请教一道风险的问题

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某家庭现有银行存款B=20万，年利率r_f=20%。有证券分析师向他推荐一个新上市股票S，可在75%概率下取得年利率r_s,m=3%，在12.5%概率下取得r_s,h=7%的高收益，但也有12.5%概率下取得年利率r_s,l=-1%的低收益。若这个家庭的期望效用函数U为投资组合的期望收益率r_p和标准差σ_p的二次函数，即U( r _p σ_p)= r _p -50σ_p²，那么这个追求效用最大化的家庭是否会购买这一股票S?如果购买，买多少？

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关键词：期望效用函数 证券分析师 期望收益率 效用最大化 投资组合 请教 风险

首先银行存款的利率应该是2%吧，如果是20%全部存入银行就行了。下面的解答按照存款利率为2％计算：

新上市股票的期望收益率=75% * 3% + 12.5% * 7% + 12.5 * (-1%) = 3%

风险（标准差）＝ sqrt (12.5 * (7%-3%)² + 12.5% * (-1% - 3%)² ) = 2%

风险价格= (3% - 2%) / 2%＝ 0.5

风险对期望收益率的边际替代率

MRS_σp,rp = - (d r_p^/ d σ_p ) = 100 σ_p

最优解应满足 MRS= 风险价格，因此有 100σ_p = 0.5, 则σ_p^* = 0.5% ，

所以应该购买该股票S，购买比例为 σ_p^* / 2% = 25 %