四色定理的一个逻辑证明

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上面图1中，国家1的国界线是里圈，国家1的所有邻国是国家2等等，二方面在里圈这个圆周上接壤，形成以国家1为中心的一个邻国圈。不是这个邻国圈成员的国家，叫做其他国家。整体来看这个邻国圈，也有对外的边界线是外圈，外圈上有若干个其他国家前来接壤。这样就形成了里圈外圈的一个圆环。

这个圆环的内部，有可能形成环中之国，类似于前面说的国中之国（这里的环中之国是被二个及以上的国家包围，而国中之国是被一个国家包围）。环中之国可能有一处或多处，一处里面有一个或多个其他国家。环中之国与国家1没有接壤，与国家1的邻国有所接壤，与国家2等等当中的若干个有所接壤。这些其他国家，被国家2等等包围。环中之国的情况，假设暂时不会出现，为了行文方便而暂时省略。

这个圆环的内部，有国家1的所有邻国，邻国为一个或多个，即国家2等等。其中任一邻国的面积任意，特别是形状任意，这相当于，国家2等等可以从起初的一个点，在一个空白的圆环内，向四面八方任意延展，任意流动，任意生长，直至圆环内没有多余的地方，直至原本的空白圆环被国家2等等给占据给充满。

任意的一个国家，例如国家2，在这个圆环内向四面八方的任意延展，是被圆环所约束的，它被里圈限制，被外圈限制，它们之间也相互限制。例如国家2所到之处，国家3等等就无法再来占据，而且，国家2所到之处，还会形成阻隔阻断，国家3等等无法穿插切断，顶多顺着国家2的边缘攀爬。

在上述限制下，例如国家2，它可以向四面八方任意延展。站在里圈上一点来看来说，脚下是里圈是下方，头顶是外圈是上方，左手左方，右手右方，等等。

它可以在左右方向，沿着里圈延展，直至占据整个里圈，此时国家1只有一个邻国是国家2，其他国家被国家2给阻隔阻断，无法与国家1接壤了。它可以沿着里圈跳跃式延展，此时国家2在里圈上形成拱桥，它一个国家在里圈上占据了二段或更多段的线段，亦即拱桥可以有一个或多个桥洞，而桥洞的下面里面可能有国家4、国家5、国家6等等。它可以沿着里圈延展一下，停顿下来，此时它仅仅占据里圈上的一段线段。

它也可以在上下方向，延展到外圈，占据外圈上的一段线段，此时它与其他国家有接壤。它可以沿着外圈左右延展，直至占据整个外圈，此时只有国家2和其他国家接壤，而国家3等等被阻隔阻断，无法和其他国家接壤了。

它还可以在里圈外圈的中间部分，做四面八方的任意延展，而结果要么是到达了外圈，要么是没有达到外圈。

国家1若只有一个邻国是国家2，若只有二个邻国是国家2、国家3，若只有三个邻国是国家2、国家3、国家4，等等，这些情况都很简单，也都可以省略不谈。复杂的地方在于，必须考虑也必然会出现的情况是，国家1可以有成千上万个邻国，邻国的形状也是千奇百怪，无奇不有，互相交织交错在一起，错杂复杂，此时，就需要找出规律性的东西，需要化繁为简。
国家2等等，它们“扎根”在里圈上，各自进行四面八方的任意延展，在这个邻国圈的圆环上来看，在结果上来说，就是这样了：

在里圈及其附近来看，国家2等等，要么占据里圈上的一段（含占据整圈），要么占据里圈上的多段（出现了拱桥、桥洞）。

在外圈及其附近来看，国家2等等，要么占据里圈上的一段（含占据整圈），要么一段也没有，就没有到达外圈。

在里圈外圈中间来看，国家2等等，要么“头顶”上有邻国圈的其他成员国，是“栖身”在“桥洞”下面，要么就没有。

换言之，国家2等等，只有二种极端情况：标准规则简单的情况，非标准不规则复杂的情况。

标准、规则、简单的情况是这样：国家2等等，在里圈上各自占据一条线段，在外圈上也各自占据一条线段。这种情况下，无论国家2等等有任意的形状，有任意的延展，可以一律看成是：一起脚踩里圈，共同头顶外圈，并排林立，切分圆环。此时，国家2等等一起和国家1相邻，而国家2等等之间，只有左右相邻关系。例如国家2，它和国家1相邻，和自己左边的国家相邻，和自己右边的国家相邻，它就只有这三个邻国，只有这些相邻情况。这种情况就很简单了。国家2在里圈上取任意一点，在外圈上取任意一点，二点连线，这条线是国家2的国界线，不会被穿插穿越，国家3等等也是这样，这就相当于，国家2等等切分圆环，它们各自的国界线垂直于里圈外圈，互相之间平行。

非标准、不规则、复杂的情况是这样：国家2等等，在里圈上有的占据一条线段，有的占据多条线段，而在外圈上，有的占据一条线段，有的一条也没有。

进而来看来说，如果有国家在里圈上占据了多条线段，就形成了拱桥，出现了一个或多个桥洞，此时，里圈上的线段数量≧里圈上的国家数量。如果有国家在外圈上没有占据一条线段，此时，外圈上的线段数量=外圈上的国家数量≦里圈上的国家数量。

那么为什么说外圈上的线段数量=外圈上的国家数量？这很简单。外圈上的线段数量＜外圈上的国家数量，这不会存在。外圈上的线段数量＞外圈上的国家数量，这说明国家1的邻国当中，即国家2等等当中，至少有一个国家，它在外圈上占据了二条以上的线段，它又是扎根于里圈，这就形成了一个或多个的Y形、W形、U形之类，U形里面兜着国家1的某一个或多个邻国，隔离隔绝了这某一个或多个的邻国与国家1的接壤一一这也不会存在。所以说，外圈上的线段数量，一定等于外圈上的国家数量，总是等于外圈上的国家数量。换句话说，在外圈上及其附近来看，国家2等等的部分或者全部，一定是左右相邻关系，仅是左右相邻关系。这是一个重要的现象，重要的结论。

以上是说二种极端的情况。那么容易出现的，是二种极端情况的混合混杂。

greenaven 发表于 2021-2-14 23:59
目前没有理论证明。。。建议从图论基本开始学习

你说的很对，很有道理。

不过，不能绝对排除，四色猜想存在简单的思路，是直观性的问题，等等，诸如此类。

另外，对我本人来说，对大家来说，考虑四色问题，确实应该学习图论和其他数学知识。应该是很应该的。只是我本人能力有限，精力有限，我对这个问题陆陆续续断断续续想一下就算了，尝试尝试就算了，万一能抛砖引玉就更好了，万一的万一能有所解答也很好。

如果能有所解答，有所证明，请大家关注一下我在劳动价值论等方面的许多思考。

前面的文字有啰嗦的地方，有需要推敲的地方，需要改进的地方，就暂不修改了。因为论坛的过滤词太多，有时候需要等待放出，等等。

前面说，国家1的所有邻国，是国家2等等。国家2等等，脚踩着里圈，头顶上是外圈，在里圈外圈之间，各自可以做任意延展。延展的结果，有二种极端情况。一种是，外圈上的线段数量=外圈上的国家数量=里圈上的国家数量=里圈上的线段数量，这就很标准，很规则，情况很简单。另一种是，外圈上的线段数量=外圈上的国家数量＜里圈上的国家数量＜里圈上的线段数量。线段，就是里圈外圈上的一条线段，是某国的一段国界。那么容易出现的，不那么极端的情况，就是以上二种极端情况的混杂。
前面说，国家2等等，这许许多多的国家，在里圈外圈之间，各自可以做四面八方的任意的延展。这肯定是很庞杂很繁杂的，各种交织交错，盘根错节。可为什么以国家1为中心的，由国家2等等所构成的，相邻关系这么复杂的一个邻国圈，被简单归结为上述？这就比较语焉不详，一笔带过了。下面继续来说这个事情。

国家2等等，各自可以有任意的延展。但是，任何的延展，总是有如下结果：
要么是，（外圈上的线段数量=外圈上的国家数量）＝（里圈上的国家数量＝里圈上的线段数量），
要么是，（外圈上的线段数量=外圈上的国家数量）＜（里圈上的国家数量≦里圈上的线段数量）。
国家2等等，无论是多少个国家，无论各个国家的面积如何，形状如何，等等，总是如上，没有其他结果。

如果是外圈上的国家数量＝里圈上的国家数量这种情况，则国家2等等互相之间是肩并肩的并列的左右相邻关系，其中任意一个国家，它只有左右二个邻国，并且和下面的国家1在里圈上相邻，它合计只有三个邻国。

如果是外圈上的国家数量＜里圈上的国家数量这种情况，则国家2等等当中，有若干个国家到达了外圈，其中有一个或多个形成了拱桥，形状类似n形之类，并扎根在里圈上。拱桥由一个国家独自构成，左右桥墩和拱顶都是它的国土，或者由二个国家一起构成，各自都提供了桥墩及拱顶。拱桥有一处或多处，每处有一个桥洞或多个桥洞。桥洞的下面里面覆盖着接壤着一个或多个国家，被覆盖的国家是没有到达外圈的那些。这些被拱桥覆盖的国家，自己也可能成为拱桥，它上面有拱桥，它在桥洞里，同时，它又是自己下面国家的拱桥，它也有自己的桥洞。就是说，拱桥不但是多处，可能是多处，而且是多层，可能有多层。