四色定理的一个逻辑证明

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本帖拟分成四个部分，

一，一些说明
二，一个国家的情况
三，一切国家的情况
四，总结一下

这个证明应该是成立的，不过，也可能是错误的，或者是有缺陷的。

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关键词：国家的

一、一些说明

四色问题已经被证明，已经有四色定理。不过，据说还没有公认的逻辑证明，好像是还没有。

逻辑证明可能有许多种思路，这里提供一种。

本帖只考虑球面地图，省略平面地图，这是为了行文方便。因为球面地图可以涵盖平面地图，也可以转换成平面地图。

本帖不考虑飞地和公地，这是为了简便。如果有飞地，四种颜色肯定不够用。如果有公地，可以划分到周边国家去，或者，可以把公地看成特殊的国家。就是说，像地球的世界地图当中，就被看成没有公海之类了，没有岛国，没有无主的区域。像南极洲等等，也可以看成南极洲国等等。这样，所有的国家都会有相邻关系，至少有一个邻国。

本帖也不考虑三种颜色是否够用，五种颜色是否多余，等等，因为这些问题早就被明确了。

四色问题中的相邻，是指有接壤，有足够长的边界线，不是指有切点，一个没有长度的点。

四色问题中，各国的面积有大有小，但面积足够大，不会是一个点。这也意味着国家的数量有限，国家之间的相邻关系也有限，不是无穷无尽。据说，国家数量有限前提下的结论，可以推广，在国家数量无限的时候也能适用。

四色问题意味着，一幅球面地图上，国家的数量或多或少，可以多达几百亿个，国家的形状也可以千奇百怪。譬如像大树的剪影，有树根，树干，树枝，树叶，处处都可邻接。譬如像大河的泛滥，水网密布，四面八方，所过皆可波及，等等。所以，需要找出规律性的东西。

本帖把任意一个国家看成若干个地区，这些地区之间是连通的，有对外的共同边界，是个闭环。同样，任意多个有连通关系的国家也有对外的共同边界，也是个闭环。就是说，任意球面地图都可以看成一个圆环，里外二个圆圈，所有相邻关系都发生在这里，从而简化了问题，进行了证明。

二、一个国家的情况

球面地图上任意一个国家，可以看成有若干个地区。这些地区是连通的，有地区之间的内部的接壤，构成一个国家。这些地区作为一个整体，对外部的其他国家来说，有对外的国家之间的国界线。从国界线上任何一点出发，沿着国界线前进，总是能回到这个起点，形成一个回路、闭环。所以，任意一国的国界线，无论是任何形状，在经过变形之后，可以看成一个圆周。

任意一国可能有一个这样的圆周，也可能有更多个、若干个。某国有若干个这样的圆周，说明存在国中之国的情况，例如意大利境内有梵蒂冈。某国有若干个这样的圆周，则其中任意一个圆周的内部，可能有一个外国，也可能有多个外国，并且这些外国可能也有自己的国中之国。某国有若干个这样的圆周，则某国的国土把它们隔离开来，使得这些圆周之间不会相交，不存在有关的相邻关系。

本帖为了简便，不考虑国中之国的情况，假设任何地方都没有国中之国。因为，当某国有国中之国，某国的国土就把这些国中之国包围了起来，封闭了起来。此时，如果其他地方能够用四色填涂，则某国和其国中之国之间也能四色填涂。

球面地图上任意一个国家，有一条国界线，是一个圆周。该国的所有邻国，都在这个圆周上，各自前来，分别接壤，将这个圆周分成了若干条线段。一条线段代表该国与一个邻国的一段接壤，是这二个国家的一段共同边界。换言之，该国的所有邻国，一个挨一个的密密实实的将该国包围起来，使得该国除了与这些邻国接壤之外，与其他国家隔离开来。

在这里，该国的所有邻国，其面积和形状需要做一些适当变动，以适应这个圆周，贴合这个圆周。这不会实质性改变国家之间的原有的相邻关系。下面也是诸如此类的处理，就不做专门说明了。

该国的所有邻国，将该国包围起来，形成以该国为中心的一个邻国圈。将这个邻国圈看成一个整体，看成一个“国家”，则这个“国家”也有一条“国界线”，也是一个圆周。此时来看，形成了同心圆，就有了里外二个圆周，一个圆环。里面的圆周，是该国与所有邻国的接壤线。外面的圆周，是这些邻国与其他国家的接壤线。

如图所示：

修改了图1，重新上传，

目前没有理论证明。。。建议从图论基本开始学习

点击打开，图1  一个国家的相邻情况