具有H定理的随机市场模型

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英文标题：
《Random Market Models with an H-Theorem》
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作者：
Ricardo Lopez-Ruiz, Elyas Shivanian and Jose-Luis Lopez
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this communication, some economic models given by functional mappings are addressed. These are models for random markets where agents trade by pairs and exchange their money in a random and conservative way. They display the exponential wealth distribution as asymptotic equilibrium, independently of the effectiveness of the transactions and of the limitation of the total wealth. The entropy increases with time in these models and the existence of an H-theorem is computationally checked. Also, it is shown that any small perturbation of the models equations make them to lose the exponential distribution as an equilibrium solution.
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中文摘要：
在本文中，我们讨论了由函数映射给出的一些经济模型。这些是随机市场的模型，代理人成对交易，并以随机和保守的方式交换资金。它们将指数财富分布显示为渐近均衡，与交易的有效性和总财富的限制无关。在这些模型中，熵随时间增加，并通过计算验证了H定理的存在性。此外，还表明，模型方程的任何微小扰动都会使其失去作为平衡解的指数分布。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computer Science and Game Theory        计算机科学与博弈论
分类描述：Covers all theoretical and applied aspects at the intersection of computer science and game theory, including work in mechanism design, learning in games (which may overlap with Learning), foundations of agent modeling in games (which may overlap with Multiagent systems), coordination, specification and formal methods for non-cooperative computational environments. The area also deals with applications of game theory to areas such as electronic commerce.
涵盖计算机科学和博弈论交叉的所有理论和应用方面，包括机制设计的工作，游戏中的学习（可能与学习重叠），游戏中的agent建模的基础（可能与多agent系统重叠），非合作计算环境的协调、规范和形式化方法。该领域还涉及博弈论在电子商务等领域的应用。
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Adaptation and Self-Organizing Systems        自适应和自组织系统
分类描述：Adaptation, self-organizing systems, statistical physics, fluctuating systems, stochastic processes, interacting particle systems, machine learning
自适应，自组织系统，统计物理，波动系统，随机过程，相互作用粒子系统，机器学习
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PDF下载：
--> Random_Market_Models_with_an_H-Theorem.pdf (115.66 KB)

2022-4-28 17:14:36 上传

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关键词：distribution Conservative Transactions Environments Quantitative

具有H理论的随机市场模型。欧佩兹·鲁伊斯、E.希瓦尼安和J.L.欧佩扎布拉特在本文中，讨论了由函数映射给出的一些经济模型。这些都是随机市场的模型，在随机市场中，代理人成对交易，并以随机和保守的方式交换资金。它们将指数财富分布显示为渐近均衡，与交易的有效性和总财富的限制无关。在这些模型中，熵随时间增加，并通过计算验证了H定理的存在性。此外，还表明，模型方程的任何微小扰动都会使其失去作为平衡解的指数分布。1简介在过去的几年里，据报道[1,2]在西方社会，大约95%的人口、社会中下层经济阶层的收入按指数财富分布。其余人口（约5%的个人）的收入服从幂律分布[3]。考虑到与市场相关的随机性的一类模型是类气体模型[4]。这些随机模型解释了代理人之间的经济货币交换，类似于粒子共享能量的气体中的碰撞[5]。里卡多·欧佩兹·鲁伊兹德普。西班牙萨拉戈萨萨拉戈萨大学计算机科学与比菲学院电子邮件：rilopez@unizar.esElyas希瓦尼安德普特。伊朗卡兹温伊玛目霍梅尼国际大学数学系电子邮件：shivanian@ikiu.ac.irJos路易斯欧佩兹德普。数学系。西班牙潘普洛纳纳瓦拉公立大学工程系电子邮件：jl。lopez@unavarra.es2R·L’opez Ruiz、E·Shivanian和J.L。

在这种交流中，我们考虑了均质类气体模型[6,7]的一个连续版本，我们将其推广到了一种情况，即主体呈现一个控制参数，以决定与其他经济主体的相互作用程度[8]，以及另一种新情况，即总体丰富度有一个上限。从数学上解释了指数（吉布斯）分布作为这三种情况的固定点的出现[7]。此外，当这些系统向渐近平衡演化时，熵的增加也得到了检验。这与所有这些经济模型的H定理的存在有关[9,10]。尽管这些基于函数映射的模型看起来很简单，但它们有助于揭示指数分布在许多自然现象中普遍存在的原因，尤其是在随机市场中。2连续类气体模型我们考虑一组经济主体以arandom方式成对进行货币交易。该模型的离散版本如下[5]。对于N个经济主体集合中的每个相互作用对（mi，mj），交易规则可以写成asm′i=ε（mi+mj），m′j=（1）-ε） （mi+mj），i，j=1。。N、 其中ε是区间（0,1）中的随机数。代理人（i，j）是随机的。他们最初的钱（mi，mj）在时间t时，在时间t+1时的相互作用（m′i，m′j）后转化。通过数值模拟得到的渐近分布pf（m）是指数（Boltzmann-Gibbs）分布，pf（m）=βexp(-βm），β=1/<m>气体，其中pf（m）dm表示PDF（概率密度函数），即在m和m+dm之间用金钱（或气体系统中的能量）找到代理人的概率。显然，这个PDF是标准化的，| | pf | |=R∞pf（m）dm=1。

财富的平均值，<m>气体，可以通过<m>气体直接计算出来=∑imi/N。该模型的连续版本[6]考虑了在算子T作用下，初始财富分布p（m）在每个时间步N的演化。因此，系统从时间N演化到时间N+1，逐渐达到平衡分布pf（m），即limn→∞总氮（磷（米））→ pf（m）。具有H定理3的随机市场模型在这种特殊情况下，由于局部和总丰富度守恒，pf（m）是指数分布，其平均值<pf>，比初始值<p>。算子T的推导如下[6]。假设pn是在时间n时在集合中的财富分布。在时间n+1时有一个货币数量x的概率将是所有这些代理对（u，v）在相互作用后产生数量x的概率之和，也就是说，所有验证u+v>x的代理对。因此，其中两个有货币（u，v）的代理相互作用的概率为pn（u）* pn（v）。它们的交换是完全随机的，然后它们以相等的概率上升到区间（0，u+v）中的任何值x。因此，为交互对（u，v）获得特定x（x<u+v）的概率为pn（u）* pn（v）/（u+v）。然后，T具有非线性积分算子的形式，pn+1（x）=tpn（x）=zzu+v>xpn（u）pn（v）u+vdudv。如果我们假设T作用于PDFs空间，已经证明[7]T守恒系统的平均财富，<tp>=<p>。它还保存了范数（| |·| | |），即T保持系统的代理总数，| | tp | |=| | p | |=1，由此延伸，这意味着系统的总丰富度保持不变。我们还发现，具有正确平均值的指数分布pf（x）是T的唯一稳定状态，即T pf=pf。

计算似乎还表明，其他高周期轨道并不存在。因此，可以认为上述极限点的收敛关系是正确的。我们描绘了其中一些属性。首先，为了建立适当的数学框架，我们提供以下定义。定义1。我们在区间[0]中引入正函数（财富分布）的空间L+，∞),L+[0，∞) = {y:[0，∞) → R+∪ {0}，| | y | |<∞},范数| | y | |=Z∞y（x）dx。定义2。我们定义了与财富分配相关的平均财富<x>∈ L+[0，∞) 作为分布y的x的平均值。那么，<x>y=|xy（x）| |=Z∞xy（x）dx。定义3。为了x≥ 0和y∈ L+[0，∞) 算子T对y的作用由T（y（x））=zzzs（x）dudvy（u）y（v）u+v，4r.L\'opez-Ruiz，E.Shivanian和J.L.L\'opezs定义，其中S（x）平面的区域表示在交易后可以生成丰富度x的代理对（u，v），即S（x）={（u，v），u，v>0，u+v>x}。现在，我们提醒一下参考文献[7,8]中最近给出的以下结果。定理1。对任何人来说∈ L+[0，∞) 我们有| | Ty | |=| | | y |。特别是，考虑L+[0]中的PDF子集，∞), i、 e.单位球B={y∈ L+[0，∞), ||y | |=1}。注意，如果∈ B然后是泰迪∈ B.（这意味着经济系统中代理人的数量在时间上是守恒的）。定理2。PDF y的平均值<x>yO是守恒的，即任何y的<x>Ty=<x>yF∈ B.（这意味着经济体系的平均财富，以及由此延伸而来的总体财富，都被及时保存下来）。定理3。除了y=0，单参数函数族yα（x）=αe-αx，α>0是空间L+[0]中T的唯一固定点，∞).提议1。对于一些成员，y，w∈ B、 | |蒂- Tw | |≥ ||Y- 因此T不是收缩。例1。取y（x）=（1+x）和w（x）=e-X属于B。

通过使用Mathematica，可以看出| | y- w | |=0.407264和| | Ty- Tw | |=0.505669。如果我们考虑T对具有相同平均财富x的子集Bxof分布的限制，即Bx={y∈ B |<x>y=x}，然后利用算子T的拉普拉斯变换，证明了[11]T是Bx中的一个收缩，从而证明了以下关系的真理：limn→∞Tny（x）=δe-δx为δ=1/x，或<x>y=+∞.让我们观察一下，当n→ ∞ 在<x>y=+∞. 请参见下一个示例。例2。取y（x）=（1+x），它属于B，且<x>y=+∞. 显然，特尼∈ 但是可以看出limn→∞Tny（x）=0+/∈ 例3。现在假设矩形分布：y（x）=如果2<x<4，andy（x）=0，否则。所以，y∈ B和δ=，则这种情况下的稳态为u（x）=e-x、 我们从数字上发现| | y-u| |>|Ty-u| |>|Ty-u| |>|Ty-u| |等。如图1所示。那么我们就可以猜到limn→∞||特尼-u|| = 0.如果我们考虑y（x）的熵，由H=-Ry（x）logy（x）dx，然后发现当T连续应用于随机市场模型时，H以单调方式增加，用H-定理50.00.10.20.30.40.50.6PSfrag替换（a）0.00.10.20.30.40.50.6PSfrag替换（a）（b）0.00.10.20.30.40.50.6PSfrag替换（a）（b）（c）图1 y（x）=如果2<x<4，y（x=0）=否则，y和ux=e的T-迭代-x、 （a）| | y-u| |，（b）| | Ty-u| |，（c）| | Ty-u||.初始状态y（x）。如果我们定义Hn=H（Tny（x）），那么下面的H-定理[10]产生：limn→∞Hn=H（δe）-δx）δ=1/<x>y，Hn≤ Hn+1n、 总之，系统有一个固定点δe-δx，根据初始平均值<x>并沿着熵增加的轨迹渐进地变化。

对于其他类似的随机市场，该模型的扩展基本上保持了这种行为（见下一节）。3具有同质有效性的连续类气体模型现在让我们想想，市场中计划的许多经济交易都不成功，它们最终会受到挫折。这意味着市场并非完全有效。我们可以通过定义参数λ，在我们的模型中定性地反映这一事实∈ [0,1]表示随机市场的有效程度。当λ=1时，市场将具有总体有效性，所有操作将在随机规则（1）的作用下执行。在这种情况下，系统的演化由算子T给出。当λ=0时，所有的操作都失败，代理之间没有货币交换，然后市场保持在其原始状态。表示这种类型的动态的操作符就是identity操作符。因此，我们可以建立一个广义的连续6 R.L\'opez-Ruiz、E.Shivanian和J.L.L\'Opeze经济模型，其在PDF空间中的演化由运算符λ决定，其取决于参数λ，如下所示：定义4。Tλy（x）=（1）-λ） y（x）+λTy（x），带λ∈ [0,1].观察参数（1-λ） 也可以被解释为代理人的一种储蓄倾向，在λ=1时，他们不保存任何东西，也不保存游戏中所有的资源；在λ=0时，他们保存全部的钱，然后所有的交易都失败，市场处于冻结状态。我们给出了算子Tλ的一些性质，它表现出一种本质上类似于T的动力学行为。

具体地说，指数分布也是由Tλ控制的系统所达到的渐近财富分布，与随机市场的有效性λ无关。让我们观察一下，Tλ=I表示λ=0，Tλ=T表示λ=1，其中I是恒等算子。提议2。Tλ守恒范数，即对于每个y∈ B、 我们有Tλy∈ B.提案3。Tλ保持y的平均值∈ B、 即<x>y=<x>Tλy，其中<x>y表示定义2中表示的平均值。定理4。对于任何λ∈ （0,1），运算符T和Tλ具有相同的固定点。推论1。函数y（x）=0和指数分布族yδ（x）=δe-δx，δ>0，是L+[0]中Tλ的唯一固定点，∞), λ∈ （0，1）.定理5.假设对于给定的λ∈ （0,1）我们有limn→∞||Tnλy（x）-u（x）| |=0，如果u（x）是一个连续函数，那么对于初始条件y（x），u（x）应该是算子Tλ的固定点∈ B.换句话说，u（x）=δe-δx，δ=<x>y。例4。取伽马分布y（x）=xe-x、 所以∈ B和δ=，那么在这种情况下u（x）=e-x、 对于λ=0.5，我们在数值上发现| | y-u| |=0.368226，| | Tλy-u| |=0.273011，| | Tλy-u| |=0.206554，| | Tλy-u| |=0.158701，依此类推。如图2所示。那么我们就可以猜到limn→∞||Tnλy-u|| = 0.此外，系统演化过程中熵的增加也可以被抑制。然后，与第一个模型类似，该模型有一个固定点δe-δx，根据初始平均值<x>yan并遵循熵增加的轨迹渐近达到。与第一个模型的不同之处在于向均衡的过渡，这显然是一个较长的时间，随机市场的有效性λ较低。4.具有丰度限制的连续类气模型在这里，我们研究了限制对药剂最大丰度的影响。我们确定x:x的上限为∧∈ [0,Λ].

现在，系统的平均财富是：带有H-定理的随机市场模型70.00.20.40.60.81.01.21.4PSfrag替换（a）0.00.20.40.60.81.01.21.4PSfrag替换（a）（b）0.00.20.40.60.81.01.21.4PSfrag替换（a）（b）（c）图2 y（x）=xe-x、 Tλ-λ=0.5且u（x）=e时y的迭代-x、 （a）| | y-u| |，（b）| | Tλy-u| |，（c）| | Tλy-u||.< x>y=Z∧xy（x）dx。显然，<x>y<∧。在经济系统中，如果不在系统上建立某种控制，不允许代理人进行超出限制∧的交易，那么∧截止线的存在不仅意味着代理人的资金不可能比∧多。在成对互动的情况下，这意味着只有验证u+v<∧的成对才允许交易，然后他们可以根据规则（1）兑换货币。在超过上限的其他互动中，即u+v>∧，代理商不允许交易，然后他们保留原始资金。因此，这个系统的算子T的推广如下：[T∧y]（x）=Z Zx≤u+v≤∧y（u）y（v）u+vdudv+y（x）Z∧∧-xy（v）dv，其中第一项根据规则（1）整合了允许交易，第二项考虑了财富x代理人与集合中其他代理人可能遇到的禁止交易的总概率。观察lim∧→∞T∧=T.也可[T∧y]（x）=ZxduZ∧-用户体验-udvy（u）y（v）u+v++Z∧xduZ∧-udvy（u）y（v）u+v+y（x）Z∧∧-xy（v）dv。8 R.欧佩斯·鲁伊斯、E.希瓦尼安和J.L.欧佩斯托雷姆6。对任何人来说∈ L+[0，∞) 而∧>0我们有| | T∧y | |=| | y |。特别是，如果| | y | |=1，那么| | T∧y | |=1。证据拿y来说∈ L+[0，∞). 然后| | T∧y | |=R∧[T∧y]（x）dx=R∧duR∧-udvRu+vdxy（u）y（v）u+v+R∧y（x）dxR∧∧-xy（v）dv=R∧y（u）duR∧-uy（v）dv+R∧y（u）duR∧∧-uy（v）dv=| | y | |。定理7。

平均丰富度由T∧守恒，即<x>T∧y=<x>y∈ B.证据x>T∧y=R∧xy（x）dx=R∧duR∧-udvRu+vxdxy（u）y（v）u+v+R∧xy（x）dxR∧∧-xy（v）dv=R∧duR∧-udv（u+v）y（u）y（v）+R∧xy（x）dxR∧∧-xy（v）dv=R∧uy（u）duR∧-uy（v）dv+R∧uy（u）duR∧∧-uy（v）dv+R∧y（u）duR∧-uvy（v）dv=R∧uy（u）duR∧y（v）dv+R∧y（v）dvR∧∧-vuy（u）du+R∧y（u）duR∧-uvy（v）dv=R∧uy（u）duR∧y（v）dv+R∧y（v）dvR∧uy（u）du=<x>y+<x>y=<x>y。定理8。函数a，λ（x）=ae-ax1- E-a∧具有| | ya，∧| |=1，并且是任何a>0的算子T∧的固定点。该函数的平均丰富度为<x>ya，λ=a+1- ea∧。证据这只是一个简单的计算。提议4。对于固定点ya，∧（x），我们有2<x>ya，∧<。因此，如果我们定义m=<x>ya，λ，我们可以将中产阶级CM视为富裕度在m/2和2m之间的所有代理人，即CM（a，λ）=Z2mm/2ya，λ（x）dx=e-am/2- E-2am1- E-a∧。中产阶级积累的财富是：随机市场模型，带有H定理9<xCM>（a，λ）=Z2mm/2xya，∧（x）dx==m（2+am）e-am/2- 凌晨2点（1+2点）e-凌晨2点[1]- E-a∧]，其中m=1+a∧1- ea∧，x=a∧。当我们绘制固定m的cm（x）或<xCM>（x）时，我们看到它总是x=a∧的递减函数。