经济环境中财富分配的演变 局部纳什均衡驱动

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摘要翻译：
本文提出并分析了一个异质经济环境下财富分配演化的模型。该模型通过对成本函数的相当普遍的假设，在博弈论框架中考虑了一个理性主体相互作用的系统。这种演化驱动了在财富和经济配置变量中的代理人的动态。我们考虑了一个尺度分离的区域，其中大尺度动力学是由一个流体力学封闭给出的，纳什平衡作为局部热力学平衡。结果是一个气体动力学类型的方程组的密度和平均财富在大尺度上的药剂。在二次代价函数的特殊情况下，我们将反伽马分布恢复为均衡，这在文献中已经考虑过。
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英文标题：
《Evolution of the distribution of wealth in an economic environment
  driven by local Nash equilibria》
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作者：
Pierre Degond (IMT), Jian-Guo Liu, Christian Ringhofer
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最新提交年份：
2013
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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英文摘要：
  We present and analyze a model for the evolution of the wealth distribution within a heterogeneous economic environment. The model considers a system of rational agents interacting in a game theoretical framework, through fairly general assumptions on the cost function. This evolution drives the dynamic of the agents in both wealth and economic configuration variables. We consider a regime of scale separation where the large scale dynamics is given by a hydrodynamic closure with a Nash equilibrium serving as the local thermodynamic equilibrium. The result is a system of gas dynamics-type equations for the density and average wealth of the agents on large scales. We recover the inverse gamma distribution as an equilibrium in the particular case of quadratic cost functions which has been previously considered in the literature.
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关键词：财富分配 经济环境 纳什均衡 distribution Quantitative

局部纳什均衡驱动下的经济环境中财富分配的演化--德贡德（1,2）,李建国（3）,克里斯蒂安·林霍弗（4）,图卢兹大学（1-Universit\'e de Toulouse）；UPS,INSA,UT1,UTM；图卢兹数学研究所；F-31062,法国图卢兹。2-CNRS；Institut de Math\'ematiques de Toulouse UMR 5219；F-31062法国图卢兹。电子邮件:pierre.degond@math.univ-toulouse.fr3-物理系和数学系杜克大学，达勒姆，北卡罗来纳州27708,usaemail:jliu@phy.duke.edu4-亚利桑那州立大学数学和统计科学学院，坦佩AZ85287,usaemail:ringhofer@asu.eduabstract我们提出并分析了一个异质经济环境下财富分配演变的模型。该模型通过对成本函数的相当普遍的假设，在博弈论框架下考虑一个系统的利益主体相互作用。这种进化驱动了财富和经济增长变量的动态变化。我们考虑了一个尺度划分的区域，大尺度动力学是由一个以纳什平衡为局部热力学平衡的流体力学封闭给出的。结果表明，在大尺度上，这是一个气体动力学型方程组。在文献中已讨论过的二次代价函数的特殊情况下，我们将反伽马散射恢复为一个平衡点。鸣谢：这项工作得到了KI-Net NSF RNMS grant No.1107291的支持。在国家科学研究中心和保罗-萨巴蒂尔大学的赞助下，JGL和CR非常有机会在2012年秋季留在图卢兹数学研究所工作。作者希望感谢图卢兹大学的a.Blanchet的启发讨论。关键词：福克-普朗克方程，几何布朗模n，非二次交易相互作用，Gibbs测度，逆伽马分布，Pareto尾，碰撞不变量主题分类:91A10，91A13，91A4，82C40，82C21.1内积本文研究了一个封闭的主体集合中的财富演化。每个agent的状态用两个va r Iables描述。变量x描述了它在经济增长空间中的位置，例如代理人的投资倾向[11]。因此，有一个概念，代理人之间的接近，使经济互动（交易）更有可能。另外，状态用代理人的财富y来描述。这些属性的动态性是由经济增长变量x中的某种运动机制和财富变量y中的财富（交易）的excha ng e给出的，其基本方程形式为tf(x，y，t)+x(fv(x，y))=y(f，yΦf)+d，y(yf)，(1.1)其中f(x，y，t)是经济增长空间x中具有财富和时间t的代理人的密度。在没有经济补偿变量ble x的情况下，它简化为Bouchaud和M\'ezard[6]（另见[8])最初提出的模型，即tf(y,t)=y(fyΦf)+dy(yf)。（1.2）在这个模型中，Φf1是一个相互作用势，在均值理论中，f函数依赖于密度f(x，y，t)。在文[6]中，它描述了成对相互作用的结果与两个代理人财富之间的二次距离成正比。本文的目的是将这个框架推广到一般的势。在（1.2）右边的项对不确定性进行了建模，并具有与经济和投资的几何布朗运动相关的双积分算子，方差在y中为2Dyquader。可以在[21]中找到该运算符的正确定义。在该模型中，保持了to t al Wealthr∞yf(y，t)dy。这种情况被称为“保守经济”。

Bouchaud和M\'ezard模型可以从[8]的类Boltzmann模型在小的财富交换极限下恢复到[6],在[11]中，D-Uring和Toscani在[6，8]的模型中引入了一个经济约束变量x,并考虑了情商。（1.1）在二次位势的情况下。在他们的工作中，x变量是一种交易倾向。在文献[11]中，以及在本模型中，经济学中的po值A通过Φfupon x的依赖关系来描述代理人的交易行为。相反，代理人财富y的变化会引发经济增长变量X的变化。这种演化是用数量V(x，y)来模拟的，它描述了代理人在控制空间中移动的速度（即经济控制中的“速度”）。在[11]中，我们考虑了财富分布f的两个矩，即代理人的密度ρ(x，t)和财富的密度ρ(x，t)diffy:ρ(x，t)=zf(x，y，t)dy，(1.3)（其中，y)是平均财富），它们是经济收入x和时间t的函数，而这两个矩分别是代理人的密度ρ(x，t)和财富的密度ρ(x，t)=zyf(x，y，t)dy，(1.3)(x，y，t)=zyf(x，y，t)=zyf(x，y，t)dy。取（1.1）的矩，并利用[6,8]的平衡分布封闭所得到的矩系，在饱和空间x和时间t中得到了ρ、ρy的守恒方程组，它类似于气体动力学方程。本文的目的是通过考虑任意势（而不仅仅是二次势），提出[6,8,11]的推广。我们发现，与以前的文献相比，平衡不能明确地给出，在以前的文献中，它们可以用逆伽马分布来表达。老鼠，它们是通过一个固定点方程的解析来找到的。如果这个固定点方程存在多个解，对应于多个稳定平衡点，这表明财富分布中的相变是可能的。本文的第二个目的是利用求解上述闭点问题所得到的平衡点，推导出在闭点空间x和时间t中提供ρ、ρy动力学的矩方程。这是在[11]中以同样的方式完成的，除了下面的di-hited erence。首先，明确地说明了这种推导得到的标度划分的条件。其次，我们给出了密度和财富密度是唯一被相互作用保留的量的证明。在动力学理论中，这意味着唯一的碰撞不变量是1和y的线性组合。本文在[6,8,11]前所考虑的水势的情况下严格地证明了这一结果。这个证明依赖于[2,3]中的Poincar不等式。在这一点上，它只是泛势情形下的一个猜想。他的论文的第三个目标是将[6,8,11]的设定与博弈论联系起来。在目前的工作中，势可以看作是一个非原子非合作匿名博弈[1,17,23,24]中的代价函数，也称为aMean-Field博弈[7,15]。这个代价是由两两相互作用的和产生的，对于每一对参与者，在这种相互作用下达到的均衡对应于财富在这个代价函数的mimima之一。我们注意到这个模型只考虑货币的交换，而不跟踪交易的商品和服务。因此，这场游戏并不意味着每个玩家都希望与贸易伙伴分享自己的财富。

在这个框架内，代理遵循这些策略的动态可以通过以下博弈来看待：每个代理遵循所谓的最佳回复策略，即在确保其他代理不改变其财富的情况下，试图使其相对于其财富的成本函数最小化。为了做到这一点，每个参与者沿着代价函数ΦF的负梯度在y方向上移动。通过假设经济相互作用的时空尺度（y方向上的动态）比经济控制空间（即xvariable）中运动的时空尺度快，来实现对宏观尺度的传递。对于这种尺度分离问题的分析，通常是将t→tε,x→xε重新缩放，而使y保持不变，其中ε1是一个小参数，表征微观单元与宏观单元之间的关系。在这里，微观时间单位通常是交易时间的反比，而宏观时间单位则是经济行为空间演化的特征时间。这种重新标度产生了以下扰动问题:εtf(x，y，t)+x(fv(x，y))=Q(f)，(1.4)算子Q(f)由Q(f)(y)=y(fy)+dy(yf)，(1.5)给定，其中Φf是代价函数Φf的局部化形式。局部化代价函数φ是这样的，即它在给定的po int（x,t）下的求值仅依赖于相同点处f的值。这种局部化是在标度分离的假设下得到的，即在给定的t ime t下，属于同一经济邻域x的代理之间的交易交互更有可能。为此，我们将其表示为φρ(x，t),vx，t(y),其中ρ(x，t)=zy∈R+f(x，y，t)dy,vx，t(y)=ρ(x，t)f(x，y，t),分别表示在(x，t)处的局部密度和以(x，t)为条件的Agent存在的条件概率。写Φ=Φρ(x，t),vx,t(y)表示在(x，t)处求取的Φ(x，t)依赖于标量ρ(x，t),在函数上依赖于概率ρx，t。在ε→0的极限范围内，我们可以求Q(f)=0的解。这些解称为局部平衡，当ε→0时，它们提供了解fε到(1.4)的形式极限。结合文[10]的解释，我们证明了这些局部均衡可以解释为上述均值博弈的Nash均衡。所以，情商。（1.1）可以解释为，在财富变量y中的动态由最佳回复策略驱动的代理人系统s的最大极限，即沿着成本函数的梯度向Nashequilibrium进军。该运动用标准的几何布朗运动来补充，纳什均衡可用Gibbs分布Mü(y):Mü(y)=Züexp-(y)dé，Zü=Zy∈R+exp-(y)dédy的形式表示。（1.6）其中函数态态态态态态态态态态态态态态态态态态态态态态态态态态态态态态态态态态态态态态态。对于mζ是局部平衡点，必须满足一个表示纳什平衡点性质的奇点方程，因为φρ(x,t）,vx,ti局部依赖于(x,t）,所以函数(d)=(d)x,t(y)也是如此。文献[26]回顾了吉布斯分布在货币与财富统计物理中的重要渊源。大尺度极限即对t→tε,x→xε重新标度后的极限ε→0,得到了宏观量（即局部密度ρ(x，t)和平均财富ρ(x，t)的气体动力学型发展方程组，其形式为tρ(x，t)+x(ρu(x；参数x，t))=0,(1.7)t(ρut)(x，t)+x(ρe(x；参数x，t))=0。（1.8）这里的宏观速度u(x；x，t)和财富速度E(x；x，t)是x的函数，函数上依赖于x，t。

它们是通过用纳什平衡（1.6）作为闭包的动量方程（1.1）的闭包来计算的。对于一般交易相互作用势的情况，不知道系统(1.7)，(1.8)是否形成一个封闭的方程组，换句话说，如果知道ρ，ρsu-ces以一种独特的方式重构了态。然而，在二次相互作用[6,8,11]的情况下，可以证明它实际上是这样的，我们可以写出u(x；x,t)=u(x；(x,t))，E(x；x,t)=E(x；(x,t))，这使得系统(1.7)，(1.8)成为一个封闭的方程组。在适当的假设u和E下，可以证明该系统是双曲型的。因此，它（至少在局部时间内）是适定的，具有与经典可压缩气体动力学方程组相似的特征。这一体系已在[11]中提出。然而，我们证明了密度守恒和财富密度守恒是唯一的守恒量。这个定理的证明依赖于一个Poincar不等式，该不等式可以从[2,3]中导出。这是朝着严格证明(1.4)解在ε→0极限下收敛于(1.7)，(1.8)解的方向迈出的重要一步。我们现在给出一些例子，说明本工作的潜在应用，超出了[11]中所考虑的范围，其中x具有交易倾向的含义。在这个例子中，经济变量x与地理位置x是一致的。例如，我们在这里考虑的是财富分配不一致的国家或同一国家的不一致地区。财富分布的空间不均匀性引发了mig是一个有据可查的事实，即人们从财富分布较低范围较厚的地区倾向于向财富分布较高范围较广的地区迁移。显然，作为回报，这些mig r也揭示了有关地区的财富分配形态。在这种背景下，该模型可以用来提供一个空间上连续的描述财富分布的不均匀性以及它们在大时间内由于迁移而发生的演变。第二个例子涉及财富与社会地位之间的联系，这已经在例如[9,22,25]中得到了研究。社会地位与财富有明显的关系。然而，这种关系可能不是直截了当的，因为社会地位也可能受到其他因素的影响，如职业或婚姻状况和权力。很明显，较高的社会地位增加了赚钱的机会，反之，金钱可能会买到一些影响社会地位的因素。因此，研究社会各阶层之间的财富分配关系如何在长期内引发各阶层之间的利益主体的流动，以及这些流动又如何影响各阶层之间的财富分配，是一个很有意义的问题。最后，第三个例子是关于财富与教育或文化水平之间的关系。关于这种联系的研究可以在[12，13]中找到。这与前面的例子非常相似，因为更高的教育或文化水平增加了hig h交易CITIVY的机会。相反，由于更高的经济活动而增加的财富提供了资源和激励，或者培训和参与文化活动。因此，与前面的例子一样，我们的方法可以用来研究教育或文化水平分布的长期演变，这是由于不同文化或教育阶层之间财富分配的不均匀性。在第二节中，我们给出了N个Agent动力学的多Agent模型。我们假定N→∞存在一个平均极限，形式上得到Fokker-Planck方程(1.1)f或E-射单agent密度f(x，y，t)。

第3节专门讨论空间齐次的情形，其中f与经济约束var iable x无关。它的目的是提供一个解析解得到Q在（1.5）中的平衡分布的修正的点方程。我们证明了均衡分布实际上是一个纳什均衡，即没有一个参与者可以通过选择y中的一个方向来改善代价函数。在第4节中，我们考虑了非同调的情况，并利用第3节中的平衡密度对动力学方程（1.1）的矩进行了闭合。最后，我们总结了5.2节中的一些观点，模型和均值限制2.1财富分配的动态代理模型我们考虑了N个市场代理的集合。每个标记为j的agent被赋予两个变量：它的财富yj∈R+和一个变量xj∈R，该变量描述了它的经济性，即它通常与之相互作用的agent的类别。我们忽略了债务的可能性，因此我们取YJ≥0。代理人的动力学是对文[6]所提模型的阐述。它是这样写的:πXj=V(Xj(t),Yj(t))，(2.1)dyj=-nxk6=jζjk"e(xj-xk)yφ(yj-yk)dt+√2d yjdbjt。(2.2)(2.2)右边的figurrst术语描述了经济互动，如交易。量φ是一个相互作用势，它描述了交易活动是如何依赖于交易主体之间的财富关系的。在文[6]中，交易活动与财富密度成正比，这意味着t hatφ是一个二次函数。这个简单的假设很方便，因为它给出了平衡的显式公式（见下文）。然而，从使这一理论更加量化的角度来看，研究更普遍的交易互动形式是可取的。在这里，在这一点上，我们不对交易相互作用的形式φ作任何假设。权ζjk(xj-xk)是主体j和k之间的tr频率，它取决于两个主体之间在经济约束空间上的距离。我们假定ζjkissometribute:ζjk=ζkj，并假定ζ是归一化的:Zx∈R∞(x)dx=1。(2.3)(2.2)右边的第二个项是经典的几何布朗运动，√2d是波动率。数量表示持续的布朗运动。方程（2.1）描述了智能体在电离空间中的演化速度a s是其当前财富和当前经济财富的函数，而V(x，y)是这种运动速度的度量。在本文中，我们做了以下重要的假设：假设2.1 f unc y∈R→φ(y)∈R是candeven，在此假设下，(2.2)的func项守恒总财富。事实上，在Ag-J与agent k的相互作用中，ag和agent k与agent j的相互作用中，ag和j的财富的演化程度相反，加起来为零。对随机方程（2.2）应从它的意义上理解。这是一个与[6]的di相结合的erence，在那里使用了Stratonovich的意义。然而，经过一个简单的转换，加上一个Yjd dt项，在二次交易相互作用势φ的情况下，模型是相同的。在这种情况下，EQ。（2.2）对于变量Yj是一次齐次的，这意味着在这种情况下的财富单位可以是任意的。然而，对于更一般的交易相互作用势，这种齐次性就失去了，以后我们将不得不选择一个财富单位（例如给定的货币单位）。在这一工作中，我们假定交易频率ζjki是j和k的经济邻域中的交易代理人数量的函数。举个例子，我们可以取ζjk=ζρj+ρk，其中ρj=nx6=j(Xà-Xj)。为了表示法的简单性，我们假定计数函数(2.2)是这样的，但这个限制是不必要的。我们引入了符号~X(t)=(X，..，XN)，~Y(t)=(Y，..，YN)和yj=(Y，..，yj-1,yj+1,...。

（注意，在博弈论中，YJIs通常表示为Y-J）。我们也通过滥用记号来写~y=(Yj，Yj)。方程（2.2）可按以下形式重新转换:dyj=-YjΦn(~x,Yj,Yj,t)dt+√2d yjdbjt。（2.4）其中代价函数Φn(~x，~y，t)为Φn(~x，~y，t)=nxk6=jζjk(~x)(xj-xk)φ(yk-yj),(2.5),而ζjk(~x)=ζρj(~x)+ρk(~x).因此，代理人选择代价函数Yj→Φn(~x，Yj，Yj)=nxwww=j(xó-Xj)的最陡下降方向作为其在wealt h空间中的作用。这个作用被补充了一个几何布朗噪声模型波动性。由于环境的原因，忽略这些额外的e作用，代理最终会在很大程度上达到其成本函数的最小点。这个最小值是writtenYNj(~x,Yj,t)=arg minyj∈R+ΦN(~x,Yj,Yj,t）,πj∈{1,...,N}。（2.6）对应于代理人的纳什均衡。因此，该动力学对应于一个非合作的非原子匿名博弈[1,17,23,24]，也称为MeanField博弈[7,15]，其中均衡假设被描述向纳什均衡推进的时间动力学所取代。然而，成本函数依赖于代理人在经济空间中的位置，反过来，代理人在经济空间中的位置依赖于他们的财富。因此，当经济控制空间中的主体运动时，局部纳什均衡可能会受到扰动。本文的目的是通过在经济控制空间中建立宏观方程来研究这个系统的大尺度特性，特别是在势不是二次的情况下（文[11]中讨论了二次的情况）。2.2平均场极限引入n粒子经验分布函数fN(x，y，t)=nnxj=1δxj(t)(x)δyj(t)(y)，并将fna看作从t∈R+到fN(t)∈P(R×R+)的映射，其中P(R×R+)表示R×R+上的概率测度集。我们现在作以下假设：假设2.2在平均极限N→∞f N个数的代理中，存在一个单粒子分布函数f=f(x,y,t）,其中Pac(R×R+)是(R×R+)上相对于(R×R+)上的Lebesgue测度绝对连续的空间概率测度，Suchthatfn f,当N→∞时，（2.7）在有界测度的弱星拓扑中，我们还假定存在一个平均代价函数：假定2.3我们假定存在一个映射Pac(R×R+)→C(R×R+)，F7→Φf，使得对于满足(2.7)的所有轨迹(Xj(t),Yj(t))，(Xj(t)，Yj(t))→(X(t)，Yj(t))，(X(t)，Y(t))，(X(t)，Y(t))，(X(t)，Y(t))，(X(t)，Y(t))，(X(t)，Y(t))，N→∞时，我们有.，N}，t≥0。（2.8）根据假设2.2和2.3，由于(2.5)，Φf(t)由:Φf(t)(x，y)=z(x′，y′)∈R×R+ζρ(x，t)+ρ(x′，t)ρ(x′，t)φ(y′-y)f(x′，y′)dx′dy′，(2.9)给出，则在极限N→∞范围内，单粒子分布函数f为下列Fokker-Planck方程[6]:tf+x(V(x，y)f)+y(Ff)=d，y(2.10)，其中Ff=Ff(x，y，t)由Ff(x，y，t)=-yΦf(t)(x，y)给出。（2.11）对于r短，我们将写Φf(t)=Φf。由于（2.9）,Ffcan可写成:FF(x，y，t)=-z(x′，y′)∈R×R+ζρρ(x，t)+ρρ(x′，t)ρ(x-x′)yφ(y-y′)f(x′，y′，t)dx′dy′。（2.12）我们用边界y条件f（x,0,t)=0,±x∈R,±t∈R+来补充这个方程。（2.13）我们还提供了一个初始条件f(x，y，0)=f(x，y)。2.3宏观尺度为了合理地管理各种尺度，我们对各种无量纲尺度进行了修改。我们引入了时间和经济控制空间单位，其中a的典型值为V。我们用货币单位y来衡量财富的变化。

我们选择tin这样一种方式，即θ和D的大值是O(1)。引入~x=x/x、~t=t/t，~Y=Y/Y，~F(~X，~y，~t)=xyf(x,y,t)，～V(～X，~y)=V(x，y)/a,~(~x-~x′)=x(x-x′),～ρ～ρ(～x,～t)=xρρ(x,t)，～ζ(～ρ)=ζ(ρ)/(ay)，～f～f(～x，～y，～t)=(t/y)Ff(x，y，t)，～Φ～f(～x，y，t)=(t/y)Φf(x，y，t)，～φ(～y)=φ(y)，～d=dt，(2.10)写:～t～f+～x(～v(～x，～y)～f)+～y(～f～f)=～d～y～f)，(2.14)由～y，～t)，(2.15)和～Φ～f(～x，～y，～t)==z(～x′，～y′)∈R×R+～ζ（2.17）我们注意到~é仍然满足归一化条件n(2.3)。在[10]中发展的过程的基础上，我们引入了宏观尺度。我们假设，与代理人之间的财富交换相比，经济条件x的变化是缓慢的。因此，我们将经济约束空间和时间的单位改为新的x′=x/ε，t′=t/ε，ε1。参数ε是两个经济相互作用之间的典型时间（非常短）与经济约束变量的时间尺度（尽管它很大）相比较的r atio。因此，我们将空间和时间变量改为宏观变量x=ε～x，t=ε～t，并将f(x，～y，t)=ε-1～f(～x，～y，～t)。我们注意到tha t，像通常在动力学理论中一样，我们不对变量~y进行缩放。在这个尺度的变化中，tHe积分(2.17)变为r～∞(x-x′ε)f(x′，～y′，t)dx′d～y′=O(ε)。因此，为了考虑到这一行为，我们将密度~ρ~(x，t)=ε-1~ρ~(~x，~t)重新取值，并设ρ~(x，~t)。我们将速度、成本函数和力缩放为1，即我们让v(x，～y)=～v(～x，～y)，f f(x，～y，t)=～f～f(～x，～y，～t)，Φf(x，～y，t)=～Φ～f(～x，～y，～t)。类似于(2.17)，在此重新缩放中，(2.1)中的积分是O(ε)。为了弥补这一不足，我们假定ζ较大，保持了订单单位的交易频率，因此我们设ζ(ρ)=ε～ζ(～ρ)。力项的结果表达式为f f(x，～y，t)=-～yΦf(x，～y，t)，(2.18)带Φf(x，～y，t)==z(x′，～y′)∈R×R+ζρ～(x，t)+ρ～(x，t)ε～x-x′ε～φ(～y-～y′)f(x′，～y′，t)dx\'d～y′，(2.19)ρ～(x，t)=z(x′，～y′)∈R×R+ε～x-x′ε)，(2.19)ρ～(x，t)=z(x′，～y′)∈R×R+ε～φx-x′ε，(2.18)F(x\',～y\',t)d x\'d～y\'。（2.20）将这些变量和未知数的变化插入到（2.14）中，利用（2.18）得到如下扰动n问题:εtf+x(v(x，～y)f)+～y(ff)=～d～y～yf.（2.21）现在，通过（2.19）和（2.20）中的泰勒展开式，利用归一化条件(2.3)，我们得到：假定f只在大尺度下变化:Φf(x，～y，t)=ζ(ρ(x，t))z～y′∈R+～φ(～y-～y′)f(x，～y′，t)d～y′+O(ε)。（2.22）这里，我们引入了具有经济约束性x的局域密度ρ(x，t)o f在t,vx,t(～y)时的局部密度ρ(x，t)o f在经济约束变量等于x的条件下，由pr obability密度f(t)导出的条件概率如下:ρx,t(～y)=ρ(x，t)f(x，～y，t),ρ(x，t)=z～y∈R+f(x，～y，t)d～y,(2.23)我们假定vx,t∈Pac(R+),在R+上绝对连续概率度量的空间。用这些符号，(2.22)可以写成:Φf(x，～y，t)=Φρ(x，t)，Ⅴx，t(～y)+O(ε)，(2.24)其中泛函Φ:(ρ，Ⅴ)∈R+×Pac(R+)→Φρ，Ⅴ∈C(R+)定义为:Φρ，Ⅴ(～y)=ρζ(ρ)z～y′∈R+～φ(～y-～y′)'A(～y′)d～y′，(2.25)eqs。(2.24)，(2.25)指出，在O(ε)阶因子下，代价函数只与条件概率ρx和密度ρ(x，t)有关，因此，代价函数只与经济约束变量x中的局部定量有关。O(ε)项收集了所有非本地的经济条件下的e----ects。这些e-cented被认为比本地的要小得多。

这是经济约束中尺度分离的一个表达式：经济约束变量中的局域电子能谱在给定的代理上比非局域电子能谱有更大的影响。我们在引言中讨论的三个例子中对这一假设的高度进行了评论。在第三个例子中，关于移民对财富分配的影响，本地贸易可能被认为比长途贸易更重要，尤其是在服务方面。此外，人口迁移的时间尺度比人口迁移的时间尺度快得多。因此，时间尺度分离也是必要的。第二个和第三个例子涉及财富和社会地位以及财富和教育水平的耦合演化，可以得出类似的观察结果。财富交换更可能与特定的社会地位或教育水平有关，而不是在他们之外。对交易的时间尺度也可以做类似的观察，它比社会统计、美国或教育水平变化的时间尺度快得多。当然，量化一个社交网络中财富交换的“地域性”是一种邪教。准确地说，目前的模型实际上可以通过提供系统的粗粒度描述来帮助测试这些假设，这些描述可以更容易地与实际数据进行比较。在（2.21）中只保留前序项（2.24）,（2.18）,我们得到了下面的扰动问题（其中我们去掉了所有的“帽子”、“波浪”和“条”）:εtfε+x(V(x，y)fε)=-y(Ffε)+dyyfε，(2.26)Ff(x，y，t)=-yΦρ(x，t),vx，t，(2.27)Φρ，Ⅴ(y)=ρρ(ρ)zy′∈r+φ(y-y′)(y′)dy′，(2.28)ρx，t(y)=ρ(x，t)f(x，y，t)，(2.29)ρ(x，t)=zy∈r+f(x，y，t)=r+f(x，y，t),t）dy。（2.30）目的是求出t的极限ε→0。为此，我们在下面的一节中考虑了相同的经济约束情形。3相同的经济约束情形3.1碰撞算子q，这里，我们假定财富动力学与经济约束空间中的位置无关，并且我们将系统限制为财富变量y。然后，f成为从t∈[0,∞[到f(t)∈L(R+)的映射。显然，密度ρ=zy∈r+f(y,t)dy,（3.1）是守恒的，即ρ=zy∈r+f(y,t)dy,（3.1）是t的附属物。因此，交易频率ρζ(ρ)是不变的，用κ-表示。除情商。（2.26）通过常数ρ，我们可以把它写成一个关于pr obbability density v=v=t=f(·,t)ρp的方程如下:tv=Q(Ⅴ),(3.2)Q(Ⅴ)=-y(fⅤv)+dyyy，(3.4)其中füvy=fü(y)=-yΦ(y),(3.4)Φ(y)=κzy′∈r+φ(y-y′)(y′)dy′，(3.5),初始条件由v给出。我们已经省略了φ对ρ的依赖关系，因为现在ρ是一个常数。通过与经典气体动力学理论的类比，我们把q称为“碰撞算符”。现在我们给出了q的一个表达式和一个泛函设置。我们从一些定义开始。定义3.1我们定义了，并给出了(y)=y yΦ(y)+2dy，(3.6)(y)=(y)+dln，(3.7)函数函数∑(y)将被称为“增广成本函数”。我们在文献[26]中讨论了Gibbs均衡在经济学和经济学中的重要性。结论3.2对于任何给定的成本函数，我们引入了与此相关的\'Gibbs测度\'Mü(y):Mü(y)=Züexp-(y)d\\，Zü=zy∈R+exp-(y)d\\dy.我们给出了Gibbs测度\'Mü(y).我们给出了Gibbs平衡点的定义，并给出了Gibbs平衡点的定义，最后给出了Gibbs平衡点的定义，最后给出了Gibbs平衡点的定义。（3.8）注3.1(i)z⑵的定义i是这样的：m⑵是一个概率密度，即它是一个概率密度，即它是一个概率密度，即它是一个概率密度，即它是一个概率密度，即它是一个概率密度，即它是一个概率密度，即它是一个概率密度，即它是一个概率密度。（3.9）现在，使用上面的定义，我们可以将Q重新转换为下面的各种fo均方根。

对于任何扭曲的代价函数π∈C(r+),我们得到了由以下等价表达式NS构成的线性collis i：q(Ⅴ)(y)=y y y(y)(y)+d y(y)，(3.10)=y y y(y)(y)(y))的线性collis i。(3.11)=d y ymü(y)yü(y)mü(y)é，(3.12)用μ=+d ln.然后，我们得到了下面的引理，其证明是显而易见的：引理3.4（3.3）给出的算子Q有如下表达式:Q(Ⅴ)(y)=Qüv(Ⅴ)。（3.13）其中扭曲代价函数的形式为（3.6）。在下一节中，我们将更详细地研究Q的性质。更具体地说，我们感兴趣的是平衡（即Q(Ⅴ)=0)和碰撞不变量（即对y积分时抵消Q(f)的函数ψ(y)）。3.2QWe的性质引入了算子Q的弱形式。为此，我们定义了以下泛函空间。设π∈C(r+)为给定的扭曲代价函数。defunnexè=nu这样的thatZy∈R+u(y)mü(y)dyy<∞o,hü=nu这样的thatZy∈R+u(y)+y yu(y)\\mü(y)dyy<∞o,并赋予了相关范数Kukx⑵和Kukh⑵。我们还证明了hà0={u∈Hà，这样的zy∈R+u(y)mà(y)dyy=0}。空间x和h确实是与测度(dy)dyy相关的Land H型空间，空间hà0类似于关于该测度的均值为零的函数的H空间。因此，我们可以期望一个Poincar E不等式成立，前提是对我们的工作进行适当的假设。在这一点上，我们将假设这样一个Poincar E不等式成立。在下面的3.4节中，我们将证明这个关于二次交易相互作用的Poincar\'e不等式([6]的解决）。假设3.1我们假定函数态态为:y∈R+7→(du(y)∈R，且存在一个常数C>0，且uhà=zy∈R+y yu(y)mü(y)dy≥ckukhà，±u∈Hü0。（3.14）这个Poincar不等式等价地证明了半范数uh？是与范数kukh？等价的h？0上的范数。下面引理给出了线性o算子Q⑵的一些性质：引理3.5我们假定已经给出了ε∈C(r+)并且满足了假设3.1。(i)pro b l em的弱形式：“设g是给定的；f使得:qà(f)=g″，(3.15)其中f和g是R+上的su-ciently光滑函数，由：“设ρ∈X″，给出；[nd\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\。(3.17)(ii)当φ=0时，该问题的解空间由常数跨越。(iii)若φ6=0,则proble m(3.16)允许解当且仅当zy∈r+φ(y)m(y)dy=0。（3.18）如果（3.1 8）是唯一解，则存在唯一解，且解空间是一维nal a-ne空间，其形式为函数的一维nal a-ne空间，其形式为函数的一维nal a-ne空间为函数的一维nal a-ne空间是函数的一维nal a-ne空间的一维nal a-ne空间。对于g,可解性cond(3.18)为wri ttenZy∈R+g(y)dy=0,(3.19),解空间为(Ⅵ+C)màn型函数的一个一角的aàne空间，其中C∈R为任意常数。证明推迟到附录中。对于给定的扭曲代价函数，我们研究了线性算子qà(3.13)的平衡点。结论3.6 q的平衡点是qà(Ⅴ)=0的弱解vàPac(R+)。（3.20）即。是否函数π∈Pac(r+)使得θ='Am⑵属于H⑵且满足zy∈R+yθ(y)yσ(y)ymà(y)dy=0,±σ∈H⑵。（3.21）我们推导出如下命题：命题3.7我们假定态态是给定的，并满足假设3.1。当且仅当§=mü，其中mü(3.8)给出。证明。设vu是qμ的一个平衡点，或等价地设θ='Am∞∈H∞是（3.2 1）的一个弱解。通过引理3.5(ii)，唯一解是θ=常数。