一些博弈论营销归因模型

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英文标题：
《Some game theoretic marketing attribution models》
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作者：
Elisenda Molina, Juan Tejada and Tom Weiss
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最新提交年份：
2020
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Theoretical Economics        理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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英文摘要：
  In this paper, we propose and analyse two game theoretical models useful to design marketing channels attribution mechanisms based on cooperative TU games and bankruptcy problems, respectively. First, we analyse the Sum Game, a coalitional game introduced by Morales (2016). We extend the ideas introduced in Zhao et al. (2018) and Cano-Berlanga et al. (2017) to the case in which the order and the repetition of channels on the paths to conversion are taken into account. In all studied cases, the Shapley value is proposed as the attribution mechanism. Second, a bankruptcy problem approach is proposed, and a similar analysis is developed relying on the Constrained Equal Loss (CEL) and Proportional (PROP) rules as attribution mechanisms. In particular, it is relevant to note that the class of attribution bankruptcy problems is a proper subclass of bankruptcy problems.
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PDF下载：
--> Some_game_theoretic_marketing_attribution_models.pdf (241.41 KB)

2022-4-24 18:07:04 上传

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关键词：博弈论 proportional respectively Optimization Contribution

一些博弈论营销归因模型*2020年12月3日elisenda Molinadepartto de Estadistica，马德里卡洛斯三世大学，西班牙邮政：elisenda。molina@uc3m.esJuan马德里大学运营研究部门跨学科材料研究所（IMI），西班牙邮政：jtejada@mat.ucm.esTomWeiss演绎公司，使用邮件：tom@deductive.comAbstractIn本文分别基于合作TU博弈和破产问题，提出并分析了两个有助于设计营销渠道归因机制的博弈理论模型。首先，我们分析了莫拉莱斯（2016）提出的联合博弈——总和博弈。我们将Zhao等人（2018年）和Cano Berlanga等人（2017年）提出的观点扩展到以下情况：通道的顺序和重复*这项研究得到了斯潘政府I+D+I研究项目MTM2015-70550-P的支持。在转换的路径上也被考虑在内。在所有研究案例中，Shapley值被提议作为归因机制。第二，提出了一种破产问题方法，并以约束等损（CEL）和比例（PROP）规则为归因准则，进行了类似的分析。特别值得注意的是，归属破产问题是破产问题的一个适当子类。关键词：合作博弈论、营销、渠道归因、价值观、破产问题。1导言将获得的收益归因于营销活动中涉及的不同渠道是一个相关问题，因为这有助于优化营销预算分配，并且总体上对营销活动的效果有深入的了解。因此，在营销领域有大量关于这个问题的文献，我们不想在这里进行分析。

读者可参考Jayawardane等人（2015年）和Choi（2020年）对本领域所考虑的方法学进行回顾和分类。考虑到归因问题本质上是一个利益分配问题，我们对营销归因问题的博弈论方法感兴趣。依靠博弈论模型和解决方案，决策者可以根据她认为与其问题相关的属性列表选择特定的分配规则。此外，她可以利用提议的规则刺激渠道，通过激励提高其效率。关于这个话题的现有文献比较少。Dalessandro等人（2012年）可能是第一篇采用合作博弈方法的论文，其中提出了一种基于因果估计问题的分配方法，该方法使用了Shapleyvalue的概念。其他子类文献也采用Shapley值作为属性方法，其特征函数基于概率马尔可夫方法。例如，见Singal等人（2019年）。我们的方法是纯粹确定性的，假设已经确定了关键绩效指标（KPI），用于衡量与转换相关的效益。因此，我们将重点放在可以基于该KPI构建的相同理论模型上。一些没有正式发表的论文（Morales，2016；Zhao et al.2018，Cano Berlanga）讨论了is问题，特别是他们使用了我们分析的第一个模型：SUM博弈。

我们引入了和博弈的一些扩展，考虑了营销渠道的访问顺序和转换路径中重复的可能性。我们在这里提出的博弈论解概念作为归因规则是Shapleyvalue（Shapley，1953）。此外，将归因问题视为破产问题，提出了一个新的不同模型（Aumann和Maschler，1985）。对于这个新模型，我们提出了约束的等损失（CEL）和比例（PROP）规则作为归因规则。在本例中，对两个提出的规则进行了与之前对和博弈模型及其相关的Sh apley属性规则所做的分析类似的分析。论文的结构如下。在第2节中，我们将更正式地介绍我们将要处理的营销归因问题。第3节介绍了合作博弈理论的一般概念，并致力于提出和分析sumgame和基于S h apley的归因规则。特别是，我们将考虑不同的情况下的顺序的相关性或重复通道的路径转换。对第4节中介绍的破产模式进行了类似的分析。第5.2节“归因问题”中包含了一些最终结论。我们假设存在通过一组频道播放广告的广告活动。通过在其中一些渠道观看广告，美国竞选者可以与竞选者有多个接触点。在这之后，在某个时刻，用户可能会通过购买（在非常广泛的意义上）先进的产品来实现转换，从而产生可测量的效果。

归属问题是如何将转换产生的收益归属于转换前观看的不同频道。让我们将这些想法形式化：让N={1，2，…，N}成为参与竞选的一组渠道。形式上，路径转换是由N，p=（i，i，…，i）通道形成的任何有限有序序列lp） ，在哪里lpis是路径p的长度。我们必须注意，一个通道可以在一条路径中出现多次。我们用p（j）表示∈ N、 出现在pathp中j位置的通道。请注意，所有可能路径集合的基数原则上是有限的。不管怎样，我们只考虑一组NITE的路径集合，因为在实践中，路径P（n）只有一个零数。 P（N）是观察到的。由于任何未实现路径产生的效益为零，所有这些路径将不属于所考虑问题的支持。路径的效益取决于一个关键性能指标：f:p（N）-→ R、 将任何观察到的路径指定给转换p∈ P（N）a测度f（P）≥ 所有遵循此路径p的用户通过转换获得的收益中的0。因此，该客户的总收益为B=∑P∈P（N）f（P）在下文中，我们假设f（P）是所有完全遵循相同路径P进行转化的th EUR产生的效益之和。

此外，我们将假设，在没有在任何渠道观看广告的情况下，自发转换已经以零路径的好处为零的方式被打折。然后由三元组A=（N，P（N），f）给出一个归因问题，并由一个归因ai组成≥ 在活动B中获得的共同利益中，每个渠道i N为0。对于这个问题，一些经典应用程序以渠道在转换路径中出现的顺序为基础，通常在实践中使用d（第一次触摸、最后一次触摸、间接最后一次触摸、时间衰减等）。我们基于具有可转移效用和破产问题的合作博弈的经典规则提出了归因规则，这使我们能够更深入地了解归因机制，以促进渠道更有效的行为，并帮助广告商优化分配其营销预算。3 Shapley值归因规则在第三节中，我们提出了一个基于Shapley值（Sahpley 1953）的归因规则，这是一个具有可转移效用的合作博弈，即续集中的TU博弈。首先，让我们恢复一些关于TU博弈和Shapley值的基本定义和结果。3.1合作博弈具有边支付或可转移效用的联盟形式的合作博弈是一对有序对（N，v），其中N是一组有限的参与者s和v:2N→ R、 用2N={S | S N} ，是N上满足v的特征函数() = 0.对于任何联盟 N、 五(S)∈ R是联盟S的价值，代表联盟S在其所有成员共同行动的情况下可以实现的回报。因为我们将限制在序列中的TU游戏的情况下，我们将它们简单地称为游戏。

为简洁起见，在本文中，集合（联盟）N，S的基数将分别用适当的小写字母N，S表示。此外，为了方便起见，我们将把单态{i}写成i，而不会出现歧义。如果v（S），则对策（N，v）是超可加的∪ （T）≥ v（S）+v（T），对于每一个不相交的联合∩ t6=; 如果v（S）是单调的≤ v（T），无论何时 T如果v（S）是凸的∪ （T）≥v（S）+v（T）- v（S）∩ T） 每双S，T N.联盟。合作博弈论中的一个主要问题是，给定一个博弈（N，v）∈Gn，如果大联盟N成立，在玩家之间分配v（N）的数量。LetU={1,2，…}是游戏者的宇宙，让N是U的所有非空有限子集的类。对于N中的元素N，让gn表示游戏者集N上所有特征函数的集合，让G=[N∈NGNbe所有特征函数的集合。支付向量或分配是任意x∈ Rn，这给了玩家i∈ 一个收益席。如果∑我∈Nxi=v（N）。如果有效且∑我∈Sxi≥ v（S），对于每个S N.所有稳定的支付向量集被称为，它将由游戏的核心C（v）表示（Gillies1953）。游戏的核心可以是空的，但是如果游戏是凸的，我们就会知道，在没有歧义出现的情况下，我们会互换使用游戏和特征函数这两个术语。它的核心是非空的。一个值是一个分配，它与每个游戏v相关联∈ GN，N∈ N，一个支付向量φ（N，v）=（φi（N，v））i∈N∈ RN，式中为φi（N，v）∈ R代表球员i，i的价值∈ N.S h apley（1953a）将他的值定义如下：φi（N，v）=∑sN\\is！（n）- s- 1） 哦！Nv（S）∪ {i} )- 五(S), 我∈ N

（1） 当Shapley值用于预测多人交互中的资源分配时，每个参与者的φi（N，v）值，即其边际贡献的加权平均值，可以被解释为参与者i收到的回报。只要（N，v）=（i（N，v））i，一个值是稳定的∈N∈ 注册护士∈ 每个游戏的核心（N，v）∈ GN，N∈ N如果博弈是凸的，Shapley值是稳定的（Shapley，1971）。Shapley值可以用（N，v）中每个联盟的Harsanyi红利来表示，这是比亚迪给出的=∑TS(-1） |S|-|T | v（T）， s N.哈萨尼红利可以递归计算：dS=v（S）-∑TSdT，s N.（2）然后，Shapley值可以从Harsanyi股息中表示如下（见Shapley，1953）：φi=∑s镍∈SdS | S |（3）上述公式基于Shapley值的线性和一致性博弈基础上的t h egame（N，v）表达式。回想一下，一个博弈（N，v）是一个一致性博弈，如果存在一个联盟S，使得每T N、 v（T）=1A博弈（N，v）是完全正的，当它的所有Harsanyi红利都是非负的时。每个正对策都是凸的，因此它的Shapley值属于它的核心。3.2总和博弈和Shapley归因规则在本节中，我们为归因问题引入了一个合作博弈理论模型，我们称之为总和博弈。我们将考虑这样一种情况：既不考虑次序重复也不考虑问题。也就是说，仅保留已在其中观看广告的频道的信息。然后将模型扩展到更一般的情况，在这种情况下，顺序或重复可能是相关的。博弈论方法的主要优点有两个。

一方面，依靠博弈论，决策者可以根据她认为与其问题相关的属性列表选择特定的归因规则。另一方面，由于提议的规则奖励了这种行为，因此，通过提议的规则，h h e刺激渠道通过激励提高其存在和效率。3.2.1顺序非相关案例考虑了不考虑排序和重复的情况。因此，给定属性问题A=（N，P（N），f），我们保留的给定路径P的信息只是出现在路径任意位置的通道集：Sp={i∈ 不适用∈ p} N.如果 T、 否则v（T）=0；在这种情况下，我们将用（N，uS）表示博弈，它的Shapley值是φi（N，uS）=s，对于所有i∈ S、 φi（N，uS）=0，否则。一致性博弈是向量空间GN的基础。因此，我们可以考虑，我们使用一组n个通道n＝{1，…，n}，并且通过以下的聚合KPI函数给出了关于它们的性能的唯一的最高级信息：在n:f（s）的子集上胡：∑P∈P（N）Sp=Sf（P）， s N、 （4）即f（S）是所有在S频道中看到广告的用户产生的总收益，无论顺序或次数如何。为了定义和博弈（N，v∑），区分渠道组合和渠道联盟很重要。第一，频道组合是频道的子集，其中一些用户子集在所有频道（而不是其他频道）上看到了广告。第二，联盟S也是渠道的一个子集，但它可以与其渠道形成所有可能的组合。

实际上，S和联盟使用的是同一组通道，但它们的解释不同。为了便于记法，我们将区分组合和联合的记法。显然，当S是KPI函数的参数时，S将是一个组合，当S是特征函数v∑的参数时，S将是一个组合，考虑到渠道联盟S也可能被理解为与联盟中渠道形成的所有可能组合的集合，下面的总和游戏（莫拉莱斯，2016年，卡诺·贝朗加等人，2017年，赵等人，2018年）定义1。给定游戏者的集合N={1，2，…，N}o和集合函数f:2N→ R如f（S）≥ 0代表所有人 N和对策（N，v∑）由v∑（S）定义=∑TNf（T）， s N.（5）已知（Cano Berlanga et al.，2018）和对策是单调和凸的，然后是超加的，其核心是非空的，Shapley值属于核心。此外，其Shapley值可以简化，并用KPI函数f（·）的项表示如下：φi（N，v∑）=∑s镍∈Sf（S）|S |， 我∈ N.（6）Zhao等人（2018）通过Shapley值的原始e x表达式（1）证明了上述结果。然而，我们在这里包含了一个基于和博弈的Harsanyi红利的替代证明，这个证明更加清晰，并允许我们对和博弈类有更深入的了解。提议1。对于任何给定的和博弈（N，v∑），Harsanyi红利由定义博弈的相应收益函数f（·）给出。也就是说，对于所有的S，dS=f（S） N.证据。我们证明了和对策的Harsanyi d-ividends证明了dS=f（S）， s N、 通过归纳S的大小，利用递推公式（2）我们得到：d= 0; di=f（i），我∈ Nd{i，j}=f（i，j），{i，j} 让我们 N并假设dT=f（T）， T N以至于≤ s- 1.