遵循指数移动平均线的趋势：分析结果

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英文标题：
《Following a Trend with an Exponential Moving Average: Analytical Results
  for a Gaussian Model》
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作者：
D. S. Grebenkov and J. Serror
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  We investigate how price variations of a stock are transformed into profits and losses (P&Ls) of a trend following strategy. In the frame of a Gaussian model, we derive the probability distribution of P&Ls and analyze its moments (mean, variance, skewness and kurtosis) and asymptotic behavior (quantiles). We show that the asymmetry of the distribution (with often small losses and less frequent but significant profits) is reminiscent to trend following strategies and less dependent on peculiarities of price variations. At short times, trend following strategies admit larger losses than one may anticipate from standard Gaussian estimates, while smaller losses are ensured at longer times. Simple explicit formulas characterizing the distribution of P&Ls illustrate the basic mechanisms of momentum trading, while general matrix representations can be applied to arbitrary Gaussian models. We also compute explicitly annualized risk adjusted P&L and strategy turnover to account for transaction costs. We deduce the trend following optimal timescale and its dependence on both auto-correlation level and transaction costs. Theoretical results are illustrated on the Dow Jones index.
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中文摘要：
我们研究股票价格变化如何转化为趋势跟踪策略的损益（P&L）。在高斯模型的框架下，我们推导了P&L的概率分布，并分析了其矩（均值、方差、偏度和峰度）和渐近行为（分位数）。我们发现，分布的不对称性（通常损失很小，不太频繁但利润很大）让人想起趋势跟踪策略，并且较少依赖于价格变化的特性。在短时间内，趋势跟踪策略承认损失比标准高斯估计可能预期的更大，而在较长时间内确保损失较小。描述损益分布的简单显式公式说明了动量交易的基本机制，而通用矩阵表示可以应用于任意高斯模型。我们还计算了明确的年化风险调整损益和战略周转率，以考虑交易成本。我们推导了趋势跟踪最优时间尺度及其对自相关水平和交易成本的依赖关系。理论结果如道琼斯指数所示。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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PDF下载：
--> Following_a_Trend_with_an_Exponential_Moving_Average:_Analytical_Results_for_a_G.pdf (518.22 KB)

2022-4-29 17:52:24 上传

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关键词：移动平均线 移动平均 平均线 distribution Quantitative

遵循指数移动平均值的趋势：高斯模型的分析结果Denis S.GrebenkovLaboratoroire de Physique de la Mati\'ere Condens\'ee，CNRS–法国理工学院，帕莱索91128号，弗朗西杰里·塞罗米·约翰·洛克投资，富兰克林·罗斯福大道38号，枫丹白露埃文77210号，Franciabstract我们研究股票价格变化如何转化为趋势跟踪策略的损益（P&L）。在高斯模型的框架下，我们推导了P&L的概率分布，并分析了其矩（均值、方差、偏度和峰度）和渐近行为（分位数）。我们发现，分布的不对称性（通常损失很小，发生频率较低但意义重大）是趋势跟踪策略的显著特征，对价格变化的特殊性的依赖性较小。在短时间内，紧随其后的趋势承认损失比标准高斯估计可能预期的要大，而在较长时间内损失较小。描述P&Ls分布的简单显式公式说明了动量t半径的基本机制，而一般矩阵表示可以应用于r位r元高斯模型。我们还可以明确计算经风险调整的年化损益和策略转换，以考虑交易成本。我们推导了趋势跟踪最优时间尺度及其对自相关水平和交易成本的依赖性。理论结果以道琼斯指数为例。电子邮件地址：丹尼斯。grebenkov@polytechnique.edu杰里米·本格瑞斯（杰里米·本格瑞斯）。serror@jl-投资。com（Je remy Serror）预印本于20131年8月27日提交给Physica A。简介系统化交易已经发展成为一个金融行业，允许对多个交易进行快速交易决策[1、2、3、5、4、6、7]。

一种基于过去价格时间序列的策略，用于预测近期的价格变化，并相应地更新其位置。尽管市场的复杂性、可变性和随机性导致此类预测在近一半的情况下失败，但即使是极少数成功的预测也会因为大量交易进入统计相关的利益而增强。许多交易策略试图检测价格序列中的事件趋势，即可能导致的一系列正相关价格变化，例如，通过新闻发布或多个交易员的共同活动。从实用的角度来看，一种策略将已知的过去信息转化为购买或出售大量股票的信号。从数学角度来看，系统化交易可以被视为将价格时间序列转换为策略的盈亏（P&L）时间序列，如图1所示。例如，购买和持有股票的被动（长期）策略对应于身份转换。最优策略的选择取决于引入的风险回报标准。在本文中，我们研究了基于指数移动平均线（EMA）的趋势跟踪策略的损益变化转化。这种典型的策略被证明是许多系统化交易平台的基础[1,2,3,5,4,6,7]，而其他方法，如趋势移动平均分析或高阶移动平均也可以使用[8,9,10,11]。正如我们在图2所示，已知趋势跟踪策略会扭曲损益的概率分布[12,13]。该图显示了如何将经验计算的价格变量分位数转换为P&Ls f或道琼斯指数（1900-2012）的分位数。即使是对于一个拥有30733个日收益率的长样本，准确估计分位数仍然存在问题。

此外，人们对这种转变的基本机制仍知之甚少。出于这些原因，我们将研究一个简单的模型，其中标准化对数回报是高斯随机变量，其自相关性反映随机趋势。尽管收益率的重尾协合分布和其他一些程式化事实被忽略[15,16,17,18,19,20,21,22,23,24]，但高斯假设将允许Usher，通过价格变化，我们指的是累积标准化对数收益率（通过真实波动率标准化），更接近高斯假设[14]。1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020-20002004006008001000120014000年η1η2η3立方米。returnsP&L，η1=0.05P&L，η2=0.01P&L，η3=0.002Figure 1:Dow Jone s指数从1900年到2012年（黑色曲线）的累积标准化对数回报率（通过实际波动率标准化），以及趋势跟踪策略（第2节定义）的累积P&L，时间标度η=0.05（蓝色），η=0.01（红色），η=0.002（绿色），应用于该指数。得出分析结果，以供日后参考经验市场数据。我们将计算趋势跟踪策略的P&L概率分布，以了解价格变化的高斯分布如何通过系统交易进行转换。因此，市场（正的自相关性）和策略本身对利润和损失的各自作用将被解开。论文组织如下。以秒计。2.我们介绍了矩阵符号、市场模型和趋势跟踪策略。关于P&L概率分布和矩的主要结果见第二节。3.讨论、结论和观点总结在第。4.2. 市场模式和交易策略2。1.

指数移动平均指数移动平均（EMA）广泛应用于信号处理和数据分析[25,26,27,28]。EMA可以定义为时间序列{xt}到更平滑的时间序列{xt}的线性变换，根据xt=λ∞Xk=0（1- λ） kxt-k、 （1）其中0<λ≤ 1是时间刻度的倒数。当λ=1时，EMA为恒等式变换：~xt=xt；相比之下，许多术语-当λ<< 1.EMA通常是简单移动的首选-100-50050100t（天）zq（a）1%50%99%01000200500-100-50050100t（天）zq（b）1%50%99%图2：买入和持有策略分位数与趋势跟踪策略之间的比较。（a） 道琼斯指数（1900-2012）的累积标准化对数回归分位数（标准化byrealized volatility）作为滞后时间t（以天为单位）的函数。从底部到顶部的线条分别显示1%、5%、15%、25%、35%、45%（蓝色）、50%（绿色）、55%、65%、75%、85%、95%和99%（红色）的分位数。粗线突出显示1%、50%和99%的分位数。（b） Q时间标度η=0.01的趋势跟踪策略累计损益的数值，适用于道琼斯指数（相同的符号）。在固定长度的窗口上求平均值，因为它会产生更平滑的结果。在实践中，它可以根据一个递归公式实时计算出来：~xt=（1）- λ） ~xt-1+λxt。当时间序列从t=1开始时，不存在的元素x，x-1，x-2.设置为0。这相当于在公式（1）tot中设置上限-1.在对长度为T的有限样本进行分析时，EMA可以用矩阵形式表示为：~x。。。~xT= λE1-λ十、xT,式中，Eq是大小为T×T的矩阵，其元素为（Eq）jk=（qj-K-1（j>k），0（j≤ k） 。(2)2.2.

高斯市场模型第一个高斯市场模型是由Bachelier在1900年提出的，从那时起，已经开发了许多模型。例如，ARMA（自回归移动平均）模型及其扩展在财务中得到了充分应用[25]。几十年来，为了解释市场的各种经验特征，这些模型变得越来越复杂。我们的目的恰恰相反：我们的目标是理解趋势跟踪策略的基本机制，从定性上来说，这些机制对市场特性的依赖性很弱。反过来，损益表的量化行为当然可能对特定特征敏感。因此，我们选择一个简单的模型来展示随机m趋势，以便能够得出分析结果。同时，本文中使用的通用矩阵公式（见第3节开头）可以应用于任意的Ga-ussian市场模型。从这个角度来看，我们的方法可以用于研究更复杂的模型，尽管结果不那么明确。在本文中，我们考虑了一个简单的日价格变化模型，即rt，其中随机趋势由离散的OrnsteinUhlenb-eck过程诱导，而短期波动由iid高斯变量εk建模∈ N（0，1）具有零平均值和单位方差：rt=εt+βt-1Xk=1（1- λ） t-1.-kξk，（3）其中λ和βar是描述特征时间尺度和趋势贡献强度的市场模型的两个参数，以及ξk∈ N（0，1）是iid高斯变量（与εk无关）。这是一个随机趋势模型，由外生随机变量ξk产生的持续过程引起，该随机变量与短期波动εk无关。

在m的矩阵中，一个写esr=ε+βE1-λξ，（4）其中r=（r，…，rT）+是返回向量（上标+表示转置），ε和ξ是iid高斯变量的两个向量。在本文中，为了简单起见，每天的价格变化将被称为“回报”。严格地说，我们认为加性标准化对数回归是由已实现的波动性所定义的。这种调整是未来市场上的一种常见做法[13]，可以在一定程度上降低波动性及其相关性变化的影响[23,24]，并更接近收益的高斯假设[14]。因此，r是一个均值为零的高斯向量，hrji=0，方差矩阵Cj，k=hrjrki，其中C=I+βE1-λE+1-λ、 （5）其中I代表身份矩阵。这个矩阵的元素是cj，k=δj，k+βλ（2- λ)(1 - λ） |j-k|- (1 -λ） j+k-2.. （6） 第二项是离散的Ornstein-Uhlenbeck过程的协方差。对角线元素Ct，tapproach为常数σ∞= 1+βλ(2-λ） 作为t→ ∞,i、 例如，自动关联增加了回报的变化。可以方便地确定极限方差σ∞通过重新校准参数β为β=βpλ（2），与时间刻度λ无关- λ） （7）那么σ∞= 1+β，与λ无关。换言之，新参数β是由于其自相关性而产生的收益的渐近超额方差。从这个价格序列可以校准经验参数。为此，我们考虑滞后时间tVt，t上的收益变异函数≡var{rt+1+…+rt+t}var{rt+1}+…+var{rt+t}，（8）其中可以忽略持续时间tca的起始期，以接近稳定状态。变异函数等于r iid随机变量的1，而其与1的偏差表征变量之间的aut o相关性。通过等式中的协方差矩阵表示变异函数。

（5） ，一个到达静止极限t→ ∞:限制→∞var{rt+1+…+rt+t}=t1 + β2 - λλ-2(1 - λ)βλ1.- (1 -λ） t而且，∞= 1 +2(1 - λ)βλ(1 + β)1.-1.- (1 -λ） tλt. （9） 图3显示了从道琼斯指数（1900-2012）中获得的收益的经验变异函数，以及根据公式（9）得出的它的fit。尽管该模型未能在短时间内再现自动修正的急剧增长，但它是0 100 200 300 400 50011.21.41.61.82t经验拟合最佳图3：道琼斯指数（整圈）标准化对数日收益率（通过实际波动率标准化）的变异函数，以及其与等式（9）（红线）的最佳拟合，λ=0.011，β=0.08。正确捕捉变差函数在较长时间内的行为，并允许我们获得模型参数λ和β的实际值：λ=0.011和β=0.08。同时，这些值依赖于市场，通常很难校准。在下文中，代表值λ=0.01和β=0.1将用于说明目的。为了进行比较，我们还考虑了具有指数权重的自回归模型，rt=εt+βt-1Xk=1（1- λ） t-1.-krk，（10）式中εt∈ N（0，1）是iid高斯变量。这是一个自回归趋势的模型，通过与早期回报的自相关而产生。将式（10）写成矩阵形式，r=ε+βE1-λr并反转这个关系Yieldsr=（I- βE1-λ)-1ε=（I+βE1）-λ+β）ε，（11）其中，由于矩阵等式的特殊三角形结构，可以进行显式矩阵求逆。因此，r是一个均值为零的高斯向量，协方差矩阵xc=（I+βE+q）（I+βE+q）+=I+β（E＠q+E+q）+βE＠qE+q，（12）其中＠q=1- λ + β. 将这种关系与式（5）相比较，我们注意到有效的时间尺度λ-β（而不是λ）和一个附加项β（Eq+E+q）。尽管这两个模型表现出许多相似的特征，但由于这个术语的存在，它们并不相同。

为了简单起见，我们关注随机t r端模型（由公式（3）定义），而自回归趋势模型的类似结果在[30]中推导和讨论。本文的定性结论并不取决于这种选择。值得注意的是，我们关注的是由自相关引起的t趋势，而平均回报率为零。虽然对hrti 6=0的扩展相对简单，但hrti=0的研究情况使我们更容易说明趋势跟踪策略的作用，因为在这种情况下，辅助持有策略是无效的。2.3. 交易策略交易策略依赖于收益的均线来检测价格时间序列的实际趋势[25,26,27,28]。我们考虑信号st，它与收益的EMA成正比：st=γt-1Xk=1（1- η） t-1.-krk，（13）其中η和γ是策略的两个参数（在下面的内容中，我们将把γ与η联系起来，后者仍然是策略的唯一参数）。重要的是，时间t处的信号由较早的返回rt确定-1，rt-2.并且不依赖当前返回rt上的不可用信息。在mat rix表中，等式（13）读取ass=γE1-ηr.（14）t步后趋势跟踪策略的累积损益定义为t，t≡t+tXk=t+1rksk=（r+O（t，t）s）=γ（r+O（t，t）E1-ηr）=（r+M（t，t）1-ηr），（15），其中为起始期的持续时间，M（t，t）1-η≡ γO（t，t）E1-η+E+1-ηO（t，t）（16） 是一个对称矩阵，O（t，t）是一个矩阵，在t+1和t+t之间的对角线位置有1，在其他位置有0。累计损益inEq。（15） 被写成高斯向量r的二次形式。类似地，增量损益读数为δPt≡ δPt，t≡ Pt，t- Pt-1，t=rt+tst+t=（r+M（1，\'t-1)1-ηr），（17）式中，t=t+t是t+t.3的快捷表示法。

趋势跟踪策略的盈亏作为高斯向量的二次形式，累积和增量损益的表示（15,17）允许我们研究其性质。对于均值为零且协方差矩阵为C的离散高斯过程r，由对称矩阵M定义的二次型χ=（r+Mr）是arandom变量，其矩和概率分布众所周知[29]。实际上，特征函数χφ（k）的矩阵表示≡ h exp（ikχ）i=pdet（i- ikMC），（18）通过傅里叶逆变换得到χ的概率密度p（z）：p（z）=∞Z-∞dk2πe-ikzφ（k）。（19） 如[29]所述，行列式det（I-ikMC）可以通过矩阵MC的特征值来表示，从而加快数值计算。此外，最小和最大特征值u-和μ+，本质上决定了概率密度p（z）：p（z）的渐近行为∝ A±zν±exp(-z/u±）（z→ ±∞) （20） （注意-< 0以确保密度衰减为z→ -∞).最后，二次型χar eκm=（m）的累积量矩κmof- 1)!tr（（MC）m），（21），其中tr表示轨迹。特别是，κ和κ是χ的均值和方差，而高阶累积量矩决定了偏度（κ/κ3/2）和峰度（κ/κ）。平均增量损益我们首先考虑增量损益δP't，其中矩阵M（1，'t-1)1-式（16）中的η具有特别简单的结构，仅在第t行和第列有非零贡献。该矩阵与协方差矩阵C的乘积可以显式写出，例如κ=tr（MC）=γ′t-1Xk=1p\'t-K-1C’t，k，（22），其中p=1- η. 将式（5）代入式（22）得到平均增量P&LhδP′ti=γβq1- （pq）`t-11- pq- q\'t-1p-t-1.- q\'t-1p- Q, （23）式中q=1- λ. 在特殊情况下η=λ，该表达式降低为hδP′ti=γβq1- q2（\'t-1)1 - Q- （\'t- 1）q’t-3..