一些博弈论营销归因模型

那么，不管怎样，我∈ N、 φi（N，v∑）=∑pij=1φji（No，vo∑），其中Pi是i在其所属路径集中达到的最大位置，Pi P（N）。证据因为在任何观察到的转化路径中都有重复，|Sp |=lp、 尽管如此，p∈P（N），因此：φi（N，v∑）=∑s镍∈旧金山（S）|S|=∑P∈π（N）f（p）lp=pi∑j=1∑P∈Pji（N）f（p）lp、 因此，考虑到命题5，分解结果hods。对于更一般的情况，一个通道在一些路径中出现不止一次，并且重复也是相关的，上一节的方法可以与本章的方法结合使用，我们可以再次定义每个通道的Shapley值，如分布。然而，分解定理6不再成立，因为还测量了每个通道属性的重复效应。必须指出的是，在赵等人（2018年）中，一个关于使用类似方法处理与顺序相关的情况的直观想法被认为是“有序Shapley值”。然而，他们没有考虑任何形式化的程序，以获得有序的Shapley值，或其关系的情况下，该顺序是不相关的。继赵等人（2018）之后，我们可以通过有序参与者的Shapley值之和ij来测量给定固定位置的重要性∈ 与这一立场无关。正式定义：定义4。对于任何归因问题A=（N，P（N），f），以及任何观察到的位置j（即存在路径P）∈ 长度的P（N）l ≥ j） ，位置j的类似Shapley值的属性定义为：φj（N，P（N），f）：=∑我∈Nφji（No，vo∑）。上述职位j的Sh apley值贡献也可以通过KPI函数获得，如下所示。提议7。对于任何归因问题A=（N，P（N），f），以及任何观察到的位置j，它都是：φj（N，P（N），f）=∑P∈P（N）lP≥jf（p）lp、 证据。

自[i]∈NPji（N）={p∈ P（N）/lP≥ j} 。显然，指数φji，j=1，π，i=1，n在渠道i可以占据的不同职位之间共享属于渠道i的资产的是Shapley价值分配，因此基本满足第3.2.1节中列出的所有资产。但是，用于在不同职位之间分享收益的指数φj也是Shapley式的分配，因为它们也验证了Sahpley值的基本属性。4破产评估第四节我们提出了一种不同的博弈论方法来解决归属问题，将其视为破产问题。Aumann和Maschler（1985）将破产问题作为一个博弈论问题引入，以解决在遗产不足以满足其所有索赔要求的情况下，如何在拥有部分权利的不同代理之间分配给定状态的问题。形式上，破产问题由（E，c）给出，其中E是遗产，c=（c，…，cn）是索赔向量，即代理人i的索赔，例如0<E≤∑ni=1ci。设U={1，2，…}是索赔人的宇宙，让N是U的所有非空有限子集的类。对于N中的元素N，让bn表示N上定义的所有破产问题的族，让B=[N]∈NBNbe是所有破产问题的集合。设B=（E，c）∈ 这可能是一个特定的破产问题。我们用C表示=∑ni=1索赔的总数量，D=C- E≥ 然后，一个合作博弈（N，v）可以用特征函数v（S）=max{0，E与该问题相关联-∑我/∈科学} 众所周知，这个游戏是凸的。虽然可以计算出该游戏的S h apley值，但作为破产解决方案，它并不具有良好的性能。

相反，通常会采用其他一些特定的破产规则。BNR的规则是与每个问题（E，c）关联的映射R∈ BNa唯一值R（E，c）∈ 注册护士。具体来说，对于att分配问题，我们将在本文中关注比例（PROP）和约束等损（CEL）规则（Au mann和Maschler 1985）。PROP规则可以为我们提供一个基准。PROP规则按索赔比例分配遗产，可能是该框架中使用最广泛的解决方案规则。有时，所涉及的表达式的集合可能会有所不同，因此我们必须通过编写（N，E，c）而不是（E，c）或实例来明确地将其包含在符号中。CEL规则具有排除较弱的索赔人的特性，它帮助我们集中精力于必须强大的渠道，并将那些贡献较低的渠道排除在s h之外。定义5。比例规则将遗产的一部分按比例分配给每一位代理人，以满足其索赔要求：PROPi=ciCE，i=1，n、 C在哪里=∑我∈Nci，对于每个破产问题B=（E，c）∈ BN。CEL规则遵循一种方法，试图将定义等同地归责于原告：定义6。

CEL（约束相等损失规则）分配给破产问题B=（E，c）中的每个代理人∈ bn金额：CELi=max{0，ci- λ} ，其中λ>0验证∑我∈Nmax{0，ci- 作为破产问题的归属问题，我们现在应该考虑每个信道都声称（所有）所有与在该频道上看到广告的用户相关的版本产生的BEN TS。在第一个地方，我们将考虑的情况下，我们只记录广告已在频道上看到，而没有考虑到的顺序或次数，它已经看到；之后，将考虑顺序和重复的相关情况。4.1.1没有顺序，没有重复，因此，给定属性问题（n，p（n），f），我们将考虑唯一相关信息是n的组合S上的KPI函数。∑s∈N） f（S），即在特定活动中，一组频道N产生的总价值，个人索赔由CI给出=∑s∈镍∈Sf（S），i∈ N、 也就是说，每个频道都声称（全部）看到该频道广告的用户的所有转换所产生的收益。显然，索赔总额为=∑我∈NCI超过了全球收益F（遗产），这正是必须归属于渠道的全球金额。我们将用D来表示≥ 0定义D=C- F.根据D的定义，我们可以推断：=∑sNS6=（|S |- 1） f（S）。N中所有涉及通道的破产问题家族用FN表示。正如我们将在下一篇文章中看到的那样，fn是BN的一个适当子集，对于每一个有限元素Nin N。设F=∪NNFN。定理1。

每N∈ N和任何给定的破产问题B=（E，c）∈ BN，∑我∈Nci≥ E≥ maxici（15）是非负集函数f:2N存在的充要条件→ R+就是这样=∑sNS6=f（S）和ci=∑s镍∈旧金山， 我∈ N.证据。这种情况的必要性很简单。通过归纳法证明了索赔人的能力。让我们首先证明，在这些条件下，对应于两个索赔人破产问题的下一组线性约束具有非负可行解。E=f（1）+f（2）+f（{1，2}），c=f（1）+f（{1，2}），c=f（2）+f（{1，2}）。简单地说，f（1）=E- c、 f（2）=E- cand f（{1，2}）=c+c- E求解系统，条件（15）确保所有这些都是非负的。现在，让我们通过归纳假设假设，给定一个破产问题，其中N=|N |索赔人满足条件（15），存在一个非负集函数f（·），例如=∑sNS6=f（S）和ci=∑s镍∈Sf（S），就我所知∈ N、 我们将证明在N+1索赔人验证（15）的情况下，任何破产问题都存在相似函数。假设B=（E，c）是这样一个破产问题，并且假设c不损失通用性≤ C≤ · · · ≤ cn≤ cn+1。然后让我们定义（n+1）：=max{cn+1- 中国，E-N∑I＝1Ci}（16），现在让我们考虑TW O情况：1。如果f（n+1）=cn+1- cn，然后是带E′=E的约化问题B′：=（E′，（c，…，cn））- cn+1+cn是一个满足条件（15）的破产问题。注意cn=maxi=1，。。。，nci≥E- cn+1+cn=E′，因为E≥ cn+1和N∑i=1ci≥ E- cn+1+cn=E′，因为cn+1- cn≥E-N∑i=1ci。因此，存在一个非负函数f′（·），即：- cn+1+cn=∑sNf′（S），（17）ci=∑s镍∈Sf′，i=1，n、 （18）现在，让我们定义函数f:2N∪{n+1}→ R+如下所示：f（n+1）：=cn+1- 中国；f（S）：=f′（S）和f（S）∪ {n，n+1}）：=f′（S）∪ {n} ），每一次 {1, . . .

N- 1}; 和为f（S）：=0，对于只包含一种试剂n或n+1的剩余S。简单地说，f veri fie=∑sN∪{n+1}S6=f（S）和CI=∑sN∪{n+1}i∈Sf（S），就我所知∈ N∪ {n+1}.2。如果f（n+1）=E-N∑i=1ci，th-en 0≤ cn+1- cn≤ E-N∑i=1ci，因此简化问题B′：=（E′，（c，…，cn））与E′：=E- f（n+1）=∑我∈NCI是一个微不足道的破产问题，也满足条件（15）。函数f′（i）：=ciforall i=1，n、 f′（S）=0，否则，是一个非负函数，它可以很好地验证∑i=1ci=∑sNS6=f′（S）和ci=∑s镍∈Sf′S， 我∈ N={1，…，N}。现在，让我们将函数f定义为：f（n+1）：=E-N∑i=1ci，f（i）：=f′（i）=ci，i=1，N- 1，f（n）：=f′（n）- D=cn- （n+1）∑i=1-（E）≥ 0（自cn+1以来）- cn≤= E-N∑i=1ci），f（{n，n+1}）：=D=n+1∑i=1-E≥ 0，f（S）：=0，否则。简单地说，f veri fie=∑sN∪{n+1}S6=f（S）和ci=∑sN∪{n+1}i∈旧金山， 我∈ N∪ {n+1}。在续集中，假设A=（N，P（N），f）是一个归属问题，我们指的是它的约束相等损失（CE L）或比例（PRO P）归属，我们分别指的是与A相关的相应破产问题B=（N，f，c）的CEL和PROP。由于FN是BN的适当支持集，对于N中的每个有限元素，当仅限于这个问题时，比例规则和CEL规则的经典公理化描述是无效的。必须为这类破产问题制定新的特征。事实上，这些解决方案的一些关键特性，例如一致性，在这个框架中没有意义。让我们分析破产规则的经典属性，它们与我们感兴趣的两个规则相关——PROP和CEL——它们出现在这些破产规则的一些特征中。在归因规则方面。

我们将规则解释为一种归因机制，当它产生se时，讨论它作为归因问题定义的子类中的一个属性的有效性。以下属性是表征CEL和PROP的基本属性，在F域中不再有效，因为所涉及的一些破产问题不属于与归属情况兼容的F类破产问题。特别是，路径独立性对于描述这两个规则至关重要作文所有N，所有（E，c）∈ B和所有E，E∈ 使得E+E=E，R（E，c）=R（E，c）+R（E，c）- R（E，c））。o路径独立。所有人（E，c）∈ 对于所有的E′>E，R（E，c）=R（E，R（E′，c））。o一致性F或全部N，全部（E，c）∈ BN，都是S N和我所有的∈ 我们有：Ri（N，E，c）=Ri（S，∑我∈SRi（N，E，c），cS），其中cS=（ci）i∈SDU的自我二元性。所有N，所有（E，c）∈ BN，R（E，c）=c- R（D，c）。SDU在关于奖励和损失的解的行为中引入了对称性原则，这是PROP规则的一个重要性质。它说，如果我们认为（E，c）是一个分配问题，或者是一个配给方案，同样的原则也适用。相反，以下列表中的所有属性都可以作为属性规则的属性。我们用这些术语对其进行解释个人理性。对于所有N和所有（E，c）∈ BN，0≤ Ri（E，c）≤ 给艾莉的∈ N、 确定我们不认为某个渠道的价值小于零，且不超过该渠道参与的总价值之和。也就是说，任何频道都不会被未接触到其上的AD的用户所产生的任何价值所归属效率。对于所有N和所有（E，c）∈ 苏米∈NRi（E，c）=E。也就是说，所有产生的价值都归因于渠道平等对待平等者。

对于所有N，（E，c）∈ 埃南德，尽管我，j∈ N、 ci=cjri（E，c）=Rj（E，c）。所有人（B，c）∈ B尽管如此，我，j∈ N、 f（S）∪ i） =f（S）∪ j） ,，s N\\{i，j}impliesRi（B，c）=Rj（B，c）。作为属性规则的一个属性，它比对称性更重要。没有证据表明，两个通道扫描具有相同的声明，但它们可以区分，因为它们所属组合的值可能不同EXC排除。对于所有N和所有（E，c）∈ BN，if-ci≤ D/n然后Ri（B，c）=0。因此，归因将集中在具有最高价值的渠道上。一个人不能要求更多；多余的部分无关紧要CMR由最低权利构成。所有N，所有（E，c）∈ BN，R（E，c）=m（E，c）+R（E）-∑我∈Nmi（E，c），c- m（E，c）），其中mi（E，c）=max{0，E-∑j6=icj}是参与者i的最小权利。渠道的最小权利代表当所有其他渠道的索赔完全满足时，如果该金额为非负，则留给他的全球利益的金额。从其他方面来看，它被认为是零。CMR向每位代理人保证，在考虑新的索赔分配剩余利益之前，他们拥有最终权利。在这种情况下，导出的破产问题p（E）并不明显-∑我∈Nmi（E，c），c-m（E，c））∈ FN。让我们检查一下：首先，很明显∑我∈N（ci）- mi（E，c））≥ E-∑我∈Nmi（E，c）。第二，我们必须证明马克西∈Nci- mi（E，c）≤ E-∑我∈Nmi（E，c）。在不丧失一般性的情况下，假设权利要求按降序排列，c≥ C≥ · · · ≥ cn，因此c=maxici。像∑i6=1ci≤∑i6=jci，J∈ N、 这意味着Mi在i中是一个非递增函数。如果存在mi6=0，m6=0。如果mj>0，则cj- mj=cj- E+∑i6=jci=D- E.如果对于给定的j，mj=0，我们必须检查c- M≥ 希杰。假设m>0（否则是微不足道的），c- m=D- E=∑我∈Nci- E≥ cj因为mj=0意味着E-∑i6=jci≤ 因此，我们必须只检查E-∑我∈Nmi≥ C- M

设k为mi>0，对于所有i=1。。，k、 对于i>k，mi=0。k=0，1的情况是不同的。为了k≥ 2.通过一些简单的计算，我们可以得到：-∑我∈Nmi=（k）- 1） D+n∑j=k+1cjThen，E-∑我∈Nmi- （c）- m） =（k）- 1） D+∑nj=k+1cj- D=（k）- 2） D+∑nj=k+1≥ 0.我们正在考虑的两个归因规则，即PROP和CEL，验证IND、EF F和ETE，而EXC和CMR仅被CEL满足。4.2重复的情况下，我们考虑的情况下，我们不仅记录访问的信道，但次数的通道出现在一个路径。为了处理这种情况，我们再次考虑在第3.2.2节中引入ARTI财经播放器。在这种情况下，我们将验证CEL和PROP解决方案，在其他条件相同的情况下，重复一个频道有利于它。首先，当不相关的索赔人被忽视时，他们的行为需要一个结果。让我们定义IPL不相关的玩家属性。我们说，规则R验证IPL if，对于任何破产问题（N、E、c），以及任何玩家k∈ 当Rk（N，E，c）=0时，约化问题（N\\{k}，E，c）的解r′-k） 就是R′i=Ri，对于所有的i∈ N\\{k}。提议8。CEL和PROP属性规则验证无关玩家的属性。证据简单地说，当且仅当ci=0时，PROPi=0，因此证明了IPL。为了证明CEL验证了IPL，我们首先证明CEL正确定义了财产，即减少的问题仍然是一个破产问题：C- ck=C-K≥ E.如果CELk（E，c）=0，则ck≤ （C）- E） /n=（C）-k+ck- E） /n保持。因此C-K- E≥（n）- 1） ck≥ 0，所有n≥ 1.现在，让λ为定义CEL（N，E，c）的原始问题的解，即。

CELi=max{0，ci- λ} 就我所知∈ 安第斯山脉=∑我∈Nmax{0，ci- λ} =∑我∈NCELi（N，E，c）>0max{0，ci- λ}.因此，λ也是定义CEL（N\\{k}，E，c）的约化问题的解-k） 。此外，在不改变提议的份额的情况下，可以删除整个不相关的参与者集。提案9。CEL和P ROP归因规则验证了通道重复的单调性。证据在不丢失基因的情况下，我们将在下面的例子中证明单调性。设（N，P（N），f）是一个属性问题，与（N，f，c）给定的破产问题有关。假设在一条新路径上，通过重复一次playeri来替代路径p∈ p不改变其值f（pr）=f（p）。然后，两个新的参与者被添加到问题中，在所有路径中，参与者i被参与者ii替换，其重复被路径pri替换。相应的新破产问题是（Nr，F，cr），其中Nr=N\\i∪ {i，i}，crj=cj，对于所有j∈ Nr，J6=I，cri=f（pr）。让我们从CEL规则开始。然后，我们将证明Celi（B）≤ CELi（Br）+CELi（Br），（19），其中B表示原始破产问题（N，F，c），Br表示新的破产问题（Nr，Fr，cr）。我们将区分两种情况：o情况1：如果CELi（Br）=0，则根据IPL属性，CELi（Br）=CELi（B）成立案例2：否则，CELi（Br）>0，然后cri=f（p）>Dr/（n+1），其中新破产问题的定义为Dr=D+f（p）。因此，f（p）>D/n和D+f（p）n+1≥Dn。艾瑞弗，cj≥D+f（p）n+1≥Dn，这意味着B中的每个排除通道在Br中也是一个排除通道。我们证明，这也意味着B中的每个不相关通道在Br中也是不相关的。让E（B） N是B中被排除的参与者的集合。那么，cri=f（p）>（Dr-∑J∈ E（B）cj）/（|N\\E（B）|+1）因为CELi（Br）>0。