具有多个协变量的长期预测区间

正如我们所见，前三个图之间的差异非常小，这意味着仅使用确定性回归，无论是否使用聚合天气数据，都无法防止评估期结束时的偏差。另一方面，如果我们使用分离的本地天气数据，可以实现显著的改善。0 5 10 150 10 20 30 40 50 60 A0 5 10 150 10 20 30 40 50 60 B0 5 10 150 10 30 40 50 60 C0 5 10 150 10 20 30 40 50 60 D图2：A）ADJ（无协变量），B）ADJ（含170个确定性协变量），C）ADJ（含170个确定性协变量）和2个聚合（跨站）天气序列，D）ADJ（含170个确定性协变量和151个分解天气序列。图3:A）稳健贝叶斯方法，B）指数平滑状态空间模型（A，N，N），带调整参数0.0446，C）神经网络自回归（38,22），带一个隐层D）ARMAX。对于C）和D）周末假人和聚合天气被用作外部协变量。最后，我们将与RBS、ETS、NAR和ARX表示的备选PI进行比较。图3给出了所有这些PI。在这四种方法中，只有YRBS给出了合理的PI。苏格兰皇家银行在整个17周的评估期内一直表现良好（图3A）。然而，与ADJ相比，PI似乎过于保守。因此，ADJ在覆盖范围适当的基础上提供了更高的精度。随着视界的增长，ETS的预测区间变得过于保守，无法提供ADJ的有效替代方案。NAR甚至比无协变量的ADJ更具偏差，尤其是对于大m。毫不奇怪，所有方法的ARX性能最好，可能是因为简单自回归隐含的指数向下加权太过温和。

此外，窄PI是忽略参数（以及其他类型的）不确定性的结果。7结论我们在回归框架中构建了基于分位数的预测区间。从理论角度来看，我们将Zhou等人（2010）的结果推广到了高维设置以及非线性误差过程的情况。我们展示了超高维情况对数p=o（n）的拟合残差的一致性。在固定或随机协变量过程的一些温和条件下，我们能够为固定残差的标准化平均值建立分位数一致性，从而为非参数简单分位数预测区间的理论有效性提供重要扩展。分位数法已针对短样本和长视距进行了额外调整，并成功应用于使用大量本地天气时间序列预测德国和奥地利的现货电价。结果表明，调整后的方法优于选定的常规方法和方法，如指数平滑、神经网络以及最近提出的低频方法（M¨ullerand Watson，2016）。关于未来的工作，一些有趣的扩展可以包括多变量目标序列和随后同时预测区间的构造。根据拉维夫等人（2015）的精神，此类同时间隔的应用可能包括同时预测每小时的现场电价。8数据可用性声明我们感谢斯特凡·费耶格尔（Stefan Feuerriegel）从他们的论文路德维希等人（2015）中提供数据，用于直接通信分析。9致谢我们感谢两位匿名推荐人和编辑，感谢他们的评论和更正，这些评论和更正极大地改善了本文的陈述。

第一和第三作者的部分资金分别来自NSF-DMS 2124222 NSF-DMS 1405410。参考文献Askanazi，R.，F.X.Diebold，F.Schorfeide和M.Shin（2018）。关于区间预测的比较。时间序列分析杂志39（6），953-965。Bansal，R.，D.Kiku和A.Yaron（2016）。长期风险：使用时间聚合进行估计。货币经济学杂志82，52-69。Belyaev，Y.（1968年）。K.关于avector随机过程在区域边界上的出口数，定理。Probab。应用13320-324。比克尔，P.J.，Y.Ritov和A.B.Tsybakov（2009）。Lassoa和Dantzig选择器的同时分析。安。统计学家。37 (4), 1705–1732.M.比尔鲍尔、C.梅恩、S.拉切夫和S.特鲁克（2007年）。eex电力市场的现货和衍生品定价。《银行与金融杂志》31（11），3462-3485。布罗克韦尔，P.J.，R.A.戴维斯和S.E.费恩伯格（1991年）。时间序列：理论与方法：理论与方法。斯普林格科学与商业媒体。Cartea，A.和M.Figureoa（2005年）。电力市场定价：具有季节性的均值回复跳变扩散模型。应用数学金融12（4），313–335。查特菲尔德，C.（1993年）。计算区间预测。商业与经济统计杂志11（2），121-135。Chud\'y，M.，S.Karmakar和W.B.Wu（2020年）。经济时间序列的长期预测区间。实证经济学58（1），191-222。克莱门茨，M.P.和N.泰勒（2003年）。评估高频金融数据的区间预测。应用计量经济学18445–456。克利夫兰，R.B.，W.S.克利夫兰，M.J.E.，和I.特彭宁（1990）。Stl：基于黄土的季节趋势分解程序。《政府统计杂志》6，3-73。封面，T.M.（1975）。信息论中的开放性问题。1975年，IEEE JointWorkshop on Information Theory，第35-36页。IEEE出版社。Dehling，H.，R.Fried，O.Shapirov，D.Vogel和M.Wornowizki（2013）。

相依过程部分和方差的估计。《统计学与概率论》83（1），141–147。Fryzlewicz，P.，T.Sapatinas和S.Subba Rao（2008年）。时变ARCH模型中的归一化最小二乘估计。安。统计学家。36 (2), 742–786.吉奥尔·菲林、W.H-ardle、P.Sarda和P.Vieu（2013年）。时间序列的非参数曲线估计，第60卷。斯普林格。Gyor Fi，L.，G.Lugosi和G.Morvai（1998年）。一种简单的随机算法，用于遍历时间序列的一致序列预测。Gyor Fi，L.和G.Ottucsak（2007年）。无界平稳时间序列的序列预测。IEEE信息论学报53（5），1866-1872年。汉南·E.（1979）。时间序列回归的中心极限定理。随机过程及其应用9（3），281-289。Huber，P.J.和E.M.Ronchetti（2009）。稳健统计（第二版）。威利·塞里森概率统计。约翰·威利父子公司，新泽西州霍博肯。胡尔曼，C.，F.拉瓦佐洛和C.周（2012）。天气的力量。计算统计与数据分析56（11），3793–3807。Hyndman，R.J.和G.Athanasopoulos（2013年）。预测：原则与实践。澳大利亚墨尔本。2017年12月12日访问。Hyndman，R.J.和S.Fan（2010）。长期峰值电力需求的密度预测。IEEE电力系统学报25（2），1142–1153。Hyndman，R.J.和Y.Khandakar（2008年）。自动时间序列预测：r.统计软件杂志27（1），1-22的预测包。Hyndman，R.J.，A.B.Koehler，J.K.Ord和R.D.Snyder（2008）。指数平滑预测：状态空间方法。柏林：施普林格·维拉格柏林海德堡。Karmakar，S.，S.Richter和W.B.Wu（2020+）。时变模型的同时推理。修订版，https://sayarkarmakar。github。io/publications/sayar1。pdf。Kitsul，Y.和J.Wright（2013年）。

期权的经济学隐含在通货膨胀概率密度函数中。《金融经济学杂志》110696-711。奈特尔、C.R.和M.R.罗伯茨（2005）。对电力价格的实证检验。能源经济学27（5），791-817。北卡罗来纳州路德维希、S.费里格尔和D.诺伊曼（2015年）。将大数据分析付诸实践：使用套索和随机森林预测电价的功能选择。决策系统杂志24（1），19-36。Lundbergh，S.，T.Ter–asvirta和D.van Dijk（2003）。时变平稳过渡自回归模型。商业与经济统计杂志21（1），104-121。Morvai，G.（2003）。猜测平稳二进制时间序列的输出。《统计推断信息》，第207-215页。斯普林格。Morvai，G.，S.Yakowitz，L.Gy–or Fi等人（1996年）。遍历平稳时间序列的非参数推断。《统计年鉴》24（1），370-379。Morvai，G.，S.J.Yakowitz和P.Algoet（1997年）。平稳时间序列的弱收敛非参数预测。IEEE信息论学报43（2），483–498。穆勒，U.和M.沃森（2016）。测量长期预测的不确定性。经济研究回顾83（4），1711-1740。纳加耶夫，S.V.（1979年）。独立随机变量和的大偏差。安。Probab。7 (5), 745–789.佩萨兰，M.H.，A.皮克和M.普拉诺维奇（2013年）。出现结构性断裂时的最佳预测。《计量经济学杂志》177（2），134–152。Politis，D.N.和J.P.Romano（1994年）。固定引导。美国统计协会杂志891303–1313。Pourahmadi，M.（2001年）。《时间序列分析和预测理论基础》，第379卷。约翰·威利父子公司。拉维夫·E.、K·E·布曼和D·范·迪克（2015）。预测日前电价：利用小时电价。能源经济学50227–239。里约，E.（2009）。

相依随机变量之和的矩不等式在欠投影条件下。理论概率杂志22（1），146-163。谢勒，S.J.和J.S.马伦（1990年）。核分位数估计器。美国统计协会杂志85410–416。斯塔里卡，C.（2003年）。加什（1，1）是否像诺贝尔奖所暗示的那样是一个好榜样？请致电SSRN 637322。泰勒，J.W.（2010）。预测具有多个季节周期的日内时间序列的指数加权方法。《国际预测杂志》26（4），627–646。韦伦，R.（2014）。电价预测：回顾最新技术并展望未来。《国际预测杂志》30（4），1030–1081。Weron，R.和A.Misiorek（2008）。预测现货电价：参数和半参数时间序列模型的比较。《国际预测杂志》24（4），744-763。能源预测。温克勒，R.L.（1972）。区间估计的决策论方法。美国统计协会杂志67（337），187-191。吴文波（2005a）。非线性系统理论：对依赖性的另一种看法。过程。纳特尔。阿卡德。Sci。美国102（40），14150–14154（电子版）。吴文波（2005b）。关于相依序列的样本分位数的Bahadur表示。安。统计学家。33 (4), 1934–1963.吴文波（2007）。具有相依误差的线性模型的M-估计。安。统计学家。35 (2), 495–521.吴文波和M.伍德罗夫（2004）。平稳过程和的鞅近似。安。Probab。32 (2), 1674–1690.Wu，W.B.和Y.N.Wu（2016）。具有相关误差的高维线性模型参数估计的性能界。电子《J.统计》第10（1），352-379页。张，D.和W.B.吴（2021）。高维局部平稳过程协方差和谱密度估计的收敛性。

《统计年鉴》49（1），233-254。周，Z.和WW.B.Wu（2009）。非平稳时间序列的局部线性分位数估计。安。统计学家。37（5B），2696-2729。周志强、徐志强和吴文波（2010）。时间序列的长期预测间隔。IEEE Trans。知会理论56（3），1436-1446。附录A:-一些有用的浓度不均匀性在整个过程中，我们使用以下投影算子的性质，该算子为一系列随机变量定义，适用于σ-场过滤FiPiY=E（Y | Fi）- E（Y | Fi）-1） ，Y∈ L.（9.1）特别是，一个允许从线性情况轻松转移到相应非线性情况的特殊不等式是kpiyjkp≤ δYi，p为δYi，p为（3.11）中定义的平均零平稳过程Yj的依赖性度量。类似的不平等也适用于我们在论文中定义的其他函数依赖性度量。为了证明这一点，感兴趣的读者可以看看吴（2005a）的开创性文本，其中正式引入了功能依赖性度量。除此之外，我们还反复使用了（9.1）中定义的投影算子Pide的正交性，即e（Pi（Xk）Pj（Xk））=0表示I6=j。有了这些工具，我们继续描述本文中的证明。设Sn，b=Pni=1biei。Wu和Wu（2016）仅提出并证明了结果9.1和9.2的轻尾版本。在这篇论述中，我们清楚地指出了长程和短程依赖的相应结果，以及轻尾或重尾情况下发生的新情况。这些结果可能具有独立的意义，因为这是文献中第一个考虑依赖下尾巴重量的结果。结果9.1。（线性过程的Nagaev不等式）假设误差过程允许表示（3.3）。

然后我们得到了Sn的以下浓度结果，b=Pni=1biei，-轻尾SRD:IfPj|aj|<∞ 和J∈ lq对于某些q>2，那么对于某些常数cq，P（|Sn，b |≥ 十）≤ （1+2/q）qkbkqq（Pj | aj |）qkKQXQ+2经验-cqxn（Pj | aj |）kk！，-轻尾LRD：如果K=Pj | aj |（1+j）β<∞ 对于0<β<1和J∈ Lq对于某些q>2，则对于某些常数C，仅依赖于q和β，P（| Sn，b |≥ 十）≤ CKQKBKQKNQ（1-β)KQXQ+2经验-Cxn3-2βkkK, （9.2）-重尾SRD:IfPj|aj|<∞ 和J∈ lq对于某些1<q≤ 2，那么，对于某个常数cqP（|Sn，b |≥ 十）≤ cqkbkqq（Pj | aj |）qkkqxq，（9.3）-重尾LRD：如果K=Pj | aj |（1+j）β<∞ 对于0<β<1和J∈ LQ对于某些q>2，则对于某些常数C，Cd仅对q和βP（|Sn，b |≥ 十）≤ CKQKBKQKNQ（1-β)kqxq。（9.4）定理3.1和定理3.2的证明在很大程度上依赖于（3.3）中的表示。因此，探索一种新的方法来证明非线性过程的模拟结果是非常重要的。结果9.2。（非线性过程的Nagaev不等式）假设。kq，α<∞ 对于某些α>0的情况，轻尾SRD:-假设ke。kq，α<∞ 其中q>2，α>0，pni=1bi=n，设rn=1（分别为对数n）1+2qor nq/2-1.-αq）如果α>1/2- 1/q（分别为α=0或α<1/2- 1/q）。然后对于所有x>0，对于仅依赖于q和α的常数C，C，ct，P（|Sn，b |≥ 十）≤ Crn（Pj | bj |）qke。kqq，αxq+Cexp-Cxnke。k2，α, （9.5）-重尾SRD:-假设。kq，α<∞ 其中1<q<2，α>0，Pni=1bi=n。设rn=1（分别为对数n）1+2qor nq/2-1.-αq）如果α>1/2- 1/q（分别为α=0或α<1/2-1/q）。然后对于所有x>0，对于仅依赖于yq和α的常数Ct，P（|Sn，b |≥ 十）≤ Crn（Pj | bj |）qke。kqq，αxq。（9.6）结果9.1和9.2的证明草图。

这些证明中省略了细节，因为这些步骤与Wu和Wu（2016）中定理1和定理2的步骤类似。简而言之，基本策略在于使用以下分解Sn，b=Sn，b，0+（Sn，b- Sn，b，n）+dlog n/log2）eXl=1nXk=1bk（ek，min（n，2l）- ek，2l-1） 式中，ei，τ=E（ei|我-τ, . . . , i） Sn，b，m=Pnk=1bkek，m。通过这种分解，第一项中的和是独立的，因此可以应用Nagaev（1979）推论1.7中的Nagaev不等式。对于第二项，使用了Burkholder不等式和H¨older不等式，而对于第三项，由于2l依赖，我们将求和分为独立的奇偶部分，并再次使用Nagaev（1979）的推论1.7。对于重尾场景，请注意，出于空间的考虑，轻尾场景的指数项不是单独呈现的，因为人们只需要使用推论1.6，而不是Nagaev（1979）的推论1.7。第4节中套索拟合残差分位数一致性结果的证明需要以下重要结果。引理9.3。假设限制特征值条件（4.2）中的κ如定理4.1所示。然后在事件A=Tpj=1{2 | Vj |≤ r} 其中Vj=nPni=1eixij，我们有kX（β）- β） k/n≤ 16sr/κ，k^β- βk≤ 4sr/κ。（9.7）引理9.3的证明。由于^β最小化（2.6）中的套索目标，插入yi=xTiβ+ei和λ=2r，我们有2rk^βk+nnXi=1（xTiβ+ei）- xTi^β）≤ 2rkβk+nnXi=1ei2rk^βk+kX（^β- β） k/n≤ 2rkβk+2eTX（^β- β） /nrk^β- βk+kX（^β）- β） k/n≤ 2r（kβk）- |βk）+rkβ- βk+2eTX（^β- β） 在事件{| Vj |=|（eTX）j |/n上≤ 所有j}rk^β的r/2- βk+kX（^β）- β） k/n≤ 4rk^βJ- βJk≤ 4r√sk^βJ- βJk，（9.8），其中J={J:βj6=0}∈ Jc，|βj- βj |+|β| j- |^β| j=0。然而，还要注意的是，从（9.8）中的第一个不平等中，我们得到了k^βJc-βJck≤ 3k^βJ-βJk。因此通过（4.2），κk^βJ- βJk≤ kX（β）- β） k/√N

将其代入（9.8）后，第一个不等式立即得到（9.7），而第二个不等式是通过平方完成推导出来的。引理9.4。回想一下在定理4.2中定义的依赖性调整和维度合并功能依赖性度量。假设Φq，α<∞ forsome q≥ 1和α>0。对于固定δ>0，假设p，n→ ∞ 对于2CαΦ4，αslog p<nδ。然后，P（|XTX/n）- E（XTT）|∞> δ/秒）→ 0.引理9.4的证明。我们通过应用Hansen-Wright不等式证明了这一点，如Zhang和Wu（2021）在二次型上提出的那样。虽然他们证明了它是一个更一般的局部平稳过程，并相应地定义了它们的函数依赖度量，但它也适用于定理4.2中定义的更简单（不考虑局部平稳性）的函数依赖度量。将张和吴（2021）中的定理6.4应用于B=0，x=nδ/s，at=1，得到p（|XTX）- 东北（XTT）|∞> nδ/s）≤ Cpexp-nδsCαΦ4，α由于我们假设p，s和n是如何相互缩放的，所以会变成0。10附录B：定理3.3的定理证明。m-依赖近似是非线性情况下预测的关键思想，kE（~Sm | F）- E（Sm | F）k≤ kSm-~Smk≤ m1/2Θm，p m1/2/（对数m）5/2，其中Sm=Pmi=1ei=Pmi=1E（ei|我我-m） 。注意下面的分解（~Sm | F）=Xj=-mPjSm=Xj=-∞（E（~Sm | Fj）- E（~Sm | Fj）-1)).然后，kPjeik证明了收敛的充分条件（3.1）≤δi-j、 2和关于Θm，p的条件。对于其余的证明，我们引入了一些符号。定义Yi=H-1miXj=i-对于i=m，m+1，（10.1）并让<<子>>一- E（~Yi | Fi）-1). 定义F*n（x）=n- m+1nXi=mP（~Yi）≤ x） 。设F（x）=P（~Yi）≤ x） 。设∧Fn（x）表示∧Yi的经验分布函数，i=m。n、 我们使用以下分解：~Fn（x）-~F（x）=Mn（x）+Nn（x）（10.2），其中Mn（x）=~Fn（x）-~F*n（x）和Nn（x）=F*n（x）-~F（x）。