投资组合收益率分布：非平稳样本统计

我们使用加权Cramer-von Mises统计量，通过最小距离估计方法确定自由参数N，该统计量通常用于强调分布中需要更高灵敏度的部分的模型和经验分布之间的距离（Parr1981，Boos 1982，¨Ozt¨urk&Hettmansperger 1997）。在这里，我们的目标是特别确定分布中心，因为在那里可以观察到模型和数据之间的最佳匹配。为了赋予分布中心更多的权重，我们使用exp形式的高斯函数-y/2c以c=0.07作为加权函数。最大似然法得到的参数N值比最大似然法小约10%，因为它还考虑了尾部。在下文中，我们将直接考虑投资组合回报率R，因为它是与经济相关的数量，并将调查投资组合权重的影响。图3显示了经验投资组合回报率R与平均投资组合回报率pdf（27）的直方图。我们再次考虑从非对称均匀分布中得出的日收益率和权重(-a、 a）a=0.5。最小距离估计法得出N=3.5。根据相应的权重和协方差矩阵计算每个投资组合的投资组合方差α，然后对所有可用投资组合进行平均。理论曲线与中部的直方图吻合良好，尾部有一些偏差。图4显示了不同投资组合产生的α和N值的范围。为投资组合权重选择不同的分布参数会影响投资组合方差α，见图5。它随分布宽度2a单调增加。另一方面，参数N几乎保持不变。现在，我们研究所有权重均为正值的情况，即不允许卖空的情况。无花果

6显示了使用日收益率和等权uk=1/K的经验投资组合收益率R的柱状图。柱状图不对称，右边有一条较重的尾巴。尽管尾部的偏差稍显明显，但N=3.2的平均回报pdf仍然与中部的直方图吻合良好。另一方面，投资组合方差远小于统一投资组合权重的情况，这意味着正权重投资组合的风险更低。我们可以根据Markowitz-4-20.00.10.20.30.40.5R^pdf-10-510-40.0010.010.1R^pdfFIG确定一组最佳投资组合权重，而不是随机绘制权重。2.每日收益率和权重的经重新调整的经验投资组合收益率直方图br（纯黑色）~ U(-0.5,0.5）与N=3.9的平均投资组合回报率pdf hf i（bR | N）（红色虚线）相比，线性（左）和对数（右）绘制。绿色虚线表示正态分布N（0，1），蓝色虚线表示学生的t分布（12.73）-0.2-0.10.00.10.2Rpdf-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.0010.010.1RPDFIG。3.每日收益率和权重的经验投资组合收益率R（纯黑）直方图~ U(-0.5,0.5）与α=2.09×10的平均投资组合回报率pdf hfi（R∑，N）（红色虚线）进行比较-3和N=3.5，线性（左）和对数（右）绘制。0.0000.0010.0020.0030.0040.0050.006ΑNFIG。4.英国案例中每个投资组合的投资组合方差α（左）和N值（右）直方图~ U(-0.5, 0.5).0.51.01.52.00.0000.0020.0040.0060.0082a。5.参数α（左）和N（右）与均匀分布宽度2a有关-0.04-0.020.000.020.04Rpdf-0.15-0.10-0.050.000.050.100.150.0010.010.1修订。6.

日收益率和等权uk=1/K的经验投资组合回报率R（黑色实线）的直方图与平均投资组合回报率pdf hfi（R∑，N）（红色虚线）的直方图进行比较，α=2.17×10-4，N=3.2，线性（左）和对数（右）绘制。（1952）uopt=∑-1gg+∑g（31），K维向量g=（1，…，1）和协方差矩阵∑，在整个观察期内为给定的股票子集计算。利用最优投资组合权重，我们得到了最小的投资组合方差。与N=3.4的平均投资组合回报率pdf相比，经验投资组合回报率R的直方图如图7所示。直方图不对称，右侧有一条较重的尾巴。我们再次注意到中间部分的一致性和尾部的偏差。事实上，我们发现最小的投资组合方差α，大约比uk=1/K的次优α小1.5倍。到目前为止，我们只考虑了每日收益，t=1天。现在让我们看一下其他返回间隔。图8显示了一天和两个月之间不同重现期的参数α和N。我们观察到9随着时间的推移而增加t、 这会导致更像高斯分布。投资组合的方差也在增加。到目前为止，我们已经使用了600个大小为K=20的随机投资组合。如果我们改变投资组合或/和股票的数量呢？增加投资组合的数量会显示更多的直方图尾部。图9显示了改变库存K数量的情况。随着库存K数量的增加，N的值也增加。另一方面，方差减小。换句话说，我们仍然看到多元化的好处-0.04-0.020.000.020.04Rpdf-0.15-0.10-0.050.000.050.100.150.010.1RPFFIG。7.

每日收益和最佳权重的经验投资组合收益率R（黑色实线）与平均投资组合收益率pdf hfi（R∑，N）（红色虚线）的直方图，α=1.38×10-4，N=3.4，线性（左）和对数（右）绘制。0.00000.00050.00100.00150.00200.00250.0030D t交易日交易日图。8.参数α（左）和N（右）与重现期的关系t使用最佳权重。0.000050.000100.000150.00020KΑììììKNFIG。9.参数α（左）和N（右）依赖于每日收益的投资组合规模K，t=1天，最佳体重。结论非平稳性是金融数据的一个共同特征。我们介绍了一种通过Wishart相关矩阵集合来建模非平稳相关的方法。对该集合上的多元正态分布求平均，得到具有指数尾的椭圆分布，可以用第二类修正贝塞尔函数表示。这种方法允许我们推导出由相关股票组成的投资组合回报的pdf。为此，我们假设每个固定时间步的资产回报率为正态分布。这一假设在短时间尺度上是正确的，在短时间尺度上，相关矩阵可以被视为固定的。平均投资组合回报率pdf仅取决于两个参数：具有平均经验协方差矩阵的投资组合权重的双线性形式（代表投资组合方差），以及表征相关性波动强度的自由参数。平均投资组合回报率pdf很好地描述了经验数据，尤其是分布的中心部分。这种行为与投资组合权重的选择无关。尽管如此，尾部还是存在一些偏差。

这可以追溯到这样一个事实，即虽然随机相关矩阵nsemble的Wishart分布的选择确实是一个合理的假设，但它显然不能捕捉所有的经验细节。然而，我们的结果与第三个十年的数据有着惊人的一致性。对数正态分布方差大于χ分布方差的经验证据表明，选择对数正态分布而不是（4）。这将是未来工作的主题。值得注意的是，平均投资组合收益分布可以很好地描述只有一个自由参数的重尾投资组合收益分布。与学生的t分布相比，它对经验数据的拟合效果更好，t分布是金融经济学中标准的重尾分布之一（见布拉特伯格和戈内德斯1974年、佩罗1994年）。据我们所知，所提出的集成方法在经济学文献中是新的。最近，我们还将其应用于信用风险（Schmitt et al.2014），从而计算出信用组合的平均损失分布。此外，随机矩阵方法将波动相关性的影响降低为表征其波动强度的单一参数。因此，它使我们能够直接从经验收益分布估计给定时间间隔内相关性的波动强度，而不必估计较短时间间隔内的相关性。这是投资组合优化的一个重要问题。附录AWe表明，对于N<K，pdf（1）有很好的定义。我们通过以下方式对协方差矩阵进行对角化∑=U+∧U（A1），使用正交矩阵U=U+和特征值∧的对角矩阵。在N<K的情况下，协方差矩阵有N个正非零和K- N零特征值∧=diag（λ，…，λN，0，…，0）。

我们将向量xin旋转到协方差矩阵的特征基上，写出v=Ux，并得到pdfg（v |∧）=√2πK√det∧exp-v+∧-1v=NYk=1√2πλkexp-vk2λkKYk=N+1δ（vk），（A2），这显然是明确定义的。傅里叶变换（2）可以使用相应的推理路线。附录B我们认为BW（A∑，N）=rN2πKN√det∑Nexp-Ntr A+∑-1A（B1）相当于w（w | C，N），其中∑=σCσ，A=σw。为此，我们必须证明Zd[A]bw（A |∑，N）f（A）=Zd[W]W（W | C，N）f（σW）（B2）具有任意测试函数f（A）。根据A=σW改变变量，我们发现Zd[A]bw（A |∑，N）f（A）=（detσ）NZd[W]bw（σW |∑，N）f（σW）（B3）=Zd[W]W（W | C，N）f（σW），（B4）证明了这一断言。附录CWe显示了公式（17）中χ表示的外观，因为它让人想起随机波动率模型。使用公式aη=ηΓ（η）∞Zzη-1exp-阿兹dz（C1）我们可以重写等式（17）ashgi（x∑，N）=∞ZχN（Z）g十、锌∑dz（C2）具有N个自由度的χ分布χN（z）=N/2Γ（N/2）zN/2-1exp-Z（C3）对于z≥ 0或0。参考资料。巴恩多夫-尼尔森，J.肯特和M.Sorensen（1982）正态方差均值混合和z分布，国际统计评论50（2），145-159。G.Bekaert&C.R.Harvey（1995）时变世界市场一体化，金融杂志L（2），403–444。A.Bekker&J.J.Roux（1995）基于wishart先验的贝叶斯多元正态分析，统计学中的通信——理论与方法24（10），2485–2497。F.Black（1976）关于股票价格波动变化的研究。1976年美国统计协会会议，商业和经济统计部分，177-181。华盛顿特区：美国统计协会。R.C.Blattberg&N.J.Gonedes（1974）《作为股价统计模型的稳定分布和学生分布的比较》，商业杂志47（2），244–280。T

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