通常在美國的薪水是比較低的, 有了這個Program 之後, 美國數學系的老師薪水會不會
比較高?
馬: 沒有(笑)。
許: 我想再問一些細節, 數學系裡是不是有些學生額外修一些精算的課程?
馬: 普度有一個精算的專業課程, 要經由精算學會(SOA, Society of Actuaries) 認證, SOA
有它自己的教育大綱, 有一套自己的考試。要得到認證的話, 課程必須要符合大綱, 不是學
校自己開課就行, 須要它承認。我當時接觸過一些相關的事, 但2000 年以後, 他們一直在
改, 我也不太熟悉了。最早的時候我們為學生準備四個階段的考試, 先考微積分(Calculus),
再是機率(Probability), 再來是利率(Interest Rate), 最後是Life Contingency, 包括
生命年金(Life Annuities) 和壽險(Life Insurance), 這裡機率又進去了。學習這門課程
的關鍵在於把它的問題看懂了, 接下來的數學問題基本上是很簡單的。但是要把所給的精算
訊息寫成數學的問題, 這是主要的困難。我從96 或97 年開始教Life Contingency, 因為
當時普度只有一位教授教這門課, 而他要退休, 就叫我教。我那時候也有點興趣, 又可以少
教一門課, 於是我先旁聽他的課, 就教了。教了兩年之後, 覺得不能只教不做, 也要做點什麼
研究, 我就開始想些問題出來, 也帶一批學生做了一些問題。
黃: 在瑞典, 早期數學跟精算是在同一學會。
馬: 北歐是Actuarial Science 的發源地。
黃: 現在保險公司也要Finance 的人才。
馬: 現在精算也要考Finance 的, 因為保險公司也做Finance。
黃: 保險公司的現金也高, 像新光人壽, 一年收的現金有2000 億。
馬: 這和保險業的regulation 有很大的關係。我記得第一次教精算的時候, 上學期教怎麼定價
(Price) 壽險和生命年金(Life Annuities) 等等, 下學期就教一大堆**法規(Government
Regulation)。
姜: 對, 法律規定要很清楚。
馬: 法規的制定就是不讓保險公司去投資, 或者只能拿一小部份去投資。
黃: 現金準備要很高。
馬: 沒錯, 如果拿人家付保險的錢去投資, 萬一保險公司倒了怎麼辦? 其實, CDO (Collateralized
Debt Obligation 抵押債務債券)、CDS (Credit Default Swaps 信用違約交換)
這些用的就是保險的概念, 但是它又沒有足夠的準備金, 所以就出了很大的問題。現在保險
跟Finance關係越來越密切, 風險也會很大。對做數學的人來講, 當然有很多問題可以做,
學數學的學生也可以因此多幾個出路。

黃: 我還有一個比較個人的問題, 你因為文革被耽誤了四年, 1978 年進大學時, 那時候中國應
該累積了很多菁英, 10 年以上的菁英全部在那個時候同時進入大學。
馬: 我們當時班裡有66 年高中畢業的, 是高中全部念完的, 因為文革是66 年開始的, 這些人
基礎非常好。還有的就是76 年還在念高中的, 因為這時文革已經結束, 所以他們的老師會
訓練他們, 這兩代的人都在我們班裡面。我們班年紀最大的是1946 年出生的, 最小的是15
歲。
姜: 相差了17歲。
馬: 已經算是叔姪輩了。我們呢, 文革開始時我們還在念小學, 當時課停了, 後來恢復上課, 但
也沒念什麼書。我還記得我剛上中學的時候, 要是現在應該功課很多很多了是吧? 而我們那
時都在外面打玻璃球(笑), 念到15歲時, 才開始知道念一點書。好在我們的班主任是數學
老師, 他開始講些東西, 我們有幾個人跟著學習。當時好像也沒有特別喜歡數學, 但那時沒
有什麼其他的課。我到高中畢業都沒有念過化學, 因為沒有化學老師, 老師不曉得到那兒去
了。我們當時有什麼課呢? 有政治, 語文, 英文, 數學, 還有一科叫做工農業基礎知識, 這種
比較實用的, 其實就是物理, 除了數學之外, 其他都是工農業基礎知識。(眾人笑) 那時的語
文課本, 學一些古文。像《黔無驢》37 我還可以背很長一段: 黔無驢, 有好事者, 船載以入;
至則無可用, 放之山下. . . 。
黃: 跟你同期的有許多優秀的人才, 但專以數學來說, 你覺得跟你同期或前後幾年, 有那些人是
比較特出的?
馬: 比方講, 特別是做統計的, 我們復旦出來有好幾位很厲害的。范劍青38, 他比我們低一級, 我
們是77 級, 他是78 級。跟他同屆的還有孟曉黎39、應志良40, 為什麼他們能那麼成功? 就
是因為他們都是數學系畢業的。
黃: 還有就是你們集中太多人了, 集中了最好的一批人才。
馬: 不過數學的基礎訓練也是很重要的。當時是有人超前很多, 像我們進去時, 有一個叫姚大
衛41, 現在在哥倫比亞, 他很快就出國了。還有一個叫李樂德42, 他是我們78 年全國高考第
一名, 也在數學系。如果是文革前高中畢業的, 其中有的人因為對數學有興趣, 進復旦的時
候, 已經把那些吉米多維奇的4500題43 題目都做光啦, 那時候我們還不知道什麼是吉米多
維奇呢。但是有一點, 因為我們都是在社會上待過的, 所以讀書都很用功, 大家都拼得很厲害。
37譯註: 《黔無驢》為唐朝柳宗元的作品, 為唐宋八大家之一。
38譯註: 中國大陸統計學家, 現任教美國普林斯頓大學。於2000年獲頒COPSS (Committee of Presidents of Statistical
Societies) President’s award。
39譯註: 中國大陸統計學家, 現任教美國哈佛大學。
40譯註: (1960-), 中國大陸數理統計學家, 對生物醫學統計界影響甚多。
41譯註: 中國大陸數學家, 現任教美國哥倫比亞大學及擔任香港中文大學電子商務中心主任。
42譯註: 中國大陸數學家, 現任教長江商學院。
43譯註: 指B. P. Demidovich (俄羅斯數學家, 1906-1977) 的著作《數學分析4500題》。