块矩阵的规范表示及其应用

例如，在图2中，我们可以看到这些是近似的BIC统计数据，因为它们基于两个估计器。BIC将惩罚p log（nT）添加到-2`，其中p是自由参数的数量。为了进行比较，使用惩罚2p的theAIC选择了这两年中最普遍的规格。（a） 行业关联结构（K=11区块）（b）集团关联结构（K=24区块）图2：基于行业（a）、集团（b）、行业（c）和子行业（d）的区块结构的估计关联。左面板是基于252个每日收益的2019年估计值，右面板是基于2020年253个每日收益的2020年估计值。资产块根据其GICS分类代码列出，黑色实线表示11个部门的边界。（c） 产业关联结构（K=69区块）（d）子产业关联结构（K=152区块）图2：（续）。公用事业（55家）与其他行业之间的相关性大幅增加。2020年，金融业（40）与其他行业的平均相关性最高，而公用事业（55）与其他行业的平均相关性最高。2020年，医疗保健（35）与其他行业之间的低相关性也非常明显。这些区块按其GICS代码的顺序列出，我们用黑色实线分隔不同的行业（区块数量太大，无法单独包含行业和子行业的标签）。面板（d）中基于子行业的区块划分揭示了关于关联结构的更多细节。在医疗保健领域（35），有一条明显的条纹，表明与所有其他区块的相关性接近于零。有趣的是，这一条对应于两个子行业，生物技术（35201010）和制药（35202010）。

在图2（d）中，也有与材料（15）中的子行业相关的低相关性aband，这些子行业包括黄金（15104030）、贵金属和矿物（15104040）和银（15104045）。为了进一步说明块相关结构的有用性，我们计算了成对股票的部分相关。偏相关需要对高维矩阵进行反演，这一计算因块体结构而大大简化。在图3中，我们报告了一对股票的偏相关，其中我们以其他行业的所有其他股票为条件。这些偏相关基于使用扇形块结构的估计相关矩阵。图3包括六个日历年的结果，其他日历年的结果显示在网络附录中。偏相关矩阵中突出的一个特征是日历年的相似性，图3显示了其中的六年。如果相关矩阵的年度估计非常嘈杂，我们预计不会看到基于不同数据集（不同日历年的每日回报）的非常相似的结构估计。2019冠状病毒疾病的估计与历年的相似，与全球金融危机和COVID-19流行病有关。这正是我们所期望的，如果相关结构是时变的，但通常以一种相对缓慢的方式演化。有趣的是，能源和公用事业这两个行业存在很大程度的剩余相关性，在考虑了其他行业的所有股票后，这些相关性仍然无法解释。这些结果与图1导言中给出的结果相同。块结构大大简化了这种偏相关的计算。

这些公式在网络附录中给出。图3：按日历年（2015-2020年）划分的部门区块相关矩阵的偏相关。部门。这表明这些行业需要一个行业特定的因素来解释它们的相关性结构。偏相关分析的一个潜在有趣的应用是，用一组“因素”扩展资产集，例如三个Fama-French因素和其他候选因素。计算偏相关（条件取决于因子）可用于确定因子未解释的相关结构。我们将此留作将来的研究。（a） 能源和公用事业部门存量的相关性和偏相关性（b）贝叶斯信息准则（BIC）图4：所有日历年的一些选定实证结果。图4显示了所有26个日历年的选定结果。在上面板（a）中，我们展示了基于扇形区块结构的能源和公用事业资产之间的估计相关性（左）和偏相关性（右）。阴影区域表示基于所有资产的等相关性结构的平均相关性和平均偏相关性。图4显示，相关性一直呈上升趋势，这两个部门之间的相关性也有很大差异。偏相关是有趣的，因为它们表明能源和公用事业这两个部门具有很大的特质成分，因为这两个部门中任何一个部门的股票之间的相关性中有很大一部分是其他部门成千上万的股票无法解释的。在图4的下面板（b）中，我们展示了每个日历年和每个区块结构的BIC。

在2000年之前，BIC总是选择基于扇区的块结构，而在2000年之后，它系统地支持基于组的块结构。基于子行业的最重参数化规范的BIC在所有日历年中最差。6.结论：我们导出了块矩阵的标准表示。该表示法为具有块矩阵的模型提供了有价值的简化，例如用于大型网络的随机块模型，以及具有块协方差和块相关矩阵的模型。我们推导了一些表达式，这些表达式大大简化了带块协方差/相关矩阵的高斯对数似然函数的计算。我们在一个实证应用中说明了这一点，在该应用中，我们估计了一个包含数千项资产的向量的大型协方差矩阵，并且在一个日历年内每天都有回报。一旦采用了块结构，就可以直接求出协方差矩阵的逆、计算偏相关和评估高斯对数似然。正则化表示和相关结果对于正则化高斯协方差矩阵可能是有用的。例如，可以将样本相关矩阵缩小到块相关矩阵，类似于Ledoit和Wolf（2004）提出的用MacGyver方法缩小到等相关矩阵的方法，另见Engle（2009）。这可能扩展到收缩，涉及几个块相关矩阵的凸组合。规范表示也为测试协方差矩阵和相关矩阵中的块结构铺平了新的道路。这主要相当于测试规范表示中的大量零限制。

我们确定了许多保留块结构的变换，因此块结构的测试可以基于任何变换，而不是原始矩阵。例如，correlationmatrix C中的块结构将在log C的规范表示上进行测试。这可能很有趣，因为对数变换的相关矩阵和Fisher变换之间的联系，请参见Archakov和Hansen（2021a）。最后，在许多实证应用中，组分配以及K都是未知的。因此，文献提出了各种分类方法，以确定合适的区块结构。规范表示法可能对这类分类问题有用。定理1证明的附录。对于k6=l，如果akl=bkl，我们有B[k，l]=aklP[k，l]√因为P[k，l]的元素都等于√nknl。对于k=l，对角线元素与o fff-对角线元素的区别在于λk=dk- 所以B[k，k]=bkknkP[k，k]+（dk）- 墨水。因为墨水=P[k，k]+P⊥[k，k]，我们有B[k，k]=（bkknk+dk）- bkk）P[k，k]+（dk- bkk）P⊥[k，k]=akkP[k，k]+λkP⊥[k，k]。通过验证QBQ等于（4）中的块对角矩阵，可以得到规范表示（4）。这源于标识：vnkP[k，l]vnl=1，vnkP[k，l]vnl⊥= 0，vnk⊥P[k，l]vnl⊥= 0，vnkP⊥[k，k]vnk=0，vnkP⊥[k，k]vnk⊥= 0和vnk⊥P⊥[k，k]vnk⊥= 墨水-事实上，QQ=In，所以Q-1=Q，因此B=qqq。这证明了（4）。推论1的证明。B的特征值和行列式的第一个结果紧随（4）之后。f（B）的结果，其中f表示矩阵的q次方、矩阵指数或矩阵对数，然后是f（B）=Qf（D）qan，并使用q中的结构，例如vnkvnl=P[k，l]和vnk⊥娱乐城⊥= P⊥[k，k]。这就完成了证明。定理2的证明。

自V0，tW0，tand Vk，tWk，t/（nk）- 1） 都是平稳的，且具有期望值A和λk的遍历性，它遵循遍历过程的大数定律。因此，A与λ一致，k=1，K、 因此，Q^DzxQp→ QDzxQ=∑zx。推论2的证明。根据定理1和推论1，将所有k设置为dk=1。一些表达式也可以直接验证。例如，可以验证C的表达式-1，注意C的对角块-1由（C）给出-1） [k，k]=KXm=1akmP[k，m]a#mkP[m，k]+（1）- ρkk）P⊥[k，k]1-ρkkP⊥[k，k]=KXm=1akma#mkP[k，k]+P⊥[k，k]=I，我们用a#mk表示a的元素-所以我们有pkm=1akma#mk=1。接下来，fork 6=m，我们有（C）-1） [k，l]=KXm=1akmP[k，m]a#mkP[m，l]+aklblP[k，l]P⊥[l，l]+bka#klP⊥[k，k]P[k，l]=KXm=1akma#mlP[k，l]=0，其中我们使用了P[k，m]P[m，l]=P[k，l]和PklP⊥[l，l]=P[k，l]（Isl）-对于k6=l，P[l，l]）=0，pkm=1akma#ml=0。这就完成了证明。定理3的证明。表达式（6）表明对数似然函数由两项组成：-2N“日志数据A+tr{A-1TXT=1Y0，tY0，t}#，和-2NKXk=1（nk- 1)对数λk+TPTt=1Yk，tYk，tnk-1λk.众所周知，X=arg minΘlog detΘ+tr{Θ-1X}，使得^A=TPTt=1Y0，tY0，t最大化第一项，并且^λk=TPTt=1Yk，tYk，tnk-1最大化第二项的元素。由于（A，λ，…，λK）仅仅是块协方差矩阵∑元素的重新参数化，因此∑=Q^DQis是∑的最大似然估计量。很容易验证这个结果在特殊情况下也是有效的，其中一个或多个块是一维的。在这种情况下，σkk是未定义的，^λk也是未定义的，而σkis是从A的相应对角线元素中识别出来的，因为当nk=1时，^akk=σk。推论3的证明。

定义样本协方差矩阵，S={sij}ni，j=1=TPTt=1XtXt，ηi=qsi/σi，其中si≡ Siis Xi，t，i=1，…，的样本方差，n、 接下来用元素srij=sij定义矩阵R和M√siisjj，mij=sijσiσj=rijηiηj，i，j=1，n、 分别。设R[k，l]和M[k，l]分别是R和M的nk×nl子矩阵，对应于（k，l）-th块，并设η[k]={ηi∈Ik}是η的子向量，元素与第k块相关。对数似然函数与，-T`（∑）=log |∑|+TTXt=1Xt∑-1Xt=nXj=1logσj+log | C |+tr{C-1M}，其中tr{C-1M}=tr{QC-1QQMQ}，=tr{A-1V（η）}+KXk=1λktr{M[k，k]（I）- vnkvnk）}=tr{A-1V（η）}+KXk=1λk（η[k]η[k]- [V（η）]k，k），其中[V（η）]k，l=√nknlη[k]R[k，l]η[l]。因此，对数似然可以表示为-T`（η，A，λ）∝ -nXi=1logηi+log | A |+tr{A-1V（η）}，+KXk=1（nk- 1） 对数λk+η[k]η[k]- [V（η）]k，kλk.下一个＠A（η）=V（η）=arg maxAlog |A |+tr{A-1V（η）},λk（η）=η[k]η[k]- [V（η）]k，knk- 1=arg最大值（nk- 1） 对数λk+η[k]η[k]- [V（η）]k，kλk！，但是A（η）和λk（η），k=1，K、 不需要满足它们的交叉限制，根据定理1（集合dk=1），交叉限制由λK=nk给出- akknk- 1，k=1，K.然而，由此得出，对数似然是有界的-T`（η，A，λ）≤ -T`（η，~A（η），~λ（η）），如果我们定义δk=qη[k]η[k]/nk和＠η[k]=δ-1kη[k]，它的∧η[k]~η[k]=nk，然后-T`（η，~A（η），~λ（η））等于-T`（η，δ，A（η），λ（η））∝ -Xknklogδk-nXi=1log＠ηi+Xklogδk+log | V（＠η）|+Xk（nk- 1） 对数δkη[k]η[k]- [V（~η）]k，knk- 1!= -nXi=1log)ηi+log |V（)η）|+Xk（nk）- 1） 对数η[k]~η[k]- [V（~η）]k，knk- 1.方便地说，这个表达式不依赖于δ，因此，`（ιη，δ，ιA（η），ιλ（η））=`（ιη，ιK，ιA（ιη），ιλ（ιη）），其中ιK=（1，…，1）∈ 如果我们对所有的k设置δk=1，那么交叉限制是∧k（η）=（nk）- [V（η）]k，k）/（nk- 1） 交叉限制也得到了满足。

所以，在不损失一般性的情况下，我们可以假设η[k]η[k]=nk，对于所有的k（δk=1），其结果是^ρk=1-^λk=1-nk- [V（η）]k，knk- 1=[V（η）]k，k- 1nk- 1=nkη[k]R[k，k]η[k]- 1nk- 1=η[k]（R[k，k]- Ik）η[k]nk（nk- 1） ，其中，我们在最后一个恒等式中使用η[k]η[k]=nk。这表明，^ρkis是第k对角块中经验相关性的加权平均值，在η[k]=ιnk的特殊情况下，加权相等。剩下的优化问题是最大化集中对数似然，当η[k]η[k]=nk时，当k=1，K、 式中f（η）=-nXi=1logηi+log | V（η）|+Xk（nk- 1） log1+η[k]（R[k，k]- Ik）η[k]nk（nk- 1)!.让^η表示这个问题的解，那么^σi=^ηisi是σi的最大似然估计，i=1，N注意f（η）\'-nXi=1logηi+log | V（η）|+Xk（nk- 1） η[k]（R[k，k]- Ik）η[k]nk（nk- 1).= -nXi=1logηi+log | V（η）|+Xkη[k]（R[k，k]-Ik）η[k]nk=-nXi=1logηi+log | V（η）|+tr{V（η）}- K.命题1的证明。回想一下akk=σk+（nk- 1） σkk，akl=σkl√对于k6=l，λk=σk- σkk。因此（记录数据A+yA）-1y）akl=tr{A-1（埃克尔）（一）- A.-1yy）=el（I）- A.-1yy）A-1ek=Ml，k，其中M=A-1.- A.-1yyA-1.从表达式（6）中，我们发现(-2`)σk=（记录数据A+yA）-1y）akk+（nk）-1λk-ykλk）=Mk，k+（nk-1λk-ykλk）(-2`)σkk=（nk）- 1)（记录数据A+yA）-1y）akk-nk-1λk-ykλk= nkMk，k-(-2`)σk，对于k6=l，我们发现(-2`)σkl=√nknl（记录数据A+yA）-1y）akl+（记录数据A+yA）-1y）alk！=2.√nknlMk，l，这里我们用M是对称的。参考文献Archakov，I.和Hansen，P.R.（2021a），“相关矩阵的新参数化”，经济计量学891699–1715。Archakov，I.和Hansen，P.R.（2021b），“块矩阵的标准表示及其对协方差和相关矩阵的应用”的网络附录，网络附录。I.阿奇科夫、P.R.汉森和A.伦德。

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