21世纪最佳退休时间：参考

这条曲线追踪了幸存者在不同年龄段预期获得的最低红利。预期（显然）要高得多。最佳退休TONTINES 41！\"!!!#$%\"!!!#$&\"!!!#$\'\"!!!#$(\"!!!#$)\"!!!#$*\"!!!#$+\"!!!#$,（5）美元和（5）美元和（5）美元和（5）美元和（5）美元和（5）美元和（5）美元和（5）美元和（5）美元和（5）美元和（5）美元和（5）美元和（5）美元和（5）美元和（5）美元和（5）美元和（5）美元和（5）美元和（5）美元和（5）美元和（5）美元）美元和（5美元）美元）和（5美元）美元）和（5美元）和（5美元）美元，美元，美元）和（5美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元，美元+&%N$O$J$%$gamma$=10$gamma$=1.0$Annuity$Payout$eventity$gamma$=25$Figure 6。对于效用为对数γ=1的人，最优tontine支付函数开始支付与终身年金完全相同的利率，而不考虑tontine池中的参与者数量。但是，对于更高水平的长期风险厌恶γ和相对较小的tontine池，函数以较低的值开始，以较慢的速率下降42 M.a.米列夫斯基和T.S.索尔兹伯里！\"#$!%!\"&$!%\'在““““““““““““““““““““““““““““””””“““““““““““““““””””””””““““““““””””””““““““““““““““””””“““““““““““““““““““““！！！”””””””””””””””““““““““““““““”””””””””””””””””””””””””””””“““““““““““““““““““““““““””””””””””””””””””””””””””””””””””””””““““““““，“#）P%G%L%！%gamma$=10美元gamma$=1.0美元gamma$=25美元图7。对于相对较小的tontine池规模，寿命风险γ=25的退休人员将希望在高龄时获得高于其预期生存概率的保证最低支付率（GMPR）。作为交换，他们将在较低的年龄接受较低的GMPR。

相反，对数效用最大化者将选择一个精确等于预计生存概率的GMPR。最佳退休TONTINES 43！\"!!!#$%\"!!!#$&\"!!!#$\'\"!!!#$(\"!!!#$)\"!!!#$*\"!!!#$+\"!!!#$,“！！！#$！$&（$*$，$%！$%和$%（$%*$，$&！$&&$&（$&*$，$！$，$），$（$）（$（$（$（*$，$））！$）-/0$1.2$304567$4805$9:0$）$；<=/4>$-2=20$@43$AB$CA2D==2$E6”$922A。B3$F.BG$H？4I。2:$9:0$J$*）K$2$J$（！！K$L.6M$C500$L4B0$J$（#N$/$J$，“+&%N$O$J$！$any$gamma$Fair$Annuity$Payout$Perfusion$Annuity$with$Loading$图8.精算公平的终身年金，保证从65岁开始的寿命为7.5%，提供了比最佳音调更大的效用，而不考虑长期风险规避（LoRA）或是tontine泳池的大小。但是，一旦将平均保险负荷包括在内，将初始支付下的收益率从最优托汀推高，人寿年金的效用可能会更低。差异载荷为δ，见表7