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三、比例投入－收益递增生产函数
比例投入生产函数是运筹学研究及投入产出分析中一种常见生产函数形式，作为本研究系列的一个具体例子。本文的框架及假设包括收益递增、存量累积和动态增长等关键因素，并通过构建基于比例投入－收益递增生产函数的制度内生演化模型，试图完整演示出制度内生演化的具体过程。
设比例投入－收益递增生产函数为：
f（x，y）=
x、y分别代表投入品。首先，可以看到，这是一个新古典意义上的、基于规模有着收益递增性质的生产函数，且为连续函数。其次，该生产函数的产出取决于短缺的投入品，或者说两种投入品之间完全不存在替代性，类似于管理学理论中的“短板理论”。再次，该函数为分段函数，是一种简单直观并满足关于规模收益递增生产函数等相关要求的函数形式，但有别于新古典经济学的边际收益绝对递减的假设条件，而是边际收益先是在一定范围内递增之后呈递减趋势。
∂2F（x，y）/∂x2=
当投入要素超过一定比例时，过剩投入品的边际收益趋于递减，而短缺投入品的边际收益趋于递增。
边际收益递增似乎是经济学研究的一个“舶来品”，然而，从本文看来，它是一个有深厚基础的概念。经济学研究的深入发展实现了从收益递减到收益递增的突破，边际收益递减却在收益递增革命中得以保留下来。然而，边际收益绝对递减假设日益受到了来自现实的许多质疑，在演化经济学中已被放弃。在本文分析中，边际收益递增是局部非均衡时出现的一种现象。
第一，古典经济学已有过专业化分工引致边际收益递增的论述和分析。专业化经济引起边际收益递增——学习效应或者经验积累，技术进步更是其发展到一定阶段的产物。演化经济学从经济现象中的正反馈着手，新兴古典经济学则以专业化经济进行阐述，都强调技术创新是收益递增的关键，延续了古典经济学的这些思想。而黄少安（2000）指出，边际收益递增是制度内生演化过程的一个主要性质：（1）新制度给予相对人更大激励，制度生成收益更高；（2）制度变迁和制度租金的相互作用推动制度收益的加速实现。
第二，规模收益递增是边际收益递增的一种变形，任何一种形式的规模收益递增函数都可转化为另一种形式的边际收益递增函数。设生产函数f（x，y）存在着规模收益递增，则有：
f（a*x，a*y）＞a*f（x，y）
a为任意常数，x、y为任意实数。f（a*x，a*y）和f（x，y）两者之间的投入要素比例是相等的a*x/（a*y）=x/y。若设x/y=b，则上面的表达式可写为：
f（a*x，a*b*x）＞a*f（x，b*x）
b为任意正实数。又设F（x）=f（x，b*x），则上面又可写为：
F（a*x）＞a*F（x）
可得：
Fʹʹ（x）＞0
由此可见，规模收益递增与边际收益递增两个概念之间有着密切关联。
第三，从直接方式来讲，边际收益递增是规模收益递增的一种途径。对二元函数f（x，b*x）求二阶导数可得：
Fʹʹ（x）=f11+2b*f12+b2*f22
这里f11、f12（或者f21，在Laplace函数中两者相等）、f22表示函数f（x，y）的二阶偏导数。由于b=x/y＞0，若三个系数都大于0，则函数显出收益递增性；三个系数都小于0，则函数显出收益递减性。考虑专业化经济前提下，即f11＞0和f22＞0，即使没有互补性（f12=0），收益递增也可以因专业化经济而存在。
第四，即使是互补性f12，也与边际收益递增有着密切关系。汪丁丁（1997）提出，收益递增与互补性分别对应与时间和空间，在本质上属于相同概念。而Yang/Ng生产函数（杨小凯，1992）：
X=（lx）a
X表示最终产品x的产量，lx表示时间禀赋约束下从事产品x生产活动的时间。当a＞1时，生产系统具有专业化经济的性质：
∂2X/∂lx2=a (a-1) (lx) a-2＞0
何志星等（2011）在此基础上建立了一个更具一般性的专业化经济模型：
∂2f (x) /∂x2≥0
其中f (x) 表示最终产品，x表示专业化活动。而互补性的表达式：
∂2f (x，y) /∂x∂y≥0
可以看出其中相似之处——将互补性部分视为一个整体或者不同部分。专业化经济既可以视为边际收益递增，也可以视为经验知识的迂回互补，因研究需要而异。从同质性视角，这是一种专业化经济；而从异质性视角，这是一种互补性。
总之，边际收益递增对应于一定阶段、范围和条件。边际收益递增是生产的一个阶段，并受到技术进步的影响——愈是先进的技术、收益递增性质愈强。专业化经济就是边际收益递增的体现，在一定范围内存在着边际收益递增现象。
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