从化石燃料汽车到电动汽车的最佳转换

我们从最相关的案例开始，其中limx→x(lx+λc）<ρ（I）- k） <limx→x(lx+λc）。正如我们已经讨论过的ed，从x 7开始→ lx+λc在增加，我们期望最优切换规则为τ的形式*= inf{t≥ 0:Xxt≥ 十、*}, 为了一些x*∈ 我被找到了。该猜测得出（B.1）bU（x）给出的候选值函数bU：=(我- K-bV（x）*)Ex公司E-rτ*, 对于x<x*,我- K-bV（x）代表x≥ 十、*.利用Ex的概率表示E-rτ*和（A.8）一样，我们可以写（B.2）bU（x）=(我- K-bV（x）*)ψρ（x）ψρ（x）*), 对于x<x*,我- K-bV（x）代表x≥ 十、*.注意bu在x处已经是连续的*通过建设。为了确定acandidate的阈值x*, 我们认为BU是Cat x=x*; i、 e.bU′（x）*-) =bU′（x）*+), 这反过来又会导致-我- K-bV（x）*)ψ′ρ（x）*) +我- K-bV′（十）*) ψρ（x）*) = 0.将后者除以S′（x）（参见（A.1））我们得出（B.3）我- K-bV′（十）*) ψρ（x）*)S′（x）*)-我- K-bV（x）*)ψ′ρ（x）*)S′（x）*)= 0.让A:我→ R为（B.4）A（x）：=ψρ（x）我- K-bV′（十）-我- K-bV（x）ψ′ρ（x）S′（x）我们知道（B.3）等价于A（x）*) = 利用S′解（LXS′）（x）=0和ψρ解（A.3）的事实，一些代数表明A′（x）=ψρ（x）m′（x）（LX）- ρ)我- K-bV（x） 。多亏了（2.13），我们才有了这个极限→xA（x）=0；根据微积分的基本理论，对于任何x∈ 一、 我们有（B.5）A（x）=Zxxψρ（y）m′（y）（LX）- ρ)我- K-bV（y） dy.电动汽车的最佳采用21（LX）- ρ） bV（x）=-(lx+λc），我们可以从（B.5）（B.6）A（x）=Zxxψρ（y）m′（y）写出(-ρ（I）- k） +ly+λc）dy，x∈ 因为它必须是A（x）*) = 然后我们得到x的方程*（B.7）Zx*xψρ（y）m′（y）(-ρ（I）- k） +ly+λc）dy=0。第二步。我们现在证明存在一个唯一的x*解（B.7），使x*> ^x与^x：=l（ρ（I）- （k）- λc）。参考（B.6），观察A（^x）<0，因为y 7→ (-ρ（I）- k） +lx+λc）是递增的，在^x中为空。

再次使用（B.6）一个findsa′（x）=ψρ（x）m′（x）(-ρ（I）- k） +l我们观察到A′（x）>0x>^x和A′（x）<0此外，给定x>x+δ，对于某些δ>0，积分中值定理和（B.5）给出了某些ξ∈ （^x+δ，x）A（x）=Zxxψρ（y）m′（y）(-ρ（I）- k） +ly+λc）dy=Z^x+δxψρ（y）m′（y）(-ρ（I）- k） +ly+λc）dy+Zx^x+Δψρ（y）m′（y）(-ρ（I）- k） +ly+λc）dy=Z^x+δxψρ（y）m′（y）(-ρ（I）- k） +lY- λc）dy+-ρ（I）- k） +lξ+λcρZx^x+Δρψρ（y）m′（y）dy=Z^x+Δxψρ（y）m′（y）(-ρ（I）- k） +ly+λc）dy+-ρ（I）- k） +lξ+λcρψ′ρ（x）S′（x）-ψ′ρ（^x+δ）S′（^x+δ）.自从-ρ（I）- （k）+l （^x+δ）+λc>0和limx↑xψ′ρ（x）S′（x）=+∞, 我们有那个边缘↑xA（x）=+∞. 这个事实，连同A（^x）<0和A′（x）>0x>^x，导致唯一x的存在*> ^x使得A（x*) = 0; 也就是说，令人满意（B.6）。第三步。我们现在证明（2.14）的C-函数bu是这样的（a）（LX）- ρ） bU（x）=0在x<x时*和（b）bU（x）=I- K-bV（x）在x上≥ 十、*,以及（c）bU（x）≤ 我- K-bV（x）x<x*,（d） （LX）- ρ） bU（x）≥ 0x>x*.由于上述（a）和（b）已通过施工验证，因此仍需证明（c）和（d）。（c）的证明。给出（2.14）就足以证明（B.8）I- K-bV（x）*)ψρ（x）*)≤我- K-bV（x）ψρ（x），x<x*.首先，我们注意到x*是这样的（B.9）ddyI- K-bV（y）ψρ（y）！y=x*= 022法尔博、法拉利、里兹尼、施梅克贝卡塞迪- K-bVψρ（y）！y=x*=我- K-bV′（y） ψρ（y）-我- K-bV（y） ψ′ρ（y）（ψρ（y））y=x*= A（y）·W·S′（y）（ψρ（y））y=x*= 0，由于（B.9）。

此外，根据（B.5），ddyI- K-bVψρ！（y）y=x*=“A（y）·W·S′（y）（ψρ（y））！′+A′（y）·W·S′（y）（ψρ（y））#y=x*.现在，由于A（x*) = 0，再次使用（B.5）和x*> ^x我们有- K-bVψρ！（y）y=x*= A′（x）*) ·W·S′（x）*)（ψρ（x）*))=W·S′（x）*)（ψρ（x）*))·ddyZyxψρ（z）m′（z）(-ρ（I）- k） +lz+λc）dzy=x*= ψρ（x）*) m′（x）*) (-ρ（I）- k） +l十、*+ λc）>0。这证明了-K-bV（x）ψρ（x）在x=x时达到最小值*从而得出（B.8）。证明（d）。对于任何x>x*我们有（LX）- ρ） bU（x）=（LX）- ρ)我- K-bV（x） =-ρ（I）- k） +lx+λc>0，其中在第二个等式中，我们使用（LX- ρ） bV（x）=-(l对于最后一个不等式，我们使用了*> ^x.第4步。Bu和τ最优性的最终验证*= inf{t≥ 0:Xxt≥ 十、*}接下来是It^o公式的标准应用（直到本地化参数）和上述不等式（a）-（d）的使用。我们参考[33]了解相关设置中的证明。第五步。bu=0和bu=I这一事实的证明-K-在另外两种情况下，通过注意V（x）=infτ，bV很容易跟随≥0ExRτe-ρt(lXt+λc- ρ（I）- k） ）dt+ （一）- k） 和（2.8）。感谢作者感谢ARPA Lombardia、ARPA Veneto、ARPA Emilia Romagna eARPA Piemonte提供了当日预警数据。这项工作是从一开始的。里兹尼当时正在参观比勒菲尔德大学，在G.法拉利和M.D.施梅克的监督下工作。里兹尼感谢比勒菲尔德大学数学经济中心（IMW）的热情款待。参考文献[1]Abdul Manan，A.F.（2015）。电动汽车和传统汽油汽车之间温室气体排放的不确定性和差异，以及对交通政策制定的影响。能源政策，87，第1-7页。电动汽车的最佳采用23[2]阿加顿，C.B.，古诺，C.S.，维拉纽瓦，R。O.，R.O.维拉纽瓦（2019年）。

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