社交网络、确认偏见与冲击选举

社会在t时刻的两极分化等于var(xt)=npi(xi,t-μ)。虽然Markov系统的渐近行为得到了很好的研究，但对其中间状态的陈述却是出了名的挑战。为了便于处理，我们假设初始信号的分布是均匀的，并且为了降低系统中的噪声水平，我们还做了以下平均假设。假设1(Mean-Firedeld)。每个agent i的邻域代表整个社会，SOPJ∈N(i)\\{i}XJ0≈μ，对于所有i∈N，XJTij，对于所有i。有两种使用均值方法的方法。从理论上讲，它允许从系统的内在随机性中分离出由控制偏差引入的随机性。信念的短期和中期演化将取决于信号的随机初始分配。例如，少数人可能会坚持一段时间的极端立场，因为他们碰巧形成了一个有着相似信念的紧密团结的社区。因此，系统进化的这一特殊情况将会有一个高度的初始极化水平，这种极化水平不受控制偏见的影响，但可能会使识别极化偏见的方法变得更加困难。通过假设每个代理人的邻居代表整个社会，我们阻断了这个渠道--让我们探索对它的偏见是否会增加两极分化。在实践中，如果我们忽略同源性的存在--与志同道合的人交往的趋势，均值假设在一个大社会中是一个合理的近似。在一个慷慨的群体中，每个人都有几个朋友，因此，一个人的邻居的规模确保了它近似地代表了更广泛的社会。第五节中的模拟表明，即使我们放弃平均假设，下面的极化结果也成立。命题2。假设xu[0,1]和mean-offield假设成立。然后，在每个pointin时间，偏振态（弱）单调地增加控制偏置的强度q。证明有两个步骤。首先，我们证明，在均值假设下，我们可以将每个主体在t时刻的信念刻画为初始信念与社会平均信念之间的加权平均值。第二，我们证明了这些信念的方差随着自我循环的强度而增加，因此也随着控制偏差的数量而增加。2.4最优网络一个仁慈的社会规划者会希望社会向真理收敛的机会最大化。控制偏差在两个方面与社会规划者的目标背道而驰。我们在第2.2节中检查了其中的一个--它在代理之间重新分配信息，这样一些初始信号比其他信号加权更多。第二种是网络偏差可能会使网络分裂成不同的分量，导致一些初始信号的内容没有聚集在一起，从而导致信息丢失。在整篇论文中，我们假设T*是强联系的，从而忽略了信息损失，但在这一节中，我们放松了这一假设来研究社会规划者的决策。一个基准案例是一个无所不知的社会规划者，他可以观察信号的初始分配和控制偏差的水平，然后可以设计网络。附录A.3表明，在这种情况下，如果向共识的收敛是可能的，规划者总是可以通过构建一个“章鱼”网络来保证社会向真理收敛--一个位于中心的代理人只听她自己的，其他人直接或间接地听中心的，这取决于他们的信号与中心的信号有多远。向真理收敛需要一个章鱼，而不是一个简单的星形网络，以防止欺诈偏见将网络分裂成分离的组分。在一个更现实和有趣的设置中，社会规划者不知道初始信号的分布或欺诈偏见的水平。

然而，我们仍然假定，她可以指定网络结构T服从Bnd链路的预算，其中d>0。因此，社会规划者可以指定最优的网络，下面的定义将最优的含义形式化。当给定约束偏差q和链路预算B时，网络是最优的，如果:t=argmaxT∈T{P r(t∞∞·xi0=xi0)#[tij>0]≤B}一个最优网络使社会收敛于真理的概率最大化。真实值是初始信号的平均值xi0，并且正好是单个贝叶斯代理在聚合所有初始信号后所得到的值。为了达到真相，社会需要将所有信号纳入其中，并平等地衡量它们。最大化到达真相的概率意味着最小化一个或多个代理的初始信息因网络分解成多个组件而丢失的机会。注意，这个条件不依赖于分离分量的大小--目标是最小化任何分离分量，而不是它的大小。然后，通过网络对称可以平等地加权所有信号。在陈述本节的主要结果之前，我们需要一个假设来帮助跟踪性。假设2（链路独立性）。对于所有K，pr(Tutij6=Tij，Tutik6=Tik)=pr(Tutij6=Tij)。这一假设意味着我们可以忽略由于控制偏差而被移除的链接之间的相关性。特别地，它假定从i到j的链路被删除的概率不取决于是否/有多少其他监听j的代理k有被切断的链路。显然，这是一种近似，因为它更有可能失去与具有极端信念的代理的链接，但这种类型的关联在网络上下文中很难处理，抛开它们允许我们证明以下陈述。假设链路独立和Bnd链路的预算。如果T是对称的，没有自链路，且它的未加权等价是带度D的顶点传递的，则T是最优的。如注1所示，对称网络保证每个初始信号在学习过程中获得相等的权重。由于没有自链路，保证了在预算范围内分配所有链路，在最大（最大{xi0}-最小{xi0}）周期内收敛，增加了网络对分离组件的鲁棒性。顶点传递性意味着网络是完全同构的，因此每个agent在交互结构上是相同的。因此，通过耗尽可用的链路预算，这将单个和/或一组agent分裂成单独组件的概率降至最低。请注意，该声明并没有限制链接权重的分布，因此最优网络的集合相当大。然而，一旦我们忽略链接权重，所有这些网络都是垂直传递网络的一个小类别的成员，这是常规网络的一个子集。第8条只关注获得真相的结果，但人们可能会认为社会规划者也会关心快速实现这一目标。这就需要刻画最优网络类中最大收敛速度的链路权值的分布。据我们所知，这在图论文献中是一个尚未解决的问题。然而，有一些算法可以获得近似的刻画。附录A.3讨论了两种已知的算法--最大程度启发式算法和Metropolity-Hastings算法。同时指出，在命题3所施加的约束条件下，未加权网络可能很快收敛。换句话说，一个同样关心收敛速度的社会规划者会设计一个对称的、未加权的和顶点传递的网络。3冲击选举前一节已经表明，控制偏差通过使学习变得更慢、更两极分化以及通过对个体的当量重新分配来控制向他人学习的过程。

在过去十年中，社交媒体的出现可以说增加了我们从他人那里了解到的信息对我们观点的能见度和份量，这在选举背景下变得越来越重要（例如见Kohut et al.[2008]、Braha and De Aguiar[2017]和Weeks et al.[2017])。为了检验偏见对学习特定的ECTS选举结果的影响，我们将第1节中的Elearning框架嵌入到一个基本的投票模型中。我们假设有两个候选人Y={0,1}，他们的信仰或意识形态分别为xY=0=0和xY=1=1。有n个投票者，每个投票者有一个初始信念XI0∈xEL,xCL,xS,xCR,xER}，其中xEL<xCL<xS=<xCR<xER。用初始信念为xi的投票人的分数表示，0<fi<1且peri=elfi=1。为了说明的目的，我们可以认为0是“左”的候选者，1是“右”的候选者。最初，选民的偏好范围分为“极左”(EL)、“中左”(CL)、“摇摆选民”(S)、“中右”(CR)和“极右”(ER)。选民根据第一节的模型通过网络T进行交流。每个选民I\'sutility函数uit=u(xit-xy)在他们自己的beliefBoyd等之间的距离上是严格递减的。[2004]证明一个凸优化问题可以在数值上找到一个解，但不提供该解的任何共同特征。（在投票时）和获胜候选人的信念。在t时刻，选举的获胜者由简单多数决定--得票最多的候选人获胜，平局通过掷硬币解决。通过应用标准中值选民定理结果，这一设置意味着真诚投票是一个弱占优策略。因此，在t时面临选举的选民i投了一张选票vi，t，根据以下策略:vi，t(xi，t)=0如果xi，t<0.51如果xi，t>0.5ζ如果xi，t=0.5而P(ζ=0)=P(ζ=1)=0.5而不失一般性，在本节中我们假定fel+fcl>fcr+ferandperi=elxi0fi<0.5。这一假设保证，如果在任何学习发生之前，选举发生在timet=0时，那么左派将赢得选举。第二个假设是，一个正确地汇总了所有初始信息的社会最终也会投票给左派。为了将我们的注意力集中在学习过程与真相相一致的有趣案例上，我们进一步假设这个社会是“明智的”，正如第6条所述。这些假设将我们的注意力限制在一个在学习发生之前和学习发生之后投票给同一个候选人的社会上--这个候选人不会失去一般性。我们感兴趣的结果是，错误偏见的存在是否会使正确候选人获胜的令人震惊的选举结果更有可能。第9条。在一个展示智慧的社会中，如果存在一个时间0<t<∞使得右派赢得在t发生的选举，就会发生震惊选举。下面的命题表明，即使在一个展示智慧的社会中，欺诈偏差也会使震惊选举结果成为可能。命题4。在一个均值和智慧假设成立的大社会中，冲击选举可以在有偏差的情况下发生，但在没有偏差的情况下永远不会发生。正如第2.3节所讨论的，均值假设的目的是将偏差引入的随机性与系统固有的随机性隔离开来。如果没有均值假设，即使没有补偿偏差，也可能发生冲击选举，仅仅是因为信念在学习过程中的某个时候向右随机倾斜，然后才转向向左投票。

附录B.5中的证明表明，在均值假设下不会发生这种情况，这提供了一个明确的基准，以调查补偿偏差是否增加了可能导致冲击选举的额外噪声。此外，均值假设特别是，我们的设置满足以下条件：(i)只有两个候选者；㈡候选人以多数票选出；㈢候选人有单一的峰值偏好；以及(iv)投票沿着单维度进行。参见Downs[1957]和Mas-Colell等人。[1995,第21.D章]回顾中值选民定理。在大型网络中的良好近似和第5节中的模拟表明，结果命题4对放宽这一假设是稳健的。我们用反例inFigures 3和4证明了冲击选举可以发生在configurrmation偏差下。考虑一个由图3所示的网络T连接的5个选民的社会。假设初始信念被xbelow捕获，计算学习过程就很简单了。T=0.35 0.1 0.2 0.25 0.10.35 0.1 0.2 0.25 0.10.35 0.1 0.2 0.25 0.10.35 0.1 0.2 0.25 0.10.35 0.1 0.2 0.25 0.10.35 0.1 0.2 0.25 0.10.35 0.1 0.2 0.25 0.10.35 0.1 0.2 0.25 0.1 0.2 0.25 0.1 x=0.150.30.50.650.75=yenT·x=0.420.420.420.420.42=T∞·x图3：网络T，不带控制偏差。请注意，链接是用双箭头绘制的。避免杂乱，但链接的强度取决于方向，并在箭头头旁边用斜体字表示。图4表示删除链接后的结果网络t*。如果我们计算学习过程，根据Wisdom假设，它收敛到与没有confirermation biasELx相同的结果，但现在在t=1时发生了令人震惊的选举，此时右派将获胜。t=0.9 0.1 0 0 00.35 0.45 0.2 0 00 0.1 0.65 0.25 00 0 0.2 0.7 0.10 0 0 0.25 0.75=yent=x=0.1650.28750.551750.630.725=yen...=yent=∞·x=0.420.420.420.420.420.42图4：网络t=带有confirermation biasELx=0.15 CLX=0.3SX=0.5CRX=0.65ERX=0.750.90.10.350.450.20.10.650.250.20.70.10.250.75反例表明，如果没有学习和/或没有控制偏见，在一个做出正确决定的社会中，可能会发生冲击选举。特别是，即使从长期来看，社会正确地将初始信号和选票聚集在左翼候选人身上，也会在短期内促使大多数人支持右翼候选人。在这个反例中，这种情况的发生是因为两个例子：(i)摇摆选民由于偏见而停止听取极左/极右选民的意见，(ii)与中左翼选民相比，他们更重视中右翼的观点。这意味着在短期内，大多数摇摆选民投票给获得大多数支持的正确候选人。从长远来看，学习仍在继续，由于智慧假设，导致初始信息的正确聚合，但这意味着有一个时间窗口，一场震惊的选举可能会发生，这在一个没有欺诈偏见的世界中是不会发生的。4边缘媒体组织技术的变化和社交媒体的出现使收集完全符合你偏好的新闻和信息变得更加容易[Sunstein，2018年，第3章]。这伴随着景观的两极分化，以极端意识形态为特征的媒体获得了大量观众(Prior[2013]为这一观点提供了一些支持）。本节的目的是考察偏见在极端意识形态媒体组织发展中的作用。

为了做到这一点，我们在第1节中扩展了模型，引入了选择其意识形态并关心最大化其受众的媒体组织，并在学习发生之前让代理与媒体组织形成联系。考虑一个媒体组织m∈m{1,...,m}，并假设m>5。每个媒体组织都有效用Vm(μm)=#{i∈N:tim>0}--它只关心收听它的代理的数量。在时间t=-1时，每个m选择一个意识形态μm∈[0,1]，使得maxμm∈[0,1]VM知道主体i的初始信念是从XΩu[0,1]中随机得出的。一旦选择，每个媒体组织m的意识形态就被定义了，所以我们可以将每个m表示为一个具有自链接权重1的节点。正如在第1节的设置中，在时间t=0时，每个agent被赋予一个信号θiu[0,1]，这是agent I的初始信念xi。这里的新元素是每个agent还以零成本与一个且仅有一个媒体组织形成一个链接权重。假设链接权重是和它是无成本的，这两个假设都是为了简单起见，因为本节的重点是媒体组织对意识形态的选择。我们假设每个代理I的Payo值等于toui=Ui(xi0-μm)和δUiδxi0-μm<0，即代理选择听取与自己信仰最接近的媒体组织。如果存在强度的控制偏差q，那么只有当XI0-μm≤1-q时，代理i才与媒体组织m形成联系。设ζQMBE为具有m值和强度的控制偏差q的平衡集。一个平衡θ={μ，...μm}∈qMIS为媒体组织的一组意识形态。我们分析的重点是意识形态最极端的媒体组织μfr(q，M)=minμM∈qm{μM}，我们称之为“边缘”媒体组织。请注意，由于我们设置的对称性，它可以调查最极左的意识形态，因为对于构成M>5假设的任何一组意识形态，我们都可以专注于竞争媒体市场的有趣和相关的情况。附录a.4解决了M≤5情况下的模型。这相当于Hotelling[1929]的模型，其中[0,1]线代表单维意识形态空间。Eaton和Lipsey[1975]给出了该模型在没有约束偏差的情况下的结果。阿南代特·阿勒。[2007]在同样的假设下审视媒体偏见，即媒体组织只关心职业。与这个模型相反，他们假设代理关心一些客观真理和意识形态。注意，这里我们假设信号是从均匀分布中提取的，以提高分析能力。选择一个权重允许我们回避每个代理如何重新分配其输出链接的权重以适应这种新的连接的问题。假设每个因素形成一个且仅有一个环节是为了分析的可处理性，并且可以通过有限的注意从行为上进行分析（例如，参见Gabaix[2014]和Masatliogluet al.[2012]及其中的参考文献）。通过标准存在性结果，均衡总是存在的。对于M>5的媒体，存在着许多均衡，同时存在和不存在均衡。均衡，它的镜像也是均衡。我们的研究结果表明，边缘媒体组织的意识形态在市场的复杂性中正在增加。命题5。边缘媒体组织的意识形态随着媒体组织数量的增加而（弱地）变得更加极端。本文的证明是伊顿和利普西[1975，p31]的一个结果的应用，并在此略去。直觉是，媒体组织试图在意识形态空间展开，以最大化倾听他们的代理人数量，因此，市场中出口数量的增加将最极端的组织推向边界。这与最初的观察一致，即媒体渠道的激增导致了媒体景观的两极分化。

下面的陈述说明了conformationbias a的存在和强度如何影响这种偏振。命题6。边缘媒体组织的意识形态随着偏见强度的增加而变得（微弱地）更加极端。偏见的存在降低了边缘媒体组织缓和其意识形态的动机。如果没有偏见，最极端的组织会希望缓和其意识形态，以吸引更多温和的听众，因为这不会让他们付出任何极端主义者的代价。限制这种温和的是其他更温和的组织的存在，如果边缘媒体变得太温和，它们可能会想“跳过”边缘媒体。然而，在存在偏见的情况下，边缘媒体组织不想对其意识形态进行太多的缓和，因为害怕失去一些最极端的名单。5模拟在本文中，我们依靠限制网络类别和/或均值假设来获得分析上易于处理的结果。例如，定理1只适用于代理主要监听自己的对称网络。命题2（极化）和命题4（冲击选举）的证明需要均值假设。在本节中，我们运行了一组广泛的模拟，以表明即使在放宽均值假设后，我们的结果在很大程度上仍然成立，并适用于一般类别的有向加权网络。模拟的第一步是建立一个具有现实结构特征的网络。Weconstruct是Jackson和Rogers[2007]中算法的改进版本，它创建的网络与实际社交网络的主要结构特征相匹配。我们从一个由M=40个节点组成的初始簇M开始，在步骤k=0，这样每个节点都相互连接，链路的方向以50%的概率随机确定；即如果tij=1则tji=0,而iftij=0则tji=1对于所有i,j∈M。在步骤k=1中，引入一个新节点，并随机“遇到”mr=20个其他节点。在每一次随机相遇中，形成链路的概率为PR=0.8，链路的方向以50%的概率随机确定。在通过随机会议形成这些连接之后，新节点会遇到她的新连接的Mn=20个邻居。她与这些连接中的每一个形成链接的概率为Pn=0.8，链接的方向以50%的概率随机确定。在步骤k=2中，引入一个新节点，该过程重复进行。当我们得到一个由1000个agent组成的有向加权网络时，网络形成过程在stepK=960处停止，一个agent平等地监听他们所有的邻居，但邻居的数量在agent之间是不同的。因此，linkweights依赖于正在监听的代理，因此网络被加权。在每一组模拟中，我们以这种方式生成1000个di-erent网络。对于每个网络，我们执行信念赋值100次。对于1000个网络结构中的每一个，我们给出了100个实例来比较学习过程的结果。在第二部分的模拟中，我们测试了结果的一般性和鲁棒性。网络T形成后，每个被试被分配一个从均匀分布u[0,1]中随机抽取的初始信念。一旦初始信念被赋值，我们从均匀分布u[0.05,0.15]中随机抽取一个参考偏差q值。从T开始，我们删除anylink tij，其中xi0-xj0>1-q，以形成网络T*。模拟在T和T*上运行了我们的学习过程，并比较了两个网络之间的结果。图5左面板中的直方图显示了收敛时间在T（浅灰色条）和T*（深灰色条）中的频率分布。

从简单的目测来看，很明显con偏置的存在使分布向右移动，符合定理1。尽管定理1假定每一个环节都是对称的，并且对于所有i来说，tii≥，虽然（通过构造）模拟网络中没有一个链路是对称的，Tii=0，但尽管选择了理论中所做假设的最具挑战性的测试，结果仍然成立。无补偿偏差的平均收敛时间为6.6个周期（{min,max}=[6,8])，而有补偿偏差的平均收敛时间为7.7个周期（{min,max}=[6,26])。图5的右面板显示了有（虚线）和无补偿偏差（实线）的学习过程中偏振平均水平随时间的演变。在任何学习发生之前，两极分化的水平是相同的，因为信号的初始分配是相同的。然而，一旦学习过程开始，偏振偏倚的平均水平就会更高，并且一直保持这种状态，直到每个人都收敛到相同的信念。由于有偏差的情况下，收敛的时间较长，所以在一段时间内，社会在有偏差的情况下两极分化水平为正，而在没有偏差的情况下，两极分化水平为零。这表明命题2中的结果对放松均值假设是鲁棒的。如果所得到的网络不是强连接的，我们忽略它，重新开始构建新的网络。在0.38%的情况下，有补偿偏差的模拟收敛比没有补偿偏差的模拟收敛快一个周期。图5：有和没有补偿偏差的收敛时间(a)收敛时间(b)极化在第二组模拟中，我们测试了第三节投票结果的鲁棒性，以放松均值假设。在第3节的基础上，我们将信号的分布离散化为xi∈{xEL,xCL,xS,xCR,xER}={0,0.25,0.5,0.75,1}。我们认为FS=0.2，所以20%的社会是由摇摆选民组成的。社会其余部分的初始信仰分布是随机确定的，Feléu[0.1,0.35]，Fcl=0.45-wEL，Fcréu[0.1,0.25]，Wer=0.35-FCR。此外，我们继续随机抽取FCR，直到初始信念的加权平均值小于0.5。这种设置确保我们专注于一个有趣的案例，即在学习发生之前和学习结束后，社会会投票给左派。假设在每个时间点都有选举，图6显示了震惊选举的比例，右派在有（浅灰色条）和没有（深灰色条）两种情况下都获胜。结果清楚地表明，即使在放松均值和智慧假设后，命题4的陈述也成立。在t=1的高峰期，22.3%带有偏见的选举最终以右翼获胜的令人震惊的结果告终。相比之下，在t=1时，无校正偏差的冲击结果的最大分值仅为微不足道的0.03%。模拟结果表明，极少部分无补偿偏差的冲击选举发生在学习开始后不久，而冲击选举可以发生在短期和中期有补偿偏差的情况下，也可以发生在无补偿偏差的收敛时间之后。这与这样一个事实密切相关，即收敛速度相对较快，但没有补偿偏差，但可能需要很长时间。特别是，在100,000次迭代中，没有偏见的震惊选举的最新时间是t=5，而例如，在t=10的震惊偏见下，我们有6.4%的选举结果是震惊的，当t>100时，仍然有一些震惊的结果。信念不需要在线上等间距，但我们选择这一点来帮助阐述。图6：右翼候选人的胜利6结论在线社交网络的出现极大地扩大了塑造我们观点的人数。

这种变化的另一个方面是，不再听别人说话变得非常容易；Itsu和CES“摆脱”他们。心理学的大量研究表明，错误偏见是我们处理信息的一个强大的过滤器，当我们很容易忽视不和谐的声音时，这种过滤器的相关性不可避免地增加了。本文将网络社会学习模型引入到网络社会学习模型中，研究网络社会学习模型对网络社会学习过程和政治舞台的影响，发现网络社会学习过程中的网络社会学习过程中的网络社会学习过程中的网络社会学习过程中的网络社会学习过程中的网络社会学习过程中的网络社会学习过程中的网络社会学习过程中的网络社会学习过程中的网络社会学习过程中存在着明显的负面影响。收入的增加阻碍了学习，加剧了社会的两极分化。将这些负面影响最小化的网络架构类型使得每个个体的位置都可以互换，不幸的是，它们与我们在现实世界中发现的网络截然相反。在政治背景下，欺诈偏见的存在使得更糟糕的候选人（给定可用的信息）有可能在令人震惊的选举结果中获胜。此外，欺诈偏见使得意识形态偏离媒体组织更加极端。本文展示了将行为经济学和网络理论相结合的潜力。除了少数例外之外，结合这两种方法的论文很少，尽管它们的共同目标是分别将决策心理学和社会互动的现实特征纳入标准的经济框架。我们希望这一贡献将鼓励在这两种文学的交叉点进行进一步的研究。参见，例如，Fryer and Jackson[2008]和Dessi et al。[2016].参考文献d。Acemoglu、A.Ozdaglar和A.Parandehgheibi。社会网络中信息的传播。博弈与经济行为，70(2):194-227，2010.H.Allcott和M.Gentzkow。2016年选举中的社交媒体和假新闻。经济透视学报，2017，31(2):211-36.阿南德，R·迪·泰拉和A.加莱托维奇。信息还是意见？作为产物的介质偏差。经济与管理战略学报，16(3):635-682,2007。Bakshy,S.Messing和L.A.Adamic。在脸书接触意识形态多样化的新闻和观点。科学，348(6239):1130-1132，2015.A。V.班纳吉。一个简单的羊群行为模型。经济学季刊，107(3):797-817，1992.R.Basu，J.Hermon和Y.Peres。可逆马尔可夫链的Cuto空间的刻划。第二十六届ACM-SIAM离散算法年会论文集，1774-1791页。暹罗，2014年。Bikhchandani，D.Hirshleifer和I.Welch。关于时尚、时尚、风俗和文化变化作为信息级联的理论。政治经济学杂志，100(5):992-1026，1992.R.M.Bond、C.J.Fariss、J.J.Jones、A.D.Kramer、C.Marlow、J.E.Settle和J.H.Fowler。这是一个6100万人的关于社会团结和政治动员的实验。《自然》，489(7415):295，2012.S.Boyd，P.Diaconis和L.Xiao。图上最快混合马氏链。《暹罗评论》，46(4):667-689，2004年。Braha和M.A.De Aguiar。投票传染：美国总统选举一个世纪的建模与分析。公共科学图书馆第一卷，12(5):E0177970,2017.a。G.Chandrasekhar、H.Larreguy和J.P.Xandri。网络上社会学习的测试模型：来自两个实验的证据。经济计量学，88(1):1-32，2020.S。Choi,E.Gallo和S.Kariv。实验室里的网络。在Y.Bramoull\'e,A.Galeotti和B.罗杰斯，编辑，牛津网络经济学手册，第440-475页。牛津郡大学出版社，2016年。康利斯克。马尔可夫链的比较静力学。经济动力学与控制学报，9(2):139-151，1985.Corazzini，F.Pavesi，B.Petrovich和L.Stanca。在《倾听者：一项关于社交网络中说服偏见的实验》中。《欧洲经济评论》，56(6):1276-1288，2012.M.H.Degroot。达成共识。美国统计协会杂志，69(345):118-121，1974.页。M.DeMarzo、D.Vayanos和J.Zwiebel。

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