一些博弈论营销归因模型

同样，通过递归公式（2）：dS=v∑（S）-∑TSdT=∑TNf（T）-∑TSf（T）=f（S）。注意，上面的表达式（6）直接从前面的命题出发，考虑到沙普利值在游戏红利方面的表达式（3）。虽然表达式（6）比原来的表达式简单，但它仍然存在在加法的n中包含理论指数的问题。然而，在实际中，非零项的数量是可控的。当dS=f（S）≥ 0, s N、 求和游戏的结果是正数。更重要的是，通过考虑f（s）：=dS，s-um博弈的类与完全正博弈的类一致，sN.在续集中，当我们通过t h is部分引用归因规则时，我们将引用在子类P上定义的值 完全正面的游戏。因此，效率、对称性、零参与者和可加性等经典公理将Shapley值描述为一种归因规则，因为两个完全正博弈的和也是一个完全正博弈。接下来，我们继续讨论这些属性，这些属性描述了Shapley值，以及在归因问题方面其他一些有趣的属性效率。Shapley值精确地分配或估算了从相关通道中所有观察到的组合中获得的全球价值：∑我∈Nφi（N，v∑）=v∑（N）：=∑sNf（S）。o可加性。Shapley值是一个加法规则。

因此，对于每个通道i，φi（N，vagg∑）=φi（N，v∑）+φi（N，v∑）∈ N、 其中vagg∑（S）：=∑Tsf（T）+f（T）, 和vk∑（S）：=∑TSfk（T），k=1，2，对于每种情况 N从具有给定通道N集的数据集开始，其中包括关于两个活动的KPI的信息（让我们从两个活动的观测值中获得两个估计值），如果两个活动的联合KPI由组合fagg（S）给出：=f（S）+f（S），则为e r y组合S N、 然后，联合战役中任何通道的Shapley值等于原始战役和对称中每个通道的Shapley值之和。每一对我，j∈ 性能测试中的N个不可区分通道，即f（S∪ i） =f（S）∪ j） 每一天 N \\{i，j}，sumgame的Shapley值为两个通道提供了相同的值：φi（N，v∑）=φj（N，v∑）空玩家。空通道属性设置玩家（通道）至少不会对其他通道的任何子集的沃斯函数做出任何贡献，即f（S）∪ i） =0，对于eve r y组合S N\\i必须接收值φi（N，v∑）=0.o独立财产。独立属性wh ich设置一个通道的属性值不能小于它自身可以获得的值：φi（N，v∑）≥ v（i）=f（i），我∈ N.o公平排名。如果f（S）∪ （一）≥ f（S）∪ j） ，对于每个组合 N\\{i，j}，因此，与通道i的组合比与通道j的组合更有利（或至少同等有利），对于每个组合S，通道i的排名应优于通道j。也就是说，φi（N，v∑）≥ φj（N，v∑）稳定性

当使用Shapley值时，输入到每个频道组合的全局值始终大于或等于用户在S中暴露于任何可能的频道组合，但在任何其他频道中没有收到印象（由v∑（S）精确给出）的所有转换所产生的值。因此，S中的渠道组合没有拒绝拟议的att分摊方案的动机。φ（S）（N，v∑）：=∑我∈Sφi（N，v∑）≥ v∑（S）=∑TSf（T）， s N.o无补贴财产。首先，让我们正式定义独立通道集的概念：给定的子集* N是一组独立的通道，如果f（S∪ T） =0，对于所有S s*所有的 6=T N\\S*.请注意，独立频道集产生的价值等于∑ss*f（S），也就是v∑（S）*), 此外，它可以清楚地识别，因此应该被归为S*. 在这些情况下，暴露于混合了一些频道的频道组合的用户没有进行任何转换（或至少有价值的转换）*有些频道不在S区*, S中的频道*不应从N\\S中暴露于频道的设备的转换中获得任何信用*, 另一方面。这就是以下属性的概念。如果存在独立的信道子集* N、 然后，Shapley值将其产生的全局值准确地输入到S中的这些通道，在这种情况下，该值与用户在S中暴露于任何可能的通道组合的所有转换所产生的值一致*在任何其他渠道都没有收到印象。φ（S）*) :=∑我∈s*φi（N，v∑）=v∑（S）*) =∑Ts*f（T）， 独立的S* N.接下来，我们丰富了s um博弈方法，以便处理更一般的属性情况，其中通道在转换路径中出现的顺序以及每个通道出现的次数起到了相关作用。

首先，我们考虑SE。2.2仅信道在转换路径中出现的次数相关的情况。然后，在第3.2.3节中，我们考虑了外观顺序。3.2.2考虑到重复在这种情况下，顺序不被认为是相关的，但它被认为是相关的，一个通道可以在一条路径中出现多次。例1。例如，路径（1,2）和（2,1）被认为是不可区分的，但与路径（2,1,2,2）不同。在这种情况下，我们认为信道2的价值必须大于在转换路径中的信道1的价值。上述聚合共享相同玩家子集的不同路径的值以获得值f（S）和随后的值v∑（S）的方法将在现在完成。在上一个例子中，如果我们定义f（{1，2}）=f（（1，2））+f（（2，1））+f（（2，1，2，2）），那么关于第三条路径中通道2中广告视图重复的信息是los t。对于n，我们建议创建额外的玩家，复制一条路径中出现不止一次的玩家。形式上，让Rit确定玩家i在归因问题的任何路径中出现的最大次数（N，P（N），f），即ri=maxp∈Pi（N）ni（p），（7），其中ni（p）是通道i出现在路径p中的次数，i=1，n、 然后我们创造出有竞争力的球员我，我，如果出现通道i，则替换原始通道i的IRIl = 路径p中的ni（p）次，然后通道i被实际玩家i，i，我l在这条路径中，对于所有的p∈ π（N），而且我∈ N.对于这些新玩家，根据前一节的定义，考虑到Nr=∪ni=1Sri，其中Sri={i，i，…，iri}，i=1。

，n，并且是通过Nr中的有效渠道组合定义的KPI函数fr，通过以下总和给出：fr（Sr）：=∑P∈P（N）nj（P）=Sr∩Srj |，jf（p）， Sr 第（8）条示例2。让我们考虑在例子1中的上面的胡氏情况，下面的kPIVals:表1：EX充足1，重复的p kPI值f（p）（1）20（1, 2）40（2, 1）10（2, 1, 2）30，然后我们创建cType玩家1, 2，2，并考虑新游戏表中所示的kPI函数，求和游戏（NR＝{ 1, 2, 2 }，vr）：和对策（Nr，vr∑）的Shapley值由φ（Nr，vr∑=55，φ（Nr，vr∑=35，φ（Nr，vr∑=10）给出。现在，考虑到每个通道在nor顺序下的Shapley值与表2：组合和联合的KPI和特征函数sRFR（S）vr∑（S）{1}20{2}0{2}0{1,2}50{1,2}0{2,2}0{1,2,2}30 100其他重复与φ（N，v∑）=∑60和φ（N，v∑=40）相关，我们可以观察到φ（Nr，vr N，Nr，Nr）=45）+v>。也就是说，由于一条路径上的请求，通道2增加了它的价值。接下来，我们将这个例子中展示的想法形式化。首先，当请求相关时，我们定义一个属性，我们称之为基于扩展和博弈的Shapley值（Nr，vr∑）的类似Shapley值的属性。然后，我们根据观察到的路径的KPI推导出了它的一个简单表达式，并引入了关于通道重复的单调性，以捕捉这样一个事实：如果一个活跃的通道增加其外观，而剩余的特征保持不变，其属性将改善，或者至少不会恶化。

我们证明了这种情况，即提出的类似Sahpley值的属性保留了形状值的基本性质：效率、可加性、对称性。在这种情况下，联盟S={1,2}的值将由f（1）+f（1,2）+f（2,1）+f（2,1）+f（2,1）+f（2,1,2）=100之和给出。和空玩家。定义2。在形式上，每个通道的Shapley值类似于属性i∈ 在这个框架中，N将由以下总和给出：φri（N，P（N），f）：=φi（Nr，vr∑）+·φiri（Nr，vr∑），i∈ N、 （9）其中Sri={i，i，…，iri}并且是ri≥ 1（7）中规定的每个通道i的最大数量∈ N.提议2。设A=（N，P（N），f）为归因问题，设ri≥ 1为（7）中规定的每个通道i的最大数量∈ N.那么，它是：φri（N，P（N），f）=∑SrNrSr∩Sri6=|Sr∩ Sri | | Sr | fr（Sr）=∑P∈P（N）i∈pni（p）lpf（p），（10），其中Sri={i，i，…，iri}，ni（p）是通道i出现在路径p中的次数，为lpitslength，i=1，n、 证据。由于φri（N，P（N），f）定义为：φi（Nr，vr∑）+···+φiri（Nr，vr∑），对于所有i∈ N、 第一个等式直接来自求和博弈的Shapleyvalue表达式（6），即Harsanyi红利和扩展博弈（Nr，vr∑）定义。第二个问题来自扩展通道集NR和KPI函数fr（·）表达式（8）的定义。我们现在定义了通道重复的单调性，来描述这些规则，以验证在其他条件相同的情况下，通道的重复有利于它。定义3。设A=（N，P（N），f）和A+i=（N，P+i（N），f+i）是两个分配问题，存在一条路径P∈ P+i（N）=P（N）\\{P}∪ p+i，其中p+通过重复一次通道i来替代路径p∈ p、 但不改变其值，即f+i（p+i）=f（p），并且永远是f+i（q）=f（q）∈ P（N）\\{P}。

然后，每当ψi（N，P（N），f）时，一个属性规则ψ检验关于通道重复的单调性≤ψi（N，P+i（N），f+i）。提议3。定义2中引入的类似Shapley值的归因规则验证了频道重复的单调性。证据考虑到（10）中的最后一个表达式，φi（N，P（N），f）和φi（N，P+i（N），f+i）之间的唯一差异由路径P对应的权重给出∈ P（N）和P+i∈P+i（N）哪个areni（P）l潘德尼（p）+1l分别为p+1。自从lP≥ ni（p），不平等性成立。最后，我们通过证明所提出的att贡献是一种类似于形状的属性来结束对该案例的分析，因为它保留了Sh apley值的基本特征：效率、可加性、对称性和零参与者。在此之前，我们必须澄清在这种广义背景下对称信道的含义。假设A=（N，P（N），f）是一个具有重复的归因问题，那么两个不同的通道i6=j∈ 对于所有路径p和1，如果ri=rj且f（（p，rz}{i，…，i））=f（（p，rz}{j，…，j）），则N是对称的≤ R≤ 里。请注意，原则上，这个等式必须适用于有限的点数。然而，关于观察到的路径，只有有限的条件不是0=0。事实上，i，j对称意味着（p，rz}{i，…，i）∈ P（N）<=> （p，rz}{j，…，j）∈P（N）。提议4。类似Shapley值的属性验证了效率、可加性、对称性和零玩家的属性。证据

效率取决于扩展博弈的定义（Nr，vr∑）和Shapley值的效率，因为：n∑i=1φi（N，P（N），f）=N∑i=1ri∑l=1φil（Nr，vr∑）=vr∑（Nr）=∑SrNrfr（Sr）=B，即B是该活动的全球收益。对称性和零p层可以通过类似的推理来证明。为了证明可加性，让（n，p（n），f）和（n，p（n），f）是为同一组n个信道而发展的两个运动，那么我们必须首先考虑一个新的扩展PrimeSt集合NR:N-R。∪ NRAND考虑R1，2I:= max {Ri，Ri}，以解释两个战役中所有可能的重复。显然，如果ri<ri，那么所有路径p都出现在我的通道i中l > 在第一次活动中，ritiems的KPI应为零，因此相应的KPI应为零l与ri<l ≤ 在（Nr，vr1，∑）中，RIC将为空玩家。然而，由于Shapleyvalue验证了空玩家OUT属性（Derks and Haller，1999），它适用于所有∈ N:φil（Nr，vr1，∑）=φil（Nr，vr1，∑）， l ≤ ri，φil（Nr，vr1，∑）=0， ri<l ≤ r1,2i，φil（Nr，vr2，∑）=φil（Nr，vr2，∑）， l ≤ ri，φil（Nr，vr2，∑）=0， ri<l ≤ r1,2i。因此，通过定义Shapley值（如属性和Shapley值的可加性），移除一个空参与者不会影响其余参与者的Shapley值：φi（N，v）=φi（N\\j，v）-j） ，尽管如此，我，j∈ N、 五∈ GN，使得j是（N，v）中的一个空游戏者，i6=j。遵循φi（N，P（N），f）+φi（N，P（N），f）等式：ri∑l=1φil（Nr，vr1，∑）+ri∑l=1φil（Nr，vr2，∑）=r1,2i∑l=1φil（Nr，vr1，∑）+r1,2i∑l=1φil（Nr，vr2，∑）=r1,2i∑l=1φil（Nr，vr1，∑+vr2，∑）：=φi（N，P（N）∪ P（N），f+f），对于每个通道i∈ N、 式中（N，P（N）∪ P（N），f+f）正是描述活动1和2的组合的归因问题。3.2.3订单相关案例我们现在考虑的是一个渠道可以在转换过程的不同阶段扮演不同角色的情况，即。

在转换路径的不同阶段，一个频道可能会对用户的决策产生不同的影响，因此，如果我们能够理解每个频道在转换过程的每个步骤中可以发挥的作用，并正确评估属性值，并考虑其在每个转换路径中出现的顺序，这将是非常有用的。考虑到顺序，我们再次利用了艺术复制玩家的理念。在这种情况下，出现在某个路径的位置j的每个通道I都会∈ P（N）被一个新的有效通道所取代，该通道结合了有关通道和位置的信息。对于这组新的扩展订单参与者，订单是不相关的，KPI函数和扩展订单和博弈（No，vo∑）的定义方式与第3.2.1节相同。现在，扩展顺序集由No给出=∪ni=1Soi，其中Soi={i，…，ipi}，是通道i的最大位置∈ N重新连接到它所属的一组转换路径。例3。让我们考虑表3中的数据所描述的属性问题。表3：订单案例路径p的数据∈ P（N）KPI值f（P）（1）30（1,2）60（2,1）10扩展订单参与者的数据、组合和联盟的相应值如表4所示。请注意，No={1,1,2,2}并不是所有可能的组合和联合都被考虑在内。对于表4中未包含的每个组合，fo（S）=0。表4:e x有序集合NoSo的KPI和特征函数∈ Nofo（S）vo∑（S）{1}30{2}0{2}0{1,2}0{1,2}60{1,2}10{1,2,2}0{1,1,2,2,2}0}0{1,1,2,2}0}0{1,5,5和φ=30给出了扩展顺序对策（否，v∑）的Shapley值。

当顺序被认为不相关时，我们可以观察到与sum博弈的Shapley值的以下关系：φ（No，v∑）+φ（No，v∑）=65=φ（N，v∑），（11）φ（No，v∑）+φ（No，v∑）=35=φ（N，v∑）。（12） 然后，我们可以将通道1和通道2的属性解释为每个通道在路径中占据第一位置或第二位置时获得的属性之和。在这种特殊情况下，通道1在第一个接触点转换时贡献更大，而通道2在最后一个接触点转换时贡献更大。为方便起见，在下面的内容中，我们将用φji（No，vo∑）表示扩展有序博弈φij（No，vo∑）中j位通道i的Shapley值，可通过以下简化表达式（13）获得。提议5。对于任何属性问题A=（N，P（N），f），它成立：φji（No，vo∑）=∑P∈Pji（N）f（p）lp（13）其中Pji（N） P（N）是玩家i占据位置j的路径集。遵循KPI函数和博弈的Shapley值表达式（3），考虑到所有这些∈ 不，那是ij∈ 所以存在一个p′∈ P（N）中，玩家i占据位置j。因此，对于所有的玩家i∈ Noholds:φji（No，vo∑）=∑所以诺伊∈Sofo（So）| So|=∑P∈Pji（N）f（p）lp、 如果没有重复发生，因此每个通道在每个观察到的路径中只出现一次∈ P（N），下一个命题表明关系（11）和（12）是广义的。然后，我们可以将忽略位置时每个通道的Shapley属性解释为该通道在路径中占据不同位置时获得的不同Shapley属性的总和。提议6。设A=（N，P（N），f）是一个属性问题，假设每个通道i∈ N在每个路径p中最多出现一次∈ P（N）。