一个匿名消费者持久市场的演化模型

因为销售是由复制方程式控制的，我们可以写出利用等式(57)，关系式变成这在统计上是可以做到的。我们认为价格变化由附加部分和随机贡献组成：）（）（TFDD.随机价格贡献取均值与时间相关的白噪声:0)((D)\'()\'()，((D))，(D)，(66)带指数的括号表示时间平均值，D为噪声幅度。方程（64）给出的价格演化为随机朗之万方程。第一个术语可以解释为一个恢复力F(ph)，它使模型的价格接近主题价格。基于相应的Fokker-Planck方程，平稳价格分布可由（附录B）给出:H_0_0_0·0·0·0·0·0·0·0·0·0·0·0·DBP_2exp~((67)因此，该模型中的价格分布为拉普拉斯（双指数）分布。在半对数图中，拉普拉斯分布在平均价格附近呈帐篷状，<>。由于业务单位对任意小的销售变化没有反应，因此小的价格变化与销售变化没有直接关系。因此，elaplace分布只描述了围绕平均价格的大的价格变化。这样的分布被称为肥尾[17].2.4.3。业务单位的规模和增长率分布在本节中，我们将重点讨论业务单位的规模和增长率分布，并通过其单位销售额来定义业务单位的规模。业务单位的大小分布是由在y和y+DY区间内找到业务单位的单位销售额的概率决定的。用yt对等式（46）进行缩放，在短时间尺度上，单位销售额的相对丰度的时间演化由:)()(YPRDYDPYY(68)从等式中得到。（18）和（46）在短时间尺度上的平均增长率为:011ryryddyyiiittt(69)虽然平均增长率为零，但单个企业单位的增长率围绕平均值波动，由增长率分布PR控制。公式（68）表明，业务单元的规模演变是由一个乘法随机过程决定的。中心极限定理表明，在这种情况下，在足够长的时间内，业务单元的大小分布由对数正态分布函数(pdf)给出，其形式为:^awic-^tutyyytypy2202)/ln(exp21)，(ΔΔ(70)，其中u和是自由参数，y/y是由大小att=0缩放的业务单元的大小。注意，规模分布在长时间尺度上变宽，但在短时间尺度上可以被认为是稳定的。增长率分布Pr(r)决定了一个企业单位的相对丰度在r和r+DR区间内有一个增长率。注意，价格的波动与增长率的变化直接相关，方程（61）。因此，通过改变变量，可以直接从价格分布中得到单位销售额的增长率分布。我们得到（附录C):\\rrpr\\exp~)((71)，其中，\\rrpr\\exp~)((71)（log yyr(72)由单位销售额的对数确定。

因此，进化模型表明，平稳增长率分布也是由拉普拉斯（双指数）分布给出的。在情商中提出的平均价格演变。(59)、同样，平均价格也在这个演化模型中演化。因为作为价格函数的销售的相对丰度是由其中的plicator方程控制的，我们可以写出价格分布的演变(\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\（77）在这里是由...0~~adbarbarbarbarbarddvddfdd(79)确定的，因为方差总是正的。根据市场交易量，等式（9）得出稳定价格由m给出。因为市场成交量在那里有一个最大值，不稳定。对于一个稳定的价格分布，我们得到平均价格接近M，根据（附录参数a在这里表示为价格下降率，并在长时间尺度上作为常数。因此，进化理论表明，耐用品的平均价格在长期内呈指数衰减，并接近于masymptally。Gompertz diffusiona价格下降的结果是市场容量和采纳者的数量随着时间的推移而增加。采用体密度的增加可以解释为扩散过程。对于局部价格分布，采用者密度的增加等于平均价格下的市场交易量的增加:Δdttdvdttdng)()(Δ(81),因此Appleyingeq.(9)进化方法表明，采用者密度的演化过程为:ΔaTGGKNN·2202)(exp)(mgGTNTN·0·83),而100°BGNN(84)与等式(82),进化模型表明扩散过程是由Gompertz方程决定的:ΔaTGGKentn·20exp)(ΔiTGKentn·20exp)(85)与2202℃·K(86),因此，进化扩散过程对应于Gompertz扩散过程。GompertzAspecification率为:§attakndttdntygggtf 2 exp)(2)(-(87)2.5。一个耐久产品的产品生命周期的两个扩散过程可以被认为是独立的。Bass扩散被解释为一个扩散过程，Gompertz扩散被解释为一个进化的价格适应过程。因此，总采用者密度由:)\'()()\'(tntnttngbπ(88)决定，其中我们假定扩展过程从引入t=0开始。evolutionaryprocess被hub t移位，这样:0\'ttt(89)现在我们能够建立产品生命周期。根据方程(28)，由于低音扩散对产品生命周期的贡献是:)()()()(PBTFBBTFBTTTTRYTQNTYTY(R)(R))(90)，其中密度和采用率由方程给出。（32）和等式（33）。因此，低音扩散需要三个自由参数nb0=)，A和b，产品生命周期需要额外的参数Q，R和tp。等效地，贡珀兹扩散对产品生命周期的贡献是:)\'\'(\')\'(\')\'(\')\'(Pgtfggtfgttyrtnqtyty^^91)贡珀兹扩散也由三个自由参数nG0，k和A组成，并由用于多次购买和替换购买的自由参数Q\'和R\'补充。对于两个采用过程，产品寿命可能本质上是不同的，TP，TP\'。单位销售总量为:\'()()\'，(TytyTygTbTtt)(92)。因此，由于两个扩散过程，可以预期产品生命周期呈现出两个特征周期波。

与经验结果相比，本模型的目的不是对一个商品的演化做出精确的统计预测。相反，我们希望表明，进化理论允许在一个单一的理论框架内对许多经验结果进行定性解释。为此，我们想将模型与实证结果进行比较。该演化模型可以与经验数据进行比较：（1）规模分布为对数正态分布，增长率呈拉普拉斯分布；（2）企业单位的价格在较大的价格偏差（肥尾）下服从拉普拉斯分布；（3）扩散过程由Bass和Gompertz机制组成。BASS扩散与价格没有直接关系。而Gompertz扩散与平均价格的演变关系密切，预测平均价格呈非指数下降。IV）总单位销售额可以分为Bass和Gompertz贡献。由于商品的替换购买，可以预期产品的生命周期接近于一个具有周期性变化的平稳状态。v）具有恒定适应优势的产品取代竞争模型，因此单位销售的市场份额受物流法则的控制。规模、增长率和价格分布增长率分布的实证研究不考虑企业单位，而是考虑企业。由于一个公司的业务部门的数量可能相当大，所以用经验数据进行的分析是定性的。对企业增长率分布的统计研究表明，制造业企业的销售pdf位于模型所建议的r=0附近。请注意，单位销售和财务术语中的销售可以被使用，因为价格可以用平均价格表示。经验发现，增长率的分布可以用拉普拉斯分布来描述[20]。这一结果与该理论导出的增长率分布一致。详细分析表明，增长率分布依赖于企业规模，可以用亚博汀分布来近似[21,22]。结果表明，生长速率分布的标准偏差为y-，随。由于增长率分布的这种依赖性的推导超出了本文的目的，因此不可能与这种关系进行直接比较。对这种关系的一种解释是，这种依赖性是由于企业内部业务单元的自相似结构造成的。因此，大公司的增长波动比小公司小[23]。这一观点符合本文的进化观点，因为由不同的业务单元组成的企业具有非进化的竞争优势。该模型还表明，企业与其产品之间存在着密切的关系，产品的增长率分布必然与业务单元的相应分布相当。对世界制药行业产品的实证研究表明，产品的增长率分布与企业的增长率分布几乎等价，证实了现有模型[24]，企业规模（销售额）的分布应为对数正态分布，即成比例增长规律（Gibrat定律[25])。然而，目前的模型表明，这种正态分布只对产品（业务单元）严格有效，而对企业不是。这一结果得到了Growiec等人的实证证实。[26]。

他们发现医药产品是对数正态分布，但对公司来说，对数正态分布在上尾有一个powerlaw偏离，因为大公司由许多业务单位（产品）组成。价格分布的统计确定需要大量的数据。这些数据可以从证券交易所的交易活动中获得，这允许对价格分布进行详细的研究，例如股票、债券、货币等。许多价格分布被发现显示出肥尾[17]。类似的结果也被发现用于非持久性产品，例如电力价格[27]。然而，没有一个明确的经验性证据表明耐用商品的价格分布是厚尾的。扩散过程与产品生命周期扩散过程以市场渗透率为特征，产品生命周期由单位销售总量决定。通常，实证调查集中在汇总数据上。不幸的是，聚合数据包含所有过程，包括Bass和Gompertz扩散。产品生命周期最多需要15个自由参数。因此，基于聚合数据的扩散过程描述是相当复杂的。这里讨论的经验研究是这样安排的，我们从那些具有最低数量所需自由参数的例子开始。Bass和Gompertz扩散在文献中都被用作预测ARKET渗透的工具。进化理论表明，对于耐用品来说，它们可以预期都是明显的。然而，在这两个扩散机制中，通常很难将经验数据分开。由于企业通常不受价格的限制，可以预期低音扩散将主导大部分工业应用的耐用品。另一方面，在昂贵消费品的扩散过程中，Gompertz扩散应该是明显的。为了区分这两种扩散机制，我们利用预测的价格与商品的市场渗透之间的密切关系，给出了由三个未知参数决定的平均价格演化，并给出了Byeq.(80)。为了简化拟合过程，我们引入了如下价格函数:\'00~)\'()\'()\'(\'atmepptpttit\'\'\'archarcarcul(93)，t\'由等式（89）给出。当价格演变呈指数下降时，它就开始了。本文在t=0的情况下指出，价格下降的开始是不清楚的。价格函数方程（93）有两个优点：1。在短时间内，平均收入会逐渐缩小，因为它变化缓慢。因此，我们可以用名义市场价格p(t\')代替实际价格。根据等式(80)，标度价格函数应该是半对数图中的线性函数。因此，通过适当地选择参数pm/p，经验数据排列成一个线性函数，而其斜率决定了价格下降率a。为了将经验数据与所提出的模型进行比较，拟合过程开始于指定supt和相应的引入价格pin等式（93）。对另外两个未知参数a和pm/p进行最小平方拟合，得到图中显示的实线。虽然在短时间内，可以忽略方程（92）中的平均收入的比例，但在长时间内，必须考虑平均收入的演变，i=i(t\')。平均价格可以由t\')计算，其中p(t\')是经验名义价格。对于年平均收入，我们利用了Silva和Yakovenko[8]给出的经验数据。年平均收入可以用函数来近似:θ\'01)\'(tTItIó(94)，其中t\'以年为单位，t=0.05，i=4400美国美元，如图2所示。这个关系表明年美国收入平均增长约5%。

该方法只适用于彩色电视机，在扩散过程中，参数a被认为是固定的，对于GompertzEmpersion。由于参数k使扩散曲线在时间上移动，因此可以通过改变Ng0由aleast平方拟合得到。实证研究确定了一个国家的市场渗透率与家庭数量的关系。因此，市场渗透率主要表现为家庭的百分比。按家庭计算的最大市场渗透率在这里表示为:NMAX=M/NH。与理论推导不同的是，市场渗透率由nmax=nb0+ng0给出。在市场渗透率数据中，低音扩散的影响有时很小。不过，它在产品生命周期中对销售的贡献是显而易见的。因此，参数sa，B和nb0是由经验单位销售确定的。参数Nb0的调整使得市场渗透率和首次购买的单位销售之间的重合性很好，其他与回购和多次购买相关的参数仅用于考虑较长时间的单位销售。由于从回购过程中获得的明确数据对于所给例子是不可用的，所以我们对这些参数进行了估计。彩色电视机作为第一个例子，我们想考虑彩色电视机在美国的扩散。这个例子被选择，因为经验数据是关于市场价格，市场渗透率和第一次购买销售在很长一段时间内的。这里需要最少数量的freeparameters。价格依赖性可用a和PM/P来拟合。用Bass扩散的nB0、A、B和Gompertz扩散的Ng0、k五个参数进行市场渗透率和首次购买销售。对于彩电，用Vanston[28,29]的经验数据拟合了规模价格和市场渗透率n(t\')。它们显示在图3中，而自由参数总结在表1中。由于时间周期超过三十年，我们利用了方程(94)，如图4所示为彩电首次购进销售的经验数据[28]。由于首次购买销售是由市场渗透率的一阶导数决定的(27)，所以这个函数完全由市场渗透率的五个参数决定。1958年前后的销售小高峰是由低音扩散引起的，而第二个高峰则是由Gompertz扩散引起的。1972年前后销售的巨大变化可能是由于图（3）所示的同一时期的价格波动所致。这个例子展示了价格与市场渗透率之间的预测的密切关系，因为如图3所示的指数价格下降控制了市场渗透率和首次购买销售。传真机一个教科书上的例子是传真机在美国的扩散[14]。Economidesand Himmelberg[30]详细研究了扩散过程。这个例子在两个方面很有趣。首先，如图所示，产品推出几年后，价格开始呈指数级下降。5.图中还显示了市场渗透率的经验数据。很明显，低音扩散在产品推出后的第一年占主导地位，其次是Gompertz扩散，并在4年后发生了变化。实线表示与表1中总结的参数的经验数据相吻合。该模型没有推导出Bass扩散过程中的价格演化，因此没有进一步考虑。其次，作者还研究了Infig所示的装机基数增长率。这些数据比总的单位销售额更有指导意义，因为它们代表的是第一次多次购买，而不是替换购买。

图6中的实线是由方程（92）预先确定的，其中r=r′=0。值得注意的是，低音扩散表现出高的倍数购买参数，而对于Gompertz扩散，我们估计为q′0。这一结果可以解释为：传真机是业界首先应用的网络产品。对于一个标准的消费者来说，拥有一台以上的传真机是没有用的。然而，工业用户重新购买这种产品订单，建立自己的本地网络。由于公司通常不受价格的限制，低音扩散主导了最初的三年，随后几乎不变的多次购买产品，这是理论所建议的。Gompertz扩散与1988年左右的销售高峰有关。6.在此期间以外，消费者没有额外多次购买。由于非工业用户只购买一台传真，在Gompertz扩散后，销售回到工业代理商多次购买的水平。Wang[31]给出了美国黑白(B&W)电视机市场渗透率和实际平均价格演变的数据。在图7中显示的是价格函数和市场渗透率，其中实线与表1中给出的参数相吻合。选择这个例子是因为产品的生命周期已经知道了很长一段时间，大约30年，如图8[32]所示。值得注意的是，销售表现出周期性的变化，正如本模型所暗示的那样。在图8中还显示了根据方程（92）的拟合，其中应用了整个参数空间（表1）。根据目前的模型，产品生命周期应该由两个周期波组成，与Bass和Gompertz扩散相关联。虽然经验数据不能完全拟合，但价格的周期性变化是明显的。与低音扩散相关的波在1950年、1959年、1968年和可能的1977年达到峰值。因此，产品寿命约为，TP年。1955年、1965年和1973年的其他销售高峰根据现有理论与产品寿命TP\'10年的Gompertz扩散有关。虽然销售曲线的一致性并不完美，但结果定性地证实了所提出的理论。注意，B&W电视的销售受到彩电的干扰，彩电的成长期为1964-70年（图3）。彩色电视的偏好参数明显高于B&W电视，彩色>>B&W。然而，在推出彩电后，B&W电视的销售数据并没有明显的快速下降。这一结果表明，如果效用属性I>>J、价格Ij存在明显差异，市场可以划分为独立的市场细分。注意，meanprice必须与相应的市场细分相关。当平均价格变得可比时，分部合并为同一分部。这是1978年以后的情况，与彩电放置B&W电视有关，这里没有显示[31]。空调器和烘干机幸运的是，大多数实证调查要么集中在市场渗透率和单位销售上，而忽略了价格的演变。虽然总市场渗透率数据通常可以通过应用Bass或Gompertz扩散来拟合，但对产品生命周期的研究变得更加复杂，尤其是当Bass和Gompertz扩散同样占主导地位时。在美国，空调和干衣机的扩散似乎就是这种情况。这些商品的产品生命周期的经验数据由Steffens[32]给出，并显示在图。9和10。还显示了根据等式（92）的单位salest的拟合，为了简单起见，我们忽略了替换贡献和set pult=0。产品生命周期可以根据目前的进化理论理解为Bass和Gompertz扩散序列。

为了表明它的存在，Bass和Gompertz扩散的第一次购买销售额在这些图中用灰色线显示。不断适应优势进化模型预测具有不断竞争优势的产品的销售市场份额的物流增长。有几个例子，在经济数据中发现了市场份额的逻辑增长[33,34,35,36]。在这里，我们希望仅限于一个例子，它允许应用进化模型的两个部分；整个市场的演变和一种产品的主导地位（这里是astandard）：录像机。VCRVideo Cassette Recorders(VCR)在1976年与索尼公司第一台独立的Betamax机一起在美国推出。一年后，VHS格式进入市场。例如，Park[37]详细研究了这两种主要标准的演变。这两种格式都是由许多制造商生产的。两种格式的价格演变显示在图。11、连同平均价格。条表示两种录像机标准的价格范围[37]。实线表示方程（80）与NominalPrices的拟合。显然，平均价格在时间上是下降的，这表明了VSRMechanism的作用。虽然这里没有显示市场渗透率，但VCR单位销量显示在infig.12。Gompertz和Bass扩散过程都相继贡献了总单位销售额y(t)（实线），而我们从图11中的价格下降中获得了好处。然而，与以前的样本(B&W TV的）不同，由于Bass扩散而没有明显的峰值。还显示了yVHS(t)和yBeta(t)两种格式的销售情况。VHS市场份额为:)()()(TytyTMTVHSVHS(95)和mBeta(t)=1-MVHS(t)。将VHS市场份额绘制成半对数图，该理论提出了一个线性函数形式:mbetavhscttmtm)()(ln(96)该图在图13中执行。实线与方程（96）的拟合为±0.22，cm=0。因此，目前的模型表明，VHS格式相对于Betamax格式具有相对恒定的适应性优势。使用公式（92）中的总销售额，并应用逻辑方程公式（96）中的=0.22，可以重新评估这些格式的销售额，并用图12中的虚线表示。结果表明，本文的理论在定性上正确地描述了版式销售与市场总量之间的关系。注意，适应优势不是由于较低的价格，因为价格范围在图。11对于这两种格式是可以比较的。由于？几乎是常数，VHS格式的成功很可能是由于偏好优势或较高的再现系数。后者更有可能，因为VHS制造商的数量大大增加了Betamax制造商的数量[37]。在经济学文献中，竞争优势的来源被假定是由于网络效应[38,39]。这种影响表明，采用者具有anetwork产品的效用优势，这种优势随着采用者数量的增加而增加[40]。注意，网络效应意味着随着时间的推移，由于一种格式的采用者数量的增加，增加了。实际上，在80年代末，增加了。这是造成预测销售函数与图中的经验数据偏离的原因。12 1986年以后。然而，将这一结果明确地归因于网络效应需要对网络效应进行规范，这里没有执行。结论：在营销研究中，为了用经济决策变量来解释产品生命周期，人们发展了越来越复杂的基于Bass扩散的模型[41,42,43]。所提出的模型提供了一种完全不同的方法。

本文认为，耐久性产品的扩散过程包括一个由BASS扩散控制的扩散过程和一个伴随着价格下降的市场容量扩张的演化的Gompertz扩散机制。在后一扩散阶段，市场在这个时间尺度上处于准平衡状态，与几乎恒定的总产量相关联。Gompertz扩散是制造商（业务单位）之间争夺新的潜在用户的结果。耐用品的Gompertz扩散可以如图（14）中示意性显示的那样可视化。胖线表示市场交易量。它表示商品的有效需求曲线。价格分布P受随机价格波动的支配。目前的理论认为，对于价格偏差较大（肥尾），价格分布可以用拉普拉斯分布来描述，平均价格在<。平均价格的演化是由梯度动力学决定的。演化模型表明，平均价格下降的速度与适应度梯度（市场容量）成正比，平均价格按指数规律逼近。与这种价格下降相关的是市场数量的扩大，同时也是采用者密度的扩大。相应的扩散过程服从Gompertz方程(seeinsert,n(t))。在另一个插入中显示的是产品生命周期，其特征是totalunit sales yt(t)（胖行）。它包括首次购买ytf(t)、多次购买ytm(t)和置换购买ytR(t)（虚线）。由于参数空间较大，在没有关于首次购买和回购过程的额外信息的情况下，对总经验结果的一般讨论很复杂。然而，themodel预测指数平均价格下降与Gompertz扩散之间存在密切关系。这种关系可以得到严格的检验。与B&W电视机、彩电、传真机和录像机在美国公司中扩散的经验数据的比较这种关系。更复杂的是销售的长期演变特征。由于首先购买需求分为Bass和Gompertz贡献，采用过程可能会产生两个销售高峰。此外，置换购买导致这些峰值的周期性变化。通过对B&W电视机销售的实证数据的调查，验证了这一预测。请注意，耐用商品的有限寿命通常为7-11年，这种周期变化在经济理论中称为朱格拉周期。目前的模型与Juglar循环的标准解释一致[44]，该模型预测价格分布与拉普拉斯分布有关，拉普拉斯分布是由竞争企业对销售变化的价格决定引起的。我们想强调这个理论中竞争的基本性质。平均价格演变与价格分布的方差成正比（方程75）。如果方差为零，如在垄断的情况下，市场被“冻结”到远离最大适应度的状态。这意味着，对于一个单一市场来说，市场不能放松到最大适应度的状态。垄断对自由市场的负面影响是众所周知的经济事实。请注意，以前的进化经济学文献侧重于市场的供应方，特别是商业单位的技术进化([45]，[46])。目前的方法考虑了需求方面的变化。该模型解释了自由市场中大量的产品是业务单位模型永久变化的结果。根据他们的产品适合度，他们可以上升或下降。

产品的消亡被消费者的选择过程所取代，这个过程可以用一个恒定的适应度优势的alogistic定律来描述。两个VCR标准SVHS和Betamax之间的竞争显示了预测的logistic替换关系。与物种进化论相似，该理论还表明，从第一次发明到现在的应用，任何人都可以画出一棵进化树。最后，我们想提到进化论和新古典主义对市场的看法之间的辩论([47])。目前的方法表明，这两种观点相互融合。这是一个时间尺度的问题，是一个均衡的观点还是一个进化的观点更合适。这种情况类似于对大陆漂移的描述。在生命的每一天，地壳都处于准平衡状态。只有在较长的时间尺度上，大陆的漂移才是明显的。同样地，一个市场可以在一个短时间尺度上被视为处于均衡状态。在沿时间尺度上，我们可以看到在工作中的演化。附录再生参数本章致力于对再生参数的考虑。让我们考虑一个任意的业务单元。在短时间尺度上的目标是使利润流最大化：）()(skpyyg_(A1)其中作为供应产品的函数的总成本K(s)可以作为额外产出的函数扩展为额外的供应必须改变，直到s=y，因此=0。这可以通过降低容量来实现。但由于这种变化是有限的，在一个较大的销售变化上，另外价格是下降的。案例<0表明一个业务单位销售的产品超过了可以提供的产品。这种影响减少了可用产品的数量x，这是通过情商的方式导致的。（24）及时减少这些量。然而，业务部门对减少销售额不感兴趣，因为这减少了利润。因此，这种情况通常通过增加资本来弥补，如果这无济于事，则通过增加价格来弥补。因此它们增加到。因此，再生产系数将随时间的变化而波动，以适当的（有限的）变化来补偿利润。利用企业的行为来推导价格分布，并可将其解释为与再生产参数有关的恢复力Fs接近于零。再生产系数的动态可以近似为:(γγsfdd_(A3)由于在=0时恢复力必须为零，我们可以将fs展开，得到最多为一阶的:γγγ_dd(A4)中的平均补偿率，并表示随机波动。然而，我们必须考虑到产品所获得的利润可以用于增加生产能力，称为投资。这里的投资被认为是在短时间间隔内产出的正跳变。它们还会导致与价格调整相关的销售波动。应用等式(19)，单个投资的供给变化可以近似为:)()()(\')()(q)(q)(q)(q)(q)(q)(q)(q)(q)(q)(q)(q)(q)(q))(q)(q)(q)(q))(q)(q)(q))(q)(q))(q)(q))(q)(q))(q)(q))(q)(q))(q)(q))(q)(q))(q)(q))(q))(q)(q))(q)(q))(q)(q))(q)(q))(q)(q))(q)(q))(q)(q)在“...”期间。

产出的增长是由类似于smalljump的步长的累积引起的，而ms通过第m次投资来决定生产能力的变化。用ms的平均值近似ms,我们可以写出:^^^()(^^inmmni(A7)来评估我们利用的投资数量，因为投资必须从产品的利润流中支付。偿还投资的时间称为摊销时间。对于平均摊销时间，可以用以下方法来近似：aitn选项选项的数量：aitn选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项选项。选择一个非常短的时间间隔-1，即时间平均生产参数，因为业务单元不受波动的影响。对于-1<，产能变化投资的影响可以忽略不计，而业务单元有足够的时间从波动中放松。因此:0γ(A9)这段时间内的平均值对应于短时间尺度上的考虑。选择一个非常长的时间周期ta<<a进行大量的投资，结果产出有相当大的增加，因此:0tγ(A10)而指数t表示长时间尺度上的时间平均值。从方程(A5)和(A6)中我们得到了长时间尺度上的平均再生产参数的关系式:ynit~γ(A11)，再生产参数可以进一步由摊销时间与利润流g有关的事实来确定。利润流越高，再生产参数就越高由产品制造的摊销时间越短:1~-gta(A12)，将单位利润写成:ygg(A13)，我们得到平均再生产参数与单位利润成正比:gt~γ(A14)，在我们使用等式(A8)的情况下。这种关系意味着，在长期内，一个具有G0的产品将从市场上消失，因为没有足够的金融储备用于投资。这是众所周知的经济事实。结果还表明，所有存活产物的G>0。请注意，如果利润不重新投资，即使单位利润为正，利润最大化的业务单位也会有很短的寿命。附录B价格分布价格概率分布的朗之万方程（67）对应的福克-普朗克方程可以写成:±langeprobability分布:±langeprobility分布:±langeprobility分布:±langeprobility分布:±langeprobility分布:±langeprobility分布:±langeprobility分布:±langeprobility分布:±langeprobility分布:±langeprobility分布:±langeprobility分布:±langeprobility分布:±langeprobility分布可以进行。利用等式(65)，我们得到了对于平稳价格分布:H_2O_3·O_3·O·O·1·O·O·DB_2exp)((B4)，因此价格分布是由Laplace（双指数）分布给出的。价格分布的方差是与时间无关的，由:2221)(bDPVar'A(B5)附录CWe想确定业务单位的增长率分布。经验主义研究通常调查给定时间间隔的业务单位的增长率差异。考虑到时间间隔，使得复制器方程（式(46))有效，微分方程可以用差分方程近似:)()()()(ryy^^^^(C1)，其中。将时间按用:ar·ar·ar·ar·r·r·r·r·r·r·r·r·r·r·r·r·r·r·exp·r·(c·4))得到了平稳分布