什么泊松分布？泊松回归又能做什么？

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之前的文章中我们介绍过最常用的——线性回归；数据不满足线性关系时可以使用的——曲线回归；当Y为定类数据时使用的——Logistic回归等。还有一些专门用来解决回归分析中出现的种种问题的回归方法，如解决多重共线性问题的岭回归、自动筛选变量的逐步回归、中介调节效应中用于对模型比较的分层回归等。

除了上述提及的，事实上还有很多回归分析方法，它们适用于不同类型的数据以及不同应用场景，正是这些分析方法组成了我们熟知的回归分析大军。

接下来，本文将要介绍的这个回归模型是专门针对计数数据的泊松回归。

说到泊松回归，首先要了解，什么是泊松分布？

试想一下，你现在就站在一个人流密集的马路旁，打算收集闯红灯的人群情况（？）。首先，利用秒表和计数器，一分钟过去了，有5个人闯红灯；第二分钟有4个人；而下一分钟有4个人。持续记录下去，你就可以得到一个模型，这便是“泊松分布”的原型。

除此以外，现实生活中还有很多情况是服从泊松分布的：

• 10分钟内从ATM中取钱的人数
• 一天中发生车祸的次数
• 每100万人中患癌症的人数
• 每天1万人中丢手机的人数
• …

泊松回归模型

Poisson模型用于描述单位时间、单位面积或者单位容积内某事件发现的频数分布情况，通常用于描述稀有事件（即小概率）事件发生数的分布。

上述例子中明显的一个特点在于：低概率性，以及单位时间(或面积、体积)内的数量。通常情况下，满足以下三个条件时，可认为数据满足Poisson分布：

(1) 平稳性： 发生频数的大小，只与单位大小有关系（比如1万为单位，或者100万为单位时患癌症人数不同）；

(2) 独立性： 发生频数的大小，各个数之间没有影响关系，即频数数值彼此独立没有关联关系；比如前1小时闯红灯的人多了，第2小时闯红灯人数并不会受影响；

(3) 普通性： 发生频数足够小，即低概率性。

如果数据符合这类特征时，而又想研究X对于Y的影响（Y呈现出Poisson分布）；此时则需要使用Poisson回归，而不是使用常规的线性回归等。

判断数据服从Poisson分布的方法

检验数据是否符合Poisson分布，共有两种方法：一种是通过特征判断；另外一种是通过Poisson检验。

特征判断即是要数据符合上面提到的三个条件；而如果用Poisson检验可在SPSSAU中【医学研究→Poisson检验】进行检验。

在现实研究中，可能更多会通过特征进行判断是否基本符合Poisson分布。

案例应用

（1）背景

当前有一份数据是从10个城市进行抽样获取的，用于研究影响患皮肤癌的影响因素，共有两个研究因素，分别是性别和年龄；被影响项为‘是否皮肤肺癌’。由于Y为‘是否皮肤肺癌’，而且明显的，‘是否皮肤肺癌’这个数据满足平稳性、独立性和普通性这三个特征；因而使用Poisson回归进行研究。

（2）操作步骤

使用途径：SPSSAU→实验研究→Poisson回归

性别为定类数据，分析前需要先进行哑变量处理再纳入模型，本例中以“男性”为参照项，因此放入“性别_女”。下图为哑变量设置步骤：

SPSSAU-哑变量设置操作

并且由于每个城市的人口基数不一样，分析时还有考虑人口基数这一数据，最终放置如下：

SPSSAU-Poisson回归分析界面

（3）结果分析

针对Poisson回归分析，SPSSAU共输出2个表格，分别是：似然比检验结果表以及Poisson回归分析结果汇总表。

①Poisson回归模型似然比检验表

Poisson回归模型似然比检验表

上表用于模型检验，模型检验的原定假设为“是否放入X模型质量均一样”。根据上表可知，此处放入2个X分别是性别_女，年龄。而且P值为0.000 <0.05，意味着放入2个自变量后，模型质量有明显的提升，因而拒绝原定假设，本次模型构建有意义。卡方值和df值均为中间过程值可忽略。

AIC和BIC这两个指标值，可用于多个模型对比(AIC和BIC越小越好)，当前放入2个自变量可记录下AIC和BIC值，如果多放一个自变量(即3个时)，AIC和BIC值有着明显的下降，则可以选择3个自变量时的模型作为最终模型。

②Poisson回归分析结果汇总表

Poisson回归分析结果汇总表

上表用于研究X对于Y的影响关系情况，表格中有意义的指标信息包括：P值，回归系数和R Pseudo R²。其它指标包括标准误，Z值，95%CI值意义相对较小。

从上表可知，模型伪R平方值（Pseudo R平方）为0. 900，意味着性别， 性别和年龄可以解释皮肤癌患病的90.0%变化原因。

模型公式为：log(u)=log(人口基数) -9.952-0.035性别_女 + 0.643年龄(其中u代表期望均数)。

具体分析，年龄一项回归系数为0.643，P值（P=0.000<0.01）,说明年龄对患皮肤癌有着正向的影响，随着年龄的增长，患皮肤癌的可能性也提高。而性别对皮肤癌没有产生影响。

其他说明

Poisson分布是指单位时间/面积/体积内的发生数，因而如果基数不一致时，spssau分析时，一定要放入基数这个数据。

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关键词：泊松分布 泊松回归 做什么