能源市场中摆动合约的最优执行：一个积分 约束随机最优控制问题

由于Φ∈Cp(Rn+1)，所以可以重写该问题，使Φ0（见[10，注IV.6.1])。如[10，引理IV.9.1]的证明（略有改进：假设略有改进），我们得到V(t，p+hζ,z)+V(t，p-hζ,z)-2V(t，p，z)≥-m(1+pj)h,对于(t，p，z)∈D，h>0和ζ,且ζ=1,其中m>0是常数。因此，函数V(t，·，z)是局部半凸的，一致地在(t，z)中，然后是A.E。我们现在给出满足假设3.5的两大类问题。本文讨论了U是R的紧区间，且g（s,v)=v的约束为z+rttu(s)∈[m,m]的问题。命题3.14。设a，b∈R，其中a<b。设3.1节中的假设成立，其中U=[a,b]和g(s,v)=v。此外，假设存在ζ,l>0,使得对于ζ=f,σ,下列条件成立:ζ（s,p,v)-ζ（s,p,v)≤(1+p)v-vl,±(s,p)∈[0,T]×Rn,±v,v∈U(3.31),则对假设3.5进行了证明。为了简单起见，在这个证明中，我们假定l=1（对于一般情况，在～u的认识中，用δi代替δ，其中i>1/l)，设0<ρ<(m-m)/2,A是Dρs的紧子集，R>0使得B(0,R)A,ε>0。Fix(t，p，z)∈A和u∈Aadmtz，设γ>0（随后将精确修正）。由于函数L和Φ是连续的，因此存在δ=δ(ε,γ)>0,即对于每个s∈[0,T],对于每个p,p∈B(0,γ),对于每个z,z∈[m,m],对于每个z,z∈[m,m],对于每个v,v∈U,对于v-v≤δ,存在L(s,p,z,v)-L(s,p,z,v)≤ε4T，Φ(p,z)-Φ(p,z)≤ε，(3.32)。设πM={ω∈Ω:Zu(T)∈]m-ρ/2,M]}和inπmlet～u按以下方式定义:～u(s)=(u(s)-δ,如果s∈E,u(s),如果s∈[T,T]\\E,其中E=E(ω)={s∈[T,T]:u(s)-δ∈]a,b[}={s∈[T,T]:u(s)>a+δ}。设πm={ω∈Ω:Zu(T)∈[m,m+ρ/2[}和πmlet～u按以下方式定义:～u(s)=(u(s)+δ,如果s∈F,u(s),如果s∈[T,T]\\F,其中F=F(ω)={s∈[T,T]:u(s)+δ∈]a,b[}={s∈[T,T]:u(s)<b-δ}。最后，在Ω\\(πm\\πm)中设~uu，我们将证明这样一个过程~u满足了所需的性质。对于只依赖于ρ，T，R，a，b的适当函数0<η≤(m-m)/2，我们证明了Zt，Z；~u(T)∈[m+η(ε),m-η(ε)]ptpz-a.s.(3.33)。(3.34)让我们注意到z～u(T)=z+ztt～u(s)ds=z+zttu(s)ds-δμ(E)=Zu(T)-δμ(E)，(3.35)，其中，μ表示R中的Lebesgue测度。我们现在寻找μ(E)的估计。根据E的认识，我们有zttu(s)ds=zeu(s)ds+z[t,t]\\eu(s)ds≤bμ(E)+(a+δ)(t-t-Ω)(t-t)b-a-δ，t-t#ρ/2-δtb-a,t，(3.36),其中包含物为z+rttu(s)ds≥m-ρ/2（因为ω∈πM)和z≤m-ρ-a(t-t)（因为(t,p,z)∈dρ)。通过可能地减小δ（选择仅取决于a、b、ρ、T)，我们可以假定（3.36）中的下界是正的。回忆（3.35）：通过（3.34）和（3.36）我们得到z～u(T)∈M-ρ-δT，m-δρ/2-δTb-a，M+ρ，m-δρ/2-δTb-a，其中包含紧随M-ρ/2>M+ρ/2，并假设δsu cityly很小。这个估计对于每个ω∈πM都成立；通过同样的论证，对于每一个ω∈πMwegetz～u(T)∈M+δρ/2-δTb-a,m-ρ.最后，在Ω\\(πMüπM)中，我们有z～u∈[M+ρ/2,m-ρ/2]。总之，条件（3.33）在η(ε)=minρ，δ(ε，γ)ρ/2-δ(ε，γ)Tb-a下得到验证。我们仍然必须证明J(t，p，z；u)-J(t，p，z；～u)≤ε。(3.37)设πΩ为π={kPu(·)k≤γ,kp～u(·)k≤γ,kPu(·)-p～u(·)k≤δ}；首先，为了简明起见，我们设置了γ(t,p,z；u,～u)=zttl(s,Pu(s),Zu(s),u(s))-l(s,p～u(s)，z～u(s))ds+Φ(Pu(t),Zu(t))-Φ(p～u(t))，z～u(t))，并注意J(t,p,z；u)-J(t,p,z；～u)≤etpz[à(t,t,t,z）p,z；u,～u)π]+etpz['A(t,p,z；u,～u)πC]。

（3.38）对于（3.38）中的第1项，对于s∈[t,t]，我们有:(s)-Z～u(s)≤(S-T)δ≤tδ和u(s)-～u(s)≤δ≤δ，因此由（3.32）可知:TZ['A(t,p,Z；u,～u)π]≤ZTε4TDS+εptpz(π)=εptpz(π)≤ε。（3.39）我们现在考虑（3.38）中的第二项。由[10,附录D]中的(D.8),由（3.31）和（2.7）我们得到，对于一个合适的常数C>0,etpz[kpu(·)-p～u(·)k]≤C(1+p)δ，(3.40)。由Markov不等式（3.40）和（2.7）得到ptpz(πC)≤etpz[kpu(·)k]γ-1+etpz[kp～u(·)k]γ-1+etpz[kpu(·)-p～u(·)k]δ-1≤C(1+p)(γ-1+δ)，(3.41)，其中C>0为常数。通过（3.10）和（3.41）中的H-older不等式（两次）估计，我们得到了etpz['A(t,p,z；u,～u)πC]≤etpz[à(t,p,z；u,～u)]ptpz(πC)≤C(1+P2k+z2k)(1+p)(γ-1+δ(ε,γ))≤C(1+r2k+1)γ-1+C(1+r2k+1)δ(ε,γ)，C,C>0。首先通过选择一个合适的γ，然后通过可能地取一个较少的δ（这些选择只取决于R和ε)，我们得到pz['A(t,p,z；u,～u)πc]≤ε。（3.42）估计(3.38)，(3.39)e(3.42)蕴涵(3.37)，从而结束证明。现在让我们考虑以下问题：U是Rland g(s,v)=vp的闭球，因此约束是z+rttu(s)p∈[m,m]，p≥1。命题3.15。设p≥1，b>0。设3.1和（3.31）节的假设成立，U=B(0,B)Rland g(s,v)=vp。然后对假设3.5进行了验证。这个证明类似于命题3.14的证明，但有以下修改：-在E和F的修改中，用u（s）代替u（s）。E中的过程～u现在是～u(s)=u(s)-δu(s)u(s)。注意～u(s)=u(s)-δ。同样地，在F.-中，很容易检验(ζ-δ)p≤ζp-δ2p,对于ζ≥δ，(ζ+δ)p≥ζp+δ2p,对于ζ≥0。根据适当的估计，在πmWe中有z～u(T)=z+ztt～u(s)pds=z+ze(u(s)-δ)pds+z[T,T]\\eu(s)pds≤z+zttu(s)pds-δ2p,然后我们可以像命题3.14的证明一样进行争论。对于πm，使用第二个和相同的论证。4具有严格约束的摇摆契约我们现在使用第3节的结果来研究具有严格约束的摇摆契约的最优执行问题（见导言）。在这种情况下，我们将得到比第3.3.4.1节中证明的一般结果更强的结果，问题T>0,(Ω,FT,{Fs}s∈[0,T],P）,U,At,Pt,pand Zt,z；ube的公式与第2节中的一样。如果(t，p，z)∈[0，t]×Rand s∈[t，t]，特别回想一下，p，p(s)是在时间s时能量价格的模型，而Zt，z；u(s)表示到时间s时购买的能量，其中u∈t从时间t开始的使用策略。给定m，m≥0，m<m，这里我们要求以下约束成立:Zt，z；u(t)∈[m，m]ptpz-a.s.这个契约的最优执行问题（即。满足所有条件并提供最大期望收益的过程u显然是3.1节所述的约束随机最优控制问题（这里P不依赖于u）,其值函数为V(t),p,z)=SUPU∈AADMTZetPZ ZTTE-R(S-T)(Pt，p(s)-K)u(s)DS。在这个问题中，集合D，eD，dρ是由所有的点(t，p,z)∈[0,T]×Rsuchthat（T,z）属于，分别是图2中的标记曲面。mmmtzt0m-://tmmtzt0m-://tmtzt0m-://tm-://t+ρm-ρm+ρ，图2：集合D，eD，Dρ在细节上更多，我们得到了={(t，p,z)∈[0,T]×R:m-u(t-t)≤z≤m}，eD={(T，p,z)∈[0,T]×R:m}u(t-t)<z<m},dρ={（T,请注意，这些集合包括与实际问题不一致的初始数据：事实上，我们的数学公式允许p和z的负起始值。这里的函数Vcare为vc(T,p,z)=supu∈atetpz ztte-r(s-t)(Pt,p(s)-K)u(s)ds+e-r(t-t)Φc(Zt,z；u(T))，对于每个c>0和(T,p,z)∈[0,T]×R，其中Φci为（3.11）。

这也有经济学上的解释：事实上，这里我们用严格约束Z(T)∈[m]近似一个摆动契约，对于Z(T)/∈HM+√c,具有一系列适当的增加惩罚的合同，m-√ci.函数vcis-vct(t)的HJB方程，p,z)+rVc(t，p,z)-f(t，p)Vcp(t，p,z)-σ(t，p）Vcpp（t,p,z)+minv∈[0,.u][-v(Vcz(t,p,z)+p-k)]=0,(t)，p,z)∈[0,T[×R，（4.1）有条件VC(T，p,z)=ΦC(z),（p,4.2值泛函的性质4.1节中描述的问题属于命题3.14中处理的一类。因此定理3.7,推论3.8和推论3.9成立，但在这种情况下，我们可以加强这样的结果。为了简洁起见，我们设置α={（t,p,z)∈D:z=M}，β={（t,p,z)∈D:z+.u(t-t)=M}，γ={t}×R×[M,M]，这样D\\ed=αβ。让我们考虑定理3.7并将其应用于我们的问题，这里也可以说出关于D\\ed的事情。命题4.1。让4.1节的假设成立。函数VCC在ED的紧子集上一致收敛于toV。此外，如果(t，p，z)∈α，我们有V(t，p，z)=0。最后，如果(t，p，z)∈β，我们有V(t，p，z)=uetpz ztte-r(s-t)(Pt，p(s)-K)ds=:ζ(t，p)。（4.2）证明。关于这部分，注意ED的每个紧子集都包含在某个Dρ，并使用定理3.7。第二项和第三项：在αβ中存在唯一的容许控制，分别为u0和uu。注意，(4.2)中的边界条件ζ是连续的，可以在许多实际模型中计算（见[3])。推论3.8保证了V的连续性。我们现在证明了在这种情况下一个强结果成立，即值函数在整域D上是连续的。为此，我们需要一个技术引理，其中我们给出了（2.1）解之间的平均距离的一个界。引理4.2。让4.1节的假设成立。设t，t∈[0,t]，其中t<tandp,p∈Rn。p(s)-Pt,p(s)≤m~p-p+(t-t)(1+p),对于每一个s∈[t，t],其中E表示关于概率p的平均值，m>0是一个常数，只依赖于t，U和（3.1）和（3.4）中的常数。设t,t∈[0,t]，其中t<t,s∈[t,t]，p,p∈RN。通过对随机微分方程的标准估计（参见[10，附录D]或[12])，我们得到了ATE=Pt,p(s)-Pt,p(s)≤CP-P+C(T-T)(1+p)→EC(S-T)≤CP-P+C(T-T)(1+p)，其中C，C>0是常数。因此，对于某个常数c>0，由h-older不等式pt,p(s)-pt,p(s)≤eut，p(s)-pt,p(s)≤cp-p+c(t-t)(1+p)。命题4.3。让4.1节的假设成立。那么V在D上是连续的。正如推论3.8所成立的，我们必须证明V在D\\ed=α@β上是连续的。第一步：在α上是连续的。设(～t，～p，～z)∈α。由于在这种情况下唯一可容许的控制是u0，我们必须证明tlim(t，p，z)→(~t，~p，~z)(t，p，z)∈dv(t，p，z)=V(~t，~p，~z)=0。（4.3）设(t，p，z)∈D和u∈AADMTZ。在给定任意γ>0的情况下，我们全部观察到etpz zttpt,p(s)-Ku(s)ds{kP(·)K≤γ}≤(γ+K)etpz zttu(s)ds≤(γ+K)(m-z)，(4.4),其中在上一篇文章中我们使用了条件Zu(T)≤M,通过H-旧不等式（两次）,如（3.10）,Markov不等式和（2.7）中的估计，我们得到etpz zttpt,p(s)-Ku(s)ds{kPt,p(·)K>γ}≤tetpz zttt(p，p(s)-K)u(s)ds(K>γ)≤C(1+p)γ-，(4.5)对于某个常数C>0。由（4.4）和（4.5）可知SUPU∈AADMTZETPZ ZTTE-R(S-T)(Pt,p(s)-K)u(s)DS≤(γ+K)(M-Z)+C(1+p)γ-。（4.6）不等式（4.6）对于每一个γ>0和对于每一个(t，p，z)∈D成立。我们通过传递极限(t，p，z)→(～t，～p，～z)（回想一下～z=M)，然后作为γ→∞得到(4.3).步骤2：在β上的连续性。设(～t，～p，～z)∈β。由于inβ函数V如（4.2）所示，我们必须证明atlim(t，p，z)→(～t，～p，～z)(t，p，z)∈dv(t，p，z)=V(～t，～p，～z)=ue～t～p～z zt～te-r(S-～t)(p～t，～p(s)-K)ds。

（4.7）从现在起，我们将省略平均值表示法中的下标（初始数据是不确定的，但概率显然是相同的）。设(t，p，z)∈D（请注意t≤～t)和fixu∈Aadmtz；为了简单起见，我们将写P=Pt，pand～P=P～t，～P。因为对于s∈[～t，t]我们有-R(S-T)(P(s)-K)u(s)-E-R(S-T)(～P(s)-K)u=E-R(S-T)(P(s)-～P(s))u(s)-E-R(S-T)(～P(s)-K)(u-U(s))-(E-R(s)-T)-E-R(S-T)(～P(s)-K)(～P(s)-K)u，让我们所有人都观察到ZtTe-R(S-T)(P(s)-K)u(s)DS-uzt～Te-R(S-T)(～P(s)-K)u(s)ds≤E Z～TT(s)-Ku(s)ds+E ZT～T E-R(S-T)(P(s)-K)u(s)-E-R(S-～T)(～P(s)-K)uDS≤E Z～TTP(s)-Ku(s)ds+E ZT～TP(s))-～p(s)u(s)ds(4.8)+e zt～t～p(s)-K(μu-u(s))ds+e zt～t e-r(s-t)-e-r(s-t)-e-r(s-t)～p(s)-K。考虑（4.8）中的术语。根据（3.10）中的估计，对于某个常数C>0，我们得到Z～TTP(s)-Ku(s)Ds≤C(～T-T)(1+p)，(4.9)。对于（4.8）中的第二项，通过Fubini-Tonelli定理引理4.2，我们得到Zt～Tp(s)-～p(s)u(s)ds≤c[p-～p+(～t-t)(1+p)，(4.10)，其中c>0是常数。现在让我们估计（4.8）中的第三项。在给定任意γ>0的情况下，我们观察到Zt～T～P(s)-K(u-u(s))ds{K～P(·)K≤γ}≤(γ+K)eZt～T(u-u(s))ds=(γ+K)eu(t-t)-Zttu(s)ds≤(γ+K)u(t-t)-m+z，(4.11)，其中在上一篇文章中我们使用了条件Zu(T)≥m。如文（4.5）所述，Wegete zt～t～p(s)-K(μu-u(s))ds{K～p(·)K>γ}≤C(1+～p)γ-，(4.12)对于某个常数C>0。我们将考虑（4.8）中的第四项。通过指数函数的局部Lipschitzianity和如（3.10）所示的估计，我们obtaine zt～t e-r(S-～t)-e-r(S-t)~p(s)-k′uds≤C(～t-t)(1+～p)，（4.13）其中C>0是恒定的。根据（4.9）到（4.13）的估计，从（4.8）可以得出SUPU∈AADMTZE ZTTE-R(S-T)(P(s)-K)u(s)DS-ue ZT～TE-R(S-～t)(～P(s)-K)DS≤C(～T-T)(1+P)+C(～T-T)(1+P)+C(～T-T)(1+P)+(γ+K)u(T-T)-m+Z~+C(1++P)γ-。(4.14)对于每个γ>0和每个(t，p，z)∈D，估计值（4.14）成立。我们通过传递极限(t，p，z)→(～t，～p，～z)（回想一下～z+u(t-～t)=m)，然后作为γ→∞得到(4.7).现在让我们考虑HJB方程，并证明一个比推论3.9更强的结果：在这种情况下，值函数在其整个域D中是具有多项式增长的HJB方程的唯一粘性解，且边界条件在下面给出。因此，我们得到了值函数的另一个特征，除了命题4.1和定理4.4外。让4.1节的假设成立。则函数V是方程（4.1）在D\\(α(R)β(R)γ)域上的惟一解，其边界条件为V(t,p,z)=0,ut(t,p,z)∈α,V(t,p,z)=ζ(t,z)，ut(t,p,z)∈β,(4.15)V(t,p,z)=0,ut(p,z)∈R×[m,m]，使得V(t,p,z)≤c(1+p+z)，ut(t,p,z)∈D，(4.16)对于某个常数πc>0。在这个问题中，(3.9)中k=2。因此，由(3.9)、推论3.9和命题4.1可知，函数V是粘度，是问题(4.1)-(4.15)-(4.16)的解。我们现在需要无唯一性的结果。通过以下variablest=t的更改，p=p，z=z-mm-m+.u(t-t)+1，问题(4.1)-(4.15)变为-Vt(T，p,z)-}u(z-1)m-m+}u(t-t)Vz(T，p,z)+rV(t,p,z)-f(t，p)Vp(t，p,z)-σ(t，p)Vpp(t，p,z)+minv∈[0,.u]-v m-m+.u(t-t)Vz(T,p,z)+p-k=0,p,z)∈[0,T[×R×]0,1[,边界条件V（T,p,z)=0,}（p,z)∈R×[0,1],V（T,p,1)=0,}（T,p,0)∈[0,T]×R,V（T,p,0)=ζ（T,p）,}（T,p)∈[0,T]×R。注意，多项式增长是保留的，现在定义域是[0,T[×R×]0,1]。通过[6]中的论证，可以证明这样一个问题的唯一性。前面的结果推广了[3]中的一个类似结果，在m=0的情况下是有效的。Wenow转向证明了值函数关于变量pand z的一些性质。

对于V(t,·,z）,命题3.12和3.13符合命题4.5。让4.1节的假设成立。设(t，z)∈[0,t]×r为(t，p，z)∈D，则-函数V(t，·，z)是Lipschitz连续的，一致于(t，z)。此外，对A.E.存在导数Vp(t，p，z)。(t，p，z)∈D,对于某个常数M>0,仅依赖于t，u和(3.1)，(3.4)和（3.28）中的常数，我们有Vp(t，p，z)≤M。-如果f(s，·),σ(s，·)∈Cb(R),一致地在s∈[0，t]中，则函数V(t，·，z)是局部半凸的，一致地在t中，且A.E.两次可测。证明。figurrst部分来自命题3.12（注意函数P7→(p-k)vis Lipschitz continuent）。关于第二项，需要重写命题3.13（注意函数P7→(p-k)v是C∞(R)类的，导数有界）。现在让我们考虑函数v(t,p,·)。回想一下，它的域是[m-.u(t-t),m]。命题4.6。让4.1节的假设成立。对于每个(t，p)∈[0，t]×r，函数V(t，p，·)是-凹的，Lipschitz连续的，A.E.两次可扩展；-在[m-(t-t)u，m-(t-t)u]中弱增，在[m，m]中弱减。特别地，如果m-(t-t)u≥m，则函数V(T，p，·)在[m，m-(t-t)u]中为常数（它们都是最大值点）。第1项（这是对[3，prop.3.4]的修改，它只考虑了Zt，z；u(T)的上界）。设(t，p)∈[0,t]×r，z，z∈[m-.u(t-t),m]，u∈Aadmtzeu∈Aadmtzz。由(2.8)，过程(u+u)/2属于初始点(t，(z+z)/2)的容许控制集。由函数V7→(Pt,p(s)-K)v的线性，我们得到J(t,p,z；u)+J(t,p,z；u)=J t,p,z+z；u+u≤v t,p,z+z。（4.17）由于（4.17）对于每个u∈Aadmtz，且u∈Aadmtz，它遵循V(t,p,z)+V(t,p,z)≤V t,p,z+z，这意味着函数V(t,p,·)的凹性。局部Lipschitzianity是凹函数的一个众所周知的性质（这里的定义域是一个紧集），而a.E.二阶导数的存在性来自亚历山德罗夫定理。设(t，p)∈[0,t]×R，若m≤z≤z≤m,则容易检验aadmtz aadmtz,使V(t，p，z)≥V(t，p，z)。类似地，如果m-(t-t)\\u≤z≤z≤m-(t-t)\\u，我们有aadmtz aadmtz，那么V(T,p,z)≤V(T,p,z）。第二部分紧随其后，由于[m-(t-t)u，m-(t-t)u]à[m，m]=[m，m-(t-t)u].命题4.6中的单调性结果如图3所示。Mmtzt0m-'Atm-'AT减少V(T,p,·)增加V(T,p,·)常数V(T,p,·)图3:V(T,p,·)的单调性如第2节所述，可以预见函数V(T,p,·)在一个区间内是常数：如果m-(t-t)u≥m且z∈[m,m-(t-t)u]，则aadmtz=At（即。这就推广了[3,引理3.2]中的一个直观结果：对于（t,z）使得volumeconstraint事实上不存在，则值函数V不依赖于z。最后，在这种情况下，注记2.5成立：由命题4.6证明了(2.112.12)中的候选项是好的。5结论将连续时间摆动收缩的值刻画为具有适当边界条件的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的唯一粘性解。更详细地说，摆动可以分为两大类，一类是对在合同结束时的能量累积量Z(T)有惩罚，另一类是对相同数量有严格约束：通常这些约束和惩罚意味着Z(T)属于一个m>0的区间[m,m]（在实际合同中通常m>0.8m，见[13])。在第2节中，我们讨论了带有惩罚的合同的情况，这导致了经典最优控制理论的直接应用，在这种情况下只需要一个终止条件。

对于带有惩罚的摆动契约，我们证明了它们的值是HJB方程（2.3）的唯一粘性解，即在p（能量的spotprice）和z（当前累积量）中都是Lipschitz，具有次线性增长的弱导数。我们还证明了该值函数对于z也是凹的，对于z≤m-(t-t)u是弱增的，其中T是当前时间，u是可以购买的最大边际能量，对于z≥M是弱减的。本文推广和推广了文献[3]的结果，这些结果仅在带有严格惩罚的摇摆契约中得到了证明。这些结果使得候选的最优执行策略方程(2.11-2.12)得到了很好的解释。反之，对于严格约束的合同情形，则产生了Z(T)中含有非标准状态约束的随机控制问题。在第3节中，我们用一个惩罚方法来探讨这个问题的可证明的推广：我们考虑一个一般的约束问题，并用目标泛函中带有惩罚项的适当的无约束问题的一系列价值函数逼近其价值函数，表明它们在紧集上一致收敛于该问题的价值函数。在第四节中，我们回到严格约束的摆动契约的情况：在这种情况下，第三节中使用的惩罚函数是适当的摆动契约的惩罚函数，因此我们也有经济解释：严格约束的摆动契约可以用适当惩罚的摆动契约来逼近。在此背景下，我们成功地加强了第3节的结果，将值函数刻画为HJB方程（2.3）的多项式增长的唯一粘性解，服从方程（4.15）中的边界条件。对于值函数关于p和z的光滑性，我们得到了与第2节完全相同的结果，将文[3]的结果推广到m>0的情形。这些结果使方程(2.11-2.12)中的候选最优执行策略（即与第2节相同）再次得到完善。参考文献[1]O.Bardou,S.Bouthemy,G.Pag`es,swingoptions定价的最优量化，APPL.数学。财务16(2009)，编号。[2]C.Barrera-Esteve,F.Bergeret,C.Dossal,E.Gobet,a.Meziou,R.Munos,D.ReboulSalze,摆动期权定价的数值方法：随机控制方法，Methodol.康普特。阿普尔。普罗巴布。8（2006）号。4,517-540.[3]F.E.Benth,J.Lempa,T.K.Nilssen,关于电力市场中摇摆期权的最优行使，the Journal of Energy markets 4（2012）,No.[4]R.Carmona,N.Touzi,最优多重停止与摆动期权的估值，数学。财务18(2008)，编号。2,239-268.[5]M.G.Crandall,H.Ishii,P.L.二阶局部二元方程粘性解的用户指南，公牛。阿默尔。数学。SOC.（新编）27（1992）,No.[6]F.Da Lio,O.Ley,数据上超线性增长条件下的凸Hamilton-Jacobi方程，APPL.数学。奥普提姆。63（2011）,No.3,309-339.[7]E.Edoli,S.Fiorenzani,S.Ravelli,T.Vargiolu,gas swing contracts,Modeling and valuing complement-Clausesin,Energy Economics,35（2013）,58-73.[8]E.Edoli,T.Vargiolu,gas swing contracts：a vision solution processment：a vision solution processment,preprint 2013.[9]M.Eriksson,J.Lempa,T.K.Nilssen,swing《基于商品的摇摆期权》，《管理科学》50(2004)，第1期。[12]N.V.Krylov,Controlled Di withusion Processs,Springer,New York,1980.

Lindqvist,基于商品的swing期权的估值：一项调查，注Samba/38/80,Norwegian计算中心（2008）,http://publications.nr.no/swingoptionsurvey.pdf.[14]M.Motta,C.Sartori,非线性奇异随机控制中的有限燃料问题，SIAM J.control Optim.46（2007）,No.M.Motta,C.Sartori,有界能量的最小时间,有界时间的最小能量,SIAM J.控制Optim.42（2003）,No.[16]P.索拉维亚，积分约束的粘性解和最优控制问题，系统控制系列。40（2000）,No.5，325-335。