生产函数拟凹能导出投入要素集为凸吗？

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如题。根据函数拟凹的定义f[tx1+(1-t)x2]>=min{f(x1),f(x2)}，拟凹的生产函数可为斜率递增的凸函数，如图：
同时，在该生产函数下的投入要素集也可以为凹集。如图
所以，生产函数拟凹似乎不能推出投入要素集必然为凸集啊？想就这个问题请教一下，谢谢大家帮助！

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关键词：生产函数 Min 凸函数

止戈为武 发表于 2011-4-12 12:26 同时，在该生产函数下的投入要素集也可以为凹集。如图

你可以考察生产函数的上截集（upper contour set）与相关的要素投入集的关系。

谢谢sungmoo版主的回应！
由要素投入集的凸性确实可以顺利推出生产函数的拟凹，正如您所说，要素投入集是一个upper contour set，根据函数拟凹的另一个定义：“函数拟凹指其定义域的upper contour set为凸集“，所以凸的要素投入集说明生产函数拟凹成立。
但反过来，由于生产函数拟凹只能说明f(x)不出现V形状，但无法保证在一个产量y的平面上要素投入集的形状是凸还是凹。
所以小生不知道其逆命题是否成立。恳请版主和同学们帮我解决这个疑惑。谢谢！

止戈为武 发表于 2011-4-12 23:57 正如您所说，要素投入集是一个upper contour set，根据函数拟凹的另一个定义：“函数拟凹指其定义域的upper contour set为凸集“，所以凸的要素投入集说明生产函数拟凹成立。但反过来，由于生产函数拟凹只能说明f(x)不出现V形状，但无法保证在一个产量y的平面上要素投入集的形状是凸还是凹。

如果承认：各产量对应的要素投入集是生产函数的各上截集，并且生产函数的拟凹性可以由其任意上截集的凸性来定义，这不已经承认了两者的等价性吗？

另外，你在主楼中考虑的生产函数是一元的，还是多元的？

谢谢。在主楼的生产函数是二元的。

止戈为武 发表于 2011-4-13 09:08 在主楼的生产函数是二元的

那么你可以看一下，x1Ox2平面上的凸集应该是什么样的。

二元的拟凹函数是否会出现其等产量线（给定某产量y的横截面）凹向原点的情形？

因为感觉拟凹的两种定义似乎不能够等价（一个是从横截面角度来说上截集为凹，另一个是从纵截面角度来说函数大于最小值）。

止戈为武 发表于 2011-4-13 09:24
因为感觉拟凹的两种定义似乎不能够等价（一个是从横截面角度来说上截集为凹，另一个是从纵截面角度来说函数大于最小值）。

上截集为凸，笔误。