企业网络中的失衡动态与过度波动

如果圆锥内的稳定矩阵对应的线性动力学保持不变，这意味着圆锥内开始的任何轨迹都将始终包含在圆锥内，那么动力学就变得微不足道。另一方面，当情况并非如此时，轨迹可能会切换回来，正如第四节B中概述的一般时间线框架所示，这是其他ABM的共同特征，例如Mark-0 Gualdi等人（2015b），或del Rio Chanona等人（2020）最近开发的ABM。HHWCCWDDN，wD{1}D{1}，wD{2}，wD{2}非良好1生产和良好1生产和良好2缺料。4：二维空间示意图的圆锥体分离示例。黑色实线表示超平面H1,2，w分离短缺/无短缺圆锥体，它们与圆锥体向量c1,2，w正交。阴影区域表示可能短缺的不同圆锥体以及相关的稳定性矩阵。请注意，对于给定的向量配置，矩阵dn和D0，wc不存在。在不同的锥体之间，它将因此用稳定性矩阵的乘积来描述。为了得出系统整体稳定性的结论，最需要研究的就是这个产品。这可能会导致相当复杂的轨迹，例如，两个不同的圆锥具有稳定性矩阵，因此从一个圆锥开始的轨迹不可避免地会在另一个圆锥结束，反之亦然，从而导致伪振荡，从长远来看，伪振荡是稳定的。据我们所知，在一般情况下，解释这些有趣的锥形线性动力学所需的数学工具是不可用的。C.相图和动力学分类对于每一组参数值（α，ω，σ，ε），我们从相对大小δ=10的平衡的随机扰动开始-3.采取行动。

pi（t）=peq，i（1+δu），u均匀分布在[-1, 1].然后，我们运行dynamics for T=20000时间步，只考虑最后2500个时间步，将轨迹分为以下几类。我们将使用相对价格差异δp（t）：=p（t）/peq，i的轨迹来分类我们模型的行为- 1.为了对其中一些动力学类型提供更生动的说明，我们对参数α和σ的值进行了轻微的非均匀性验证。在下面的图中，符号ασ∈[A，B]表示这些数量在[A，B]中统一选择，独立于每家公司。最后，对于下面报告的所有价格轨迹，我们随机强调一家公司，以使时间序列更具可读性。一般来说，我们观察到五类行为（或“阶段”）：趋同于竞争均衡、趋同于非竞争均衡、危机、商业周期样振荡或混沌振荡和经济当ε<0且无法定义竞争均衡时，我们从价格和生产的1到2之间的随机初始条件开始。在每个阶段，产量的轨迹在质量上是相似的，不同的是，正如预期的那样，高价格对应于生产波谷，反之亦然。崩溃，经济在若干时间步后崩溃。图5显示了与该分类对应的不同相图，ε在[100,1,0,01，-5] 这些阶段的研究和描述将在以下章节中详细说明。注意，相图的边界取决于相互作用网络，尤其是ε→ 0.如果ε 1，那么生产力因素非常大，网络效应可以安全地忽略。然而，作为ε→ 0,0.00.20.40.60.81.0σε=100ε=1压缩。eq.Def。

情商危机。0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6α0.00.20.40.60.81.0σε = 0.010.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6αε = -5.集会。eq.Def。情商危机。图5：平面恢复力、易腐性（即（α，σ））的相图，均为相同的网络经济，ω=0.1和不同的ε值。图例中解释了颜色代码。当ε减小时，竞争平衡状态稳定的区域缩小，当ε<0时，随着波动平衡和循环/混沌的接管，竞争平衡状态稳定的区域消失。人们也会观察到有周期、混乱和危机的地区。最后，当恢复力变弱（小α）时，经济崩溃。这些网络效应变得越来越重要，特定类型的网络将发挥作用。因此，本节中选择的regularnetwork仅用于说明模型可以生成的不同类别的动力学轨迹。但这些类实际上是通用的，出现在广泛的网络家族中，是企业遵循的一系列非线性更新规则。在深入研究每一类的描述之前，我们特别注意到（见图5）：o所有不同的类都出现在统一阶参数α、ω、σ、ε的值上，也就是说：有趣的动态行为不需要参数的奇异值当经济接近不稳定ε时，达到竞争均衡的区域缩小→ 0从上面。

当ε<0时，不存在容许平衡，只能获得波动平衡或循环/混沌对于固定的易腐性σ，随着恢复参数α的增加，人们观察到以下阶段的连续性：当α太小时崩溃，然后是波动平衡，然后是竞争平衡，最后是大α的循环和混沌，对应于对不平衡过度反应的企业在竞争均衡和周期与混沌之间的边界，人们观察到间歇性危机，类似于Gualdi等人（2015b，2016）中描述的危机——见下文。1.经济崩溃从α=0开始，并增加其价值，该模型首先发现自己处于崩溃阶段，价格指数出现差异，产量骤降至零。随着α的增长，我们达到了一个临界值α，这与从崩溃阶段过渡到经济能够稳定的阶段有关（无论是在竞争失衡阶段）。从图5可以看出，这种转变似乎与ε和σ无关。α依赖ε这一事实意味着，无论企业网络的性质如何，当价格调整太慢时，经济就会崩溃。图5中αcin的精确值可以计算为：αc=ωββ（V.4）（即，每当α=α=β=β时，αc=ω），其中ω是与工资和失业相关的菲利普斯曲线参数（见等式（IV.10））。该值是通过对系统的稳定性矩阵进行对角化而得到的，在无短缺锥δSi（t）中-δDi（t）>0，适用于所有i型企业（见第V B节），它们在准线性动力学下是稳定的。这种崩塌转变也可以沿下图12中右图的对角线ω=α观察到。（然而，请注意，对于小ω，会出现另一个经济差异的楔形，这将在vf2中讨论。）2.

竞争均衡人们可以预期的最自然的行为是经济收敛到竞争均衡，正如经济学模型中的经典假设那样，所有利润为零，市场清晰。这确实发生了，但有趣的是，它要求α既不太小，也不太大，即当恢复力足够强大以稳定系统，但又不太强大以避免过度调整，以及相应的经济不可能协调时。易腐性σ也应足够大，见图5。最后，随着规模回报率的降低（即参数b的降低），可以实现竞争平衡的区域变得更加广阔（参见下面的图8）。精确计算相当冗长，超出了本文的范围。0 200 400 600 800 10000.02.5δp（t）×10-60 200 400 600 800 100005δp（t）×10-60 50 100 150 200 250t0。00.51.0δp（t）×10-5图。6：在δ=10量级的扰动后，向竞争平衡的松弛-3适用于各种企业。顶部：ε=10，ω=ω=0.1，α=α=β=β的指数松弛∈ [0.3,0.35]和σ∈ [0.5, 0.6]. 中间：ε=1，ω=ω=0.1，α=α=β=β的阻尼振荡∈ [0.4,0.45]和σ∈ [0.2, 0.6]. 底部：ε=100，ω=ω=0.1，α=α=β=β的阻尼混沌振荡∈ [0.25,0.3]和σ∈ [0.2, 0.6]. 暗线是对随机选取的一个最终结果的响应，为了给达到竞争平衡的阶段赋予一些经济意义，让我们关注ε=1的情况，即中等平均生产率的企业网络，相对远离霍金斯-西蒙斯不稳定性。选择模型的单位时间尺度为四分之一（3个月），这是企业调整价格和产量的合理期限。当α<αd（ε=1）时，无法达到竞争平衡≈ 0.395.

这样的α值意味着，面临10%的生产不平衡的企业将试图将其降低到10%×e-0.395≈ 下一个季度为6.7%。试图更快地减少它会导致振荡和混乱。例如，当σ=log2时≈ 0.69，对应于四分之一商品的半衰期，α应保持小于≈ 0.55以避免落入图5中的黄色区域。注意，当σ下降到以下≈ 0.3，竞争均衡是不可能实现的。进一步注意，在竞争平衡阶段，收敛可以是纯指数的，也可以对应于阻尼振荡，甚至阻尼混沌，见图6。弛豫的精确性质取决于α、α、β和β的相对值。有趣的是，即使对于非零值ε，也可能出现边缘稳定性和发散弛豫时间。事实上，随着我们越来越接近过渡线αd() 在竞争均衡和非竞争均衡之间，收敛所需的时间与朴素模型中的相同方式变得更大。举个例子，如果我们取ε→ ∞, 结果αd=式（V.4）给出的αcas。如果我们现在用δ设置α=αc+δ αc，不难证明最大特征值为1- δ/（3（1+ω））+O（δ）。弛豫时间为δ级-1事实上，与朴素模型中的稳定化过渡相比，两者之间存在差异。同样的标度δ-1当α=αd（ε）+δ时，对于ε的一般值，松弛时间保持不变。最后，请注意，在固定的σ下，可以达到竞争平衡的区间缩小到零，即]αd（ε），αd（ε）+f（ε）[和f（ε）→ 0为ε→ 更准确地说，数值模拟显示有500 1000 1500 2000 2500 3000t0。00.51.01.52.0δp（t）×105图。7：ε=1且生产率系数不均匀的波动平衡示例。

请注意，我们在这里展示了实际价格（由工资决定），它达到了比均衡时高出10%的不合理值。我们在这里选择ω=ω=0.1，α=α=β=β∈ [0.25,0.3]和σ=0.6。暗线对应一家随机挑选的公司。存在一个值εc（取决于σ、b和ω），使得f（ε）=（0，对于ε）≤ εcr（ε- εc），对于ε→ ε+c，（V.5），其中r=f（ε+c）。通过与上述相同的论证，弛豫时间将按f（ε）进行缩放-1.~ 1/(ε - εc）和Wertrieve与naive模型中的行为相同。3.偏差均衡我们模型的一个有趣特征是出现了不同类型的均衡，对应于利润和超额需求非零但等于常量的平稳点。我们称之为“非理性”均衡，因为价格与长期失业（即Ls>Ld）导致的年龄向下演变所确定的（负）通胀率同步。我们用π表示∞土地∞在静止状态下，利润和过剩供应的重新标度值。然后必须验证（见等式（IV.1，IV.9））：α¨E∞i+α′π∞i=ωLs，∞- 劳埃德，∞Ls，∞+ 劳埃德，∞（>0），βE∞[Ei]=βE∞[°πi]。（V.6）在（IV.20）中λ=1的当前情况下，也有E∞[Ei]=“E”∞iso one可以简化这些方程，得到αβE∞[\'\'πi]+αβ\'\'π∞i=ωβLs，∞- 劳埃德，∞Ls，∞+ 劳工处，∞（>0），\'E∞i=βE∞[°πi]。（V.7）与独立于动力学参数α、α、β、β的竞争均衡相比，竞争均衡的特点是价格和生产水平取决于动力学参数化。然而，固定价格/产量的显式表达式很难进行分析计算。图7显示了经通胀调整的价格向其固定值趋同的示例。请注意，在实际情况下，固定价格水平高于均衡值。通过我们的模拟，我们发现这些平衡相当稳定。

对于ω的固定值，在αd（ε）的值处发生了平衡态和竞争平衡态之间的转变，这很难用解析方法计算。然而，我们仍然可以找到这个转变。60.70.80.91.0R（λ）-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.100.150.20I（λ）α<αd（ε）α>αd（ε）稳定等式10-310-210-1100101102103ε0.00.10.20.30.40.5αd（ε）崩塌均衡竞争均衡b=0,95b=0,9αcFIG。8：左：无短缺锥中ε=10的稳定性矩阵的特征值λ，其中δSi（t）-对于所有i，δDi（t）>0。这里，σ=∞, α = α= β = β∈ {0.12,0.25}和ω=0.1。对于αc<α<αd（ε），竞争平衡是不稳定的，非线性动力学收敛到一个自由平衡。右图：α是ε的函数（x轴上的对数标度），用于返回标度参数b的不同值。水平虚线对应于αc=0.1，与ε无关。标记区域对应于图5中b=0.95的不同阶段。随着b的增加，我们可以看到αd（ε）以下的区域趋于减少，即竞争平衡区域变得更大。如脚注17所述，规模回报率的降低往往会稳定动态。注意，αd（ε=100）、αd（ε=10）和αd（ε=1）的值与图5的相位图上观察到的值一致，其中b=0.95。最后，作为ε→ 从图5中可以看出，存在这种转变的最小σ变得更大。因此，对于小ε，标记为“竞争平衡”的区域仅存在于足够大的σ。通过数值模拟上一小节中提到的无短缺锥中的稳定性矩阵。结果如图所示。

8.然而，从长远来看，这些偏差均衡没有什么经济意义，因为（a）与均衡值相比，固定的生产水平往往非常小，（b）对消费（家庭）和利润（企业）的预测系统性地超过了它们的实际值。人们预计，在这种情况下，比如经济崩溃的情况下，货币和金融政策的影响不可忽视。此外，我们预计，当偏见强烈且系统化时，代理人将很快适应并相应地改变他们的预测规则。然而，这种扩展超出了本文的范围，但自然的结论是，企业会对不平衡做出更强烈的反应（即增加系数α、α、β、β），这将使系统回到竞争平衡阶段或振荡阶段。最后，我们指出，在模型的当前规范中，我们没有发现劳动力需求超过供给的均衡。然而，我们发现，引入预防性储蓄用于购买支付利率的债券会导致新的现象，包括现在发现了通货膨胀均衡的整个地区。4.振荡动力学由于定义模型的强非线性动力学，很自然地，我们会期望一些参数的选择——就像在一般动力学系统中一样——导致振荡或混沌动力学，简言之，这确实是我们在整个参数空间区域中观察到的，当企业在面对不平衡时往往反应过度，调整价格/产量过快。第一个有趣的振荡行为是自发出现的商业周期，如图9所示。它们可以是同步的（图9-a）或完全不同步的（图9-a）。

9-b），取决于ω0 20 40 60 80 1000.00.1δp（t）0 25 50 75 100 125 150 175 20001δp（t）0 50 100 150 200 250 300 350 400t0的值。00.5δp（t）图9：在δ=10的初始扰动后，围绕平衡点的不同类型的价格（或生产）振荡-3.脱离平衡。顶部：ε=100，ω=ω=0.05，α=α=β=β的同步商业周期∈ [0.2, 0.25], σ ∈ [0.1, 0.4]. 中间：ε=100，ω=ω=0.1，α=α=β的非同步振荡∈ [0.25, 0.4], σ=0.2; β= 1.3α. 底部：除ε=1和β=0.2α外，相同参数的混沌振荡。暗线对应于一家随机挑选的公司。ε，以及α和β的相对值。混沌振荡也会出现（见图9-c）。我们强调，在相图相当大的部分中观察到的这种持续振荡，并不是由于外部扰动造成的，这些模拟中没有外部扰动（与第三节D相比，在第三节D中，小型外部冲击因接近不稳定而扩大）。相反，这是相图中的一个区域，经济的波动性完全是内生的（类似观察见Bonart et al.（2014）。0 1000 2000 3000 4000 5000t0246δp（t）图10：ε=100，ω=ω=0.1，α=α=β=β=05，σ=∞.0 50 100 150 200 250 300 350 4000.00.51.0p（t）×1020 200 400 600 800 1000t345p（t）×101图。11：不稳定阶段不同的可能价格（或生产）动态ε=-5.对于价格和产品的初始条件，随机选择平衡值的1到2倍。顶部：ω=ω=0.01，α=α=β=β=0.45，σ=0.2的快速振荡。底部：ω=ω=0.02，α=α=β的反平衡∈ [0.4, 0.45], σ ∈ [0.2, 0.8]. 暗线对应于一家随机挑选的公司。这提供了另一个场景来解释Bernankeet al描述的“小冲击、大商业周期”难题。