复合Wishart矩阵与噪声协方差矩阵：风险 低估

对于n和T的小值，如图中的上部图，n=20和T=25，上部图的直方图的平均值，由每个直方图中的虚线表示，等于0.47（缩放前）和1.099（缩放后）。因此，缩放技术仍然有效，并证明了预测风险的估计。再次注意，当n和T从n=20和T=25增加到n=200和T=250.5时，从上图到中图的预测风险和真实风险比率的标准差的减少。在这一节中，我们使用股票市场的真实数据，观察使用缩放技术在改进最优投资组合预测方面的效果。对于30只股票，n=30，我们使用大量（354）的观测来计算Truerisk。为了计算预测风险，我们只使用50个观测值，即T=50。为了计算预测风险，我们随机选择50个观测值，并用它们来搜索协方差矩阵的MLE（或EWMA）,然后将MLE（或EWMA）反演并计算预测风险。在重复这个过程100次后，我们使用推论4.1（或EWMA协方差情况下的推论4.2）的结果直方图显示了缩放前后预测风险与真实风险之间的比率。在图（5）中，我们说明了MLE协方差情况下预测风险与真实风险之间的比率。如上直方图所示，在缩放之前，风险之间的比率平均值为0.631。而在缩放后，风险之间的平均比率为0.998，如下面的直方图所示。这表明，在MLE协方差的情况下，使用推论4.1在估计最优投资组合的风险方面有了真正的改进。在EWMA协方差的情况下，我们为衰减因子选择一些值，例如λ=0.98，并使用推论4.2说明缩放前后预测风险与实际风险之间的比率，如图（6）所示。在上直方图中，风险之间的比率在缩放前的平均值为0.64。而在缩放后，如下面的直方图所示，则对WISHART矩阵和噪声协方差矩阵进行了压缩：风险低估21图5。该图描述了使用真实数据的MLE协方差的预测值和真实值之间的比率。上面的直方图描述了缩放前风险之间的关系，而下面的直方图使用推论4.1描述了缩放后的关系。很明显，在对预测的风险进行缩放后，对最优投资组合的风险估计有一个真正的改进，风险之间的比率达到1.008。因此，对于EWMA协方差，利用推论4.2的结果可以更好地估计最优投资组合的风险。我们得出结论，在不同的协变量下，标度技术允许最优投资组合的风险预测。注5.1。在EWMA的情况下，我们对衰减因子λ取不同的值，在每次使用缩放技术后，预测的风险与真实的风险之比都更接近于1。结论对于协方差矩阵的一般估计，利用我们关于复合Wishart矩阵的逆矩的结果，我们可以用一种缩放技术来消除由估计最优投资组合收益的协方差矩阵所引起的噪声的渐近效应。作为应用，我们提出了一种基于指数加权移动平均估计股票收益协方差矩阵的风险估计方法。模拟表明，在估计最优投资组合的风险方面，缩放技术有显著的改进，优于使用滤波技术[BiBouP]。22 Beno It COLLINS，DAVID MCDONALD和NADIA Saad，图6。

该图使用股票市场的真实数据描述了EWMA协方差的预测值和真实值之间的比率。如图中所示，两种风险之间的比率的平均值（由每个直方图中的虚线表示）在下图中缩放后变得更接近1。我们认为噪声对最优投资组合风险和权重的计算的影响来自于估计协方差矩阵的逆（使用协方差矩阵估计量的逆），而不是估计协方差矩阵本身。改进协方差矩阵逆的估计是我们今后工作的一个有趣的主题。和N.S.得到了NSERC发现赠款B.C.和N.S.的支持。由安大略省的ERA赠款支持。作者感谢M.Alvo,M.Davison,R.Kulik和S.Matsumoto的支持和富有启发性的讨论。参考文献[Ak]V.Akgiray,股票收益时间序列中的条件异方差性：证据与预测，商业期刊62：55-80,1989[A]T.W.Anderson,多元统计分析导论，第三版。概率统计中的WileySeries。Wiley-Interscience[John Wiley&Sons],Hoboken,NJ,2003.[B]P.Billingsley,概率与测度，第3 edn,J.Wiley&Sons,Inc.,1995.[BiBouP]G.Biroli,J.-P.Bouchaud，M.Potters，2007年。相关矩阵的学生集合，物理学报。复合WISHART矩阵和噪声协方差矩阵：风险低估23[Bol]T.Bollerslev,广义自回归条件异方差性，Journal of计量经济学31：307-327,1986.[BP]J.P.Bouchaud和M.Potters,Theory of Financial RISK,J.Jarosz,J.Jurkieewicz,M.A.Nowak,G.Papp和I.Zahed,将自由随机变量应用于金融数据的随机矩阵分析。arxiv.org:Physics/0603024,2006.[CM]B.Collins和S.Matsumoto,关于正交Weingars的一些性质十个函数，数学。Phys.50,113516,2009。[CMS]B.Collins,S.Matsumoto,N.Saad,不变矩阵的积分及其在统计学中的应用，arxiv.org/abs/1205.0956,2012。[CS]B.Collins,P.Sniady,关于酉群、正交群和辛群上Haar测度的积分。数学。菲斯。264（3）：第773-795页，2007。[K]N.El Karoui,Markowitz问题中的高维效应和线性等式约束下的其他二次规划：风险低估，统计年鉴，2009。[[例如]E.J.Elton和M.J.Gruber,现代投资组合理论和投资分析J.Wiley父子，纽约，1999；H.Markowitz，《投资组合选择：投资决策》，J.Wiley父子，纽约，1959年。[F]E.Fama，《股票市场价格的行为》，《商业杂志》，38:第34-105196页。[H]F.Hiai和D.Petz，《半圆定律》，自由随机变量和熵，第2卷。77的数学调查和专著。美国数学会，普罗维登斯，国际数学会，2000。Bouchaud和M.Potters，随机矩阵理论和统计相关。国际理论与应用金融杂志，第3页。391-397,2000。[麦克唐纳]，对称函数和霍尔多项式，第2版。牛津大学出版社，牛津，1995年。[Mard]K.V.Mardia,J.T.Kent,J.M.Bibby,多元分析。学术出版社[哈考特·布雷斯·约万诺维奇出版社]，伦敦。概率与数理统计：系列专著与教科书，1979年。[马克]H.Markowitz,投资组合选择，The Journal of Finance 7（1）：pp.7791,1952。[马特]S.Matsumoto,逆实Wishart分布和正交Weingarten函数的一般矩，ARXIV:1004.4717 v3,2011。[穆]R.J.Muirhead,多变量统计理论方面，John Wiley&Sons Inc.,New York,1982。[PK]S.Pafka和I.

噪声协方差矩阵与投资组合优化II，PHYS。A 319：第487-494页，2003年，[PGRAGS]诉Plerou,P.Gopikrishnan,B.Rosenow,L.A.N.Amaral,T.Guhr和H.E.Stanley,电子印刷品COND-MAT/0108023；B.Rosenow,V.Plerou,P.Gopikrishnan和H.E.史丹利，电子版COND-MAT/0111537。Speicher,自由积合并与算子值自由概率论的组合理论。阿默尔。数学。Soc.,132，1998.[T]Y.Tse,Tokyo Stock Exchange,Japan and the World Economic,3：pp.285-298,1991.[W]J.Wishart,Normalmultivariated propert moment droperties in samples from a normalmultivariated proplex moment dates,Biometrika,20a：pp.32-52,1928.24 Beno it COLLINS,DAVID MCDONALD,和NADIA Saadbeno it Collinsd Epartement de Math Ematique et Statistique,University de Ottawa,渥太华大学数学和统计学系，渥太华大学数学和统计学系，渥太华大学数学和统计学系，渥太华大学数学和统计学系，渥太华大学数学和统计学系，渥太华大学数学和统计学系，渥太华大学数学和统计学系，渥太华大学数学和统计学系，渥太华大学数学和统计学系，渥太华大学数学和统计学系，渥太华大学数学和统计学系，渥太华大学数学和统计学系，渥太华大学数学和统计学系，渥太华大学数学和统计学系，渥太华大学数学和统计学系，渥太华大学数学和统计学系，渥太华大学数学和统计学系，渥太华大学数学和统计学系，渥太华大学数学和统计学系