交易成本下资产定价的基本定理及模型

为了准备多周期情形，我们还讨论了如何用规定的初值构造鞅。让(Ohm, F） 通过过滤（F，F）和F={, Ohm}. 让P P(Ohm) 是另一个凸集。股票的买入和卖出价格过程分别由常数S、F-可测随机变量S和S给出。请注意，本期市场的NA（P）可用等效形式表示：Y∈ R、 y+（S）-（S）- Y-（S）- （S）≥ 0 P-q.s.暗示+（s-（S）- Y-（S）- S） =0 P-q.S。。我们允许代理人丢弃非负数量的资产。如果一个集合对所有P都是P-null，那么它就是P极的∈ P.如果一个属性在P-极集合外成立，则称其为P-q.s。“conv”代表凸面外壳。符号Q<< P取自[4]。意思是Q<< P换一些P∈ P.Bayraktar和Zhang：交易成本和模型不确定性下的FTAP运筹学数学00（0），第000-000页，c0000每P通知5∈ P、 定义P:={R∈ P(Ohm) : P<< R<< P、 呃| S- S |+| S-S|]<∞}.ΘPis nonempty by Le mma 11。引理1。补充P、 P∈ 满足- S> 0）>0和P（S->0。然后P∈ PQ、 Q∈ ΘPsuch Q~ 坎德克[S]- S] >0，等式[S]-S] <0。证据让P∈ P.我们首先表明，按照[4]第13页第一段的相同思路，存在P′，P′∈ ΘP（不一定相等）使ep′[S- S] >0，EP′[S]-S] <0。设A:={S>S}。我们有P（A）>0。定义R:=（P+P）/2，使用引理11替换Rby R~ 如图所示∈ ΘP，并进一步用P′取代Rby~ 由dP′/dR定义的Rde:=（1A+ε）/ER[1A+ε]。可以检查P′∈ ΘPand EP′[S]- S] ε小enou gh大于0。类似地，我们得到了P′的存在性。仍需将P′，P′替换为Q，Q，Q，并要求Q~ 为此，设Qλ：=λP′+（1）- λ） P′。很容易看出{Qλ：λ∈ （0，1）}是包含在ΘP中的一组等价度量。

此外，等式λ[S- S] >0表示λ足够接近1，等式λ[S]-S] λ小于0时，充分的c损失为零。提议1。假设NA（P）成立。然后P∈ P（Q，~S）∈ Z使得P<< Q<< P.证明。让P∈ P并考虑三种情况：情况1。s- s≤ 0个P-q.s。。在这种情况下，NA（P）意味着- S=0 P-q.S。。我们选择Q:=P，~S:=SandS:=S。s-s≥ 0个P-q.s。。在这种情况下，NA（P）意味着S-S=0 P-q.S。。我们选择Q:=P，~S:=SandS:=S。情况3。 P、 P∈ 使得- S> 0）>0和P（S->0。在这种情况下，letQ，Q∈ ΘPbe由引理1给出。我们可以找到λ∈ （0，1）使得λEQ[S- S] +（1）- λ） EQ[S-S] =0。定义：=λQ+（1）- λ） Q（1）和<<S:=（1）- λ） S+λS，~S:=λdQdQS+（1）- λ） DQDQ。（2） 我们有Q∈ ΘP，~S∈ [S，S]Q-a.S.和EQ[~S-~S]=λEQ[S-S] +（1）-λ） EQ[S-S] =0。备注3。我们可以直接使用P′，P′（在引理1的证明中定义）而不是Q，qt来构造案例3中的CPS。Qan和Qo的等价性只在多周期中起作用，因此，我们必须在可能的情况下构造远离买卖双方边界的鞅（以便它们可以扩展到下一个周期）。如果Q~ Q、 由（2）定义的Sde将满足∈ ri[S，S]Q-a.S。。“ri”代表相对内部。Bayraktar和Zhang：交易成本和模型不确定性下的FTAP 6运筹学数学00（0），第000–000页，c0000 Informs记得，当我们转到多周期情况时，我们不能直接粘贴两个单周期CP，但首先要确保当前周期鞅的起点与其父周期鞅的终点匹配。换句话说，我们感兴趣的是在规定的初始值下构造带有Certa的鞅。

命题2给出了一组允许鞅扩张的起点。对于随机变量S：Ohm → R上的非空概率测度族ROhm, R下S分布的支撑，用支撑表示，是最小的闭集A 例如∈ A） =1P∈ R.等价地，点y属于suppers当且仅当y周围的每个开球在{P的某个成员下有正测度eo s-1:P∈ R} 。提议2。假设inf suppPS<s<sup suppPS。然后P∈ PQ、 Q∈ ΘPsuchthat Q~ QandEQ[S]<S<EQ[S]。证据我们可以找到x∈ 谢谢∈ 通过提供支持，P、 P∈ P满足P（S>S）>0和P（S<S）>0。应用于市场{s，[s，s]}的引理1产生期望的Qand Q。备注4。这是可能的s∈ （inf SUPPS，sup SUPPS）和P∈ PQ∈ ΘPandλ∈ （0，1）使得等式[（1- λ） S+λS]=S。为了证明，只需考虑三种情况：1）R∈ Θp与ER[S]>S，2）R∈ Θp与ER[S]<S和3）R∈ ΘP，ER[S]≤ s≤ 呃[S]。以一对度量（Q，Q）来衡量e周期的结果，因为当移动到多周期情况时，它是更容易调整的公式化选择（见备注7）。一旦我们有了一个pairof度量，就可以用（1）和（2）的方法很容易地构造一个CPS。在多周期情况下，我们通过一个向后-向前方案证明了多周期市场的FTAP。回到导言中的设置，集合P被定义为具有解析图的非空凸集s Pt（·）的乘积。在本节中，我们还假设St（·）是l.s.a.。dSt（·）是u.s.a。。使用半解析价格过程的原因是，我们需要一个可以在向后递归（3）下保留的性质。BothBorel和universal Measureability均未保留（见备注5）。

这个问题不存在于没有交易成本的市场中，因为不需要重新定义股票价格，也不重要什么时候有一个支配性度量P，因为我们总是可以修改P-null集上的一个普遍可测映射，使其Borel可测。最后，为f绘制一张地图Ohmt+1，我们通常会将其视为地图Ohmt×Ohm并写出f=f（ω，ω′）。通过XT=ST，YT=STandXt（ω）递归定义过程X，Y：=inf-suppt（ω）Xt+1（ω，·）∨ St（ω），Yt（ω）：=sup suppt（ω）Yt+1（ω，·）∧对于t=t，St（ω），（3）- 1.0, ω ∈ Ohmt、 引理2。对于每个t，Xtis l.s.a.和YIS u.s.a。。证据我们只展示了Xt的下半解析性。对称变元给出了Yt的uppe rsemi分析性。假设XT是l.s.a。假设Xt+1是l.s.a.，我们导出Xt的lowersemi分析性。勒塔∈ R、 我们有{ω∈ Ohmt:inf-suppt（ω）Xt+1（ω，·）<a}={ω∈ Ohm对于某些P，t:P（Xt+1（ω，·）<a）>0∈ Pt（ω）}=projOhmT（ω，P）∈ Ohmt×P(Ohm) : EP[1{Xt+1（ω，·）<a}]>0∩ 图表（Pt）可以检查，如果A是一个分析集，那么1A是一个u.s.A.函数。因此（ω，ω′）7→{Xt+1（ω，ω′）<a}是美国的归纳假说。根据[2，命题7.48]，我们还有（ω，P）7→Bayraktar和Zhang：交易成本和模型不确定性下的FTAP运筹学数学00（0），第000-000页，c第7EP[1{Xt+1（ω，·）<a}]是美国。。因此{ω∈ Ohmt:inf-suppt（ω）Xt+1（ω，·）<a}是两个解析集的求交，也是解析集。这表明inf SUPPT（ω）Xt+1（ω，·）是l.s.a。。Xt是两个l.s.a.函数的最大值，也是l.s.a。。备注5。在向后递归下，Borel和普适可测性都不被保留。为了看到这一点，类似于Bouchard和Nutz[4]的评论4.4，考虑Ohm= [0,1]，Pt≡ P(Ohm)对于某些A，Xt+1=1AC Ohmt×Ohm. 然后inf-suppt（ω）Xt+1（ω，·）=1（projOhmtA）c（ω）。如果A是Borel，那么Xt+1是Borel可测量的。

但是1（项目OhmtA）cis n Bo rel通常是可测量的，因为Borel集的投影可能不是Borel。同样，如果A是普遍可测的，那么Xt+1也是普遍可测的。但是1（项目OhmtA）一般来说，cis不是普遍可测的，因为普遍可测集的投影可能不是普遍可测的。除了保留半解析性外，反复定义的[X，Y]市场还有两个很好的性质。首先，它的传播范围并不太广：至少[Xt，Yt]内部的所有点都允许amartingale延伸到下一个周期P-q.s，尽管当点位于spre广告的边界上时，会有一些微妙的问题。其次，它的传播范围也不太窄，在这个意义上说，当原始市场满足NA（P）时，它仍然满足NA（P）。总之，这个新市场非常满足我们的需求。证明多期FTAP的相反含义的一般想法是用修正市场[X，Y]替换原始市场，并在修正市场中进行鞅扩展。鉴于命题2，内部扩展并不太难；挑战部分是边界扩展。事实证明，如果我们从一开始就避免触及边界，那么边界扩展是可能的。在证明主要定理之前，我们需要两个关键的引理。引理3。让NA（P）保持原始市场[S，S]。然后NA（P）也适用于修改后的市场[X，Y]。尤其是Xt≤ YtP-q.s.适用于所有t.证明。我们通过反向诱导证明了修正市场的NA（P）。LetMt:={[Sr，Sr]r=0，…，t-1，[Xr，Yr]r=t，。。。，T} ，T=T，0表示（T- t） -通过反向回收程序获得的中间市场。Weshow NA（P）表示Mt+1，表示f表示Mt。

有必要证明，对于Mt中的任何自融资投资组合流程，Mt+1中存在一个具有相同或更好终端位置的自融资投资组合流程。设φ为MTM中的自融资投资组合过程，φ=0，φT+1≥ 0个P-q.s。。考虑由ηr定义的另一个portf olio过程：=φrr=0，T△ηt+1:=1{Yt=St}(△φt+1）+- 1{Xt=St}(△φt+1）-,△ηt+2:=△φt+2+1{Yt6=St}(△φt+1）+- 1{Xt6=St}(△φt+1）-,△ηr+1:=△φr+1，r=t+2，T△ηr+1:=-(△ηr+1）+Xr+(△ηr+1）-Yr，r=t，也就是说，我们允许φ达到时间T- 1.无论何时交易可以在Mt+1中进行，都要坚持其股票头寸，如果Mt+1中不允许，则将交易推迟到t+1，然后再次遵循φ的股票头寸。显然，η在Mt+1中是自融资的，ηT+1=φT+1。我们想展示ηT+1≥ φT+1P-q.s。。这需要表现出来△ηt+1+△ηt+2≥ △φt+1+△φt+2。在（t+1）和（t+2）期间，η和φ交易的股票总数相同，只是时间不同。因此，我们只需要检查η的交易价格是否与φ的交易价格一样优惠，如果不是更优惠的话。通过构造Xt，当Xt（ω）6=St（ω）时，我们必须有Xt（ω）≤ Xt+1（ω，·）Pt（ω）-q.s。。富比尼的提奥·雷姆暗示Xt+1≥ 关于{Xt6=St}的XtP-q.s。同样，Yt+1≤ 关于{Yt6=St}的YtP-q.s。因此，η仅在P-极化集上具有价格劣势。[X，Y]指交易成本和模型不确定性下，所有t.Bayraktar和Zhang:FTAP的买价为X，卖价为Y的多期市场8运筹学数学00（0），第000–000页，c注释6。与Bouchard和Nutz[4]不同的是，我们没有试图显示setNt:={ω∈ Ohmt:NA（Pt（ω））失败，因为修改后的标记t}是普遍可测的P极性。实际上，Nt的可测性取决于集值映射ω7的可测性→suppt（ω）Xt+1（ω，·），suppt（ω）Yt+1（ω，·）。

由于Xt+1，Yt+1仅被认为是半解析的，支撑图的可测性是值得怀疑的。如果它们是普遍可测量的，为了通过类似于[4]的矛盾论证来显示Ntis P极性，需要构建一个任意策略和一个方法，在该策略和方法下，可以以正概率实现一个优势。这种测度的构造涉及从集值映射Φ（ω）：={P中进行可测选择∈ Pt（ω）：EP[Xt+1（ω，·）- Yt（ω）]>0}。然而，当Xt+1是l.s.a.和Ytis u.s.a.时，我们有ψ：（ω，P）7→ EP[Xt+1（ω，·）- Yt（ω）]是l.s.a.{ψ>0}是co-解析的。So图（Φ）=图（Pt）∩ 在一般l中，{ψ>0}不能作为分析。通过假设P有一个Borel图，我们可以使图（Φ）协分析。但我们不知道一个适用于共解析集的选择定理，除非人们愿意假设∑-确定性（见Kechris[13，推论36.21]）。引理4。让我们∈ {0，…，T- 1} 和P（·）：OhmT→ P(Ohm),■St（·）：OhmT→ 我是博雷尔。设Ξt（ω）：={（Q，Q，^P）∈ P(Ohm) ×P(Ohm) ×Pt（ω）：P（ω）<< Q~ Q<<^P，EQ[Yt+1（ω，·）-~St（ω）>0和等式[Xt+1（ω，·）-~St（ω）<0}，ω∈ Ohmt、 （4）则Ξthas是一个分析图，对于Ξton，普遍可测集{Ξt6=}. 此外，还存在一个普遍可测函数λ（·）：OhmT→ （0，1）使得λ（ω）EQ（ω）[Yt+1（ω，·）]+（1- 如果Ξt（ω）6=. （5） 证据。我们首先展示了一个解析图。这个证明与Bouchardand Nutz[4，引理4.8]的证明非常相似。因此，我们的发言将很简短。设ψ（ω）：={（Q，Q）∈ P(Ohm): 等式[Yt+1（ω，·）-~St（ω）>0和等式[Xt+1（ω，·）-~St（ω）<0}。Bertsekas和Shreve[2，命题7.48]，（ω，Q，Q）7→ 等式[Yt+1（ω，·）-~St（ω）]是美国和（ω，Q，Q）7→ 等式[Xt+1（ω，·）-~St（ω）]是l.s.a。。soψ有一个n解析图。

设Φ（ω）：={（Q，Q，^P）∈ P(Ohm): P（ω）<< Q~ Q<<^P}。定义φ（ω，Q，Q，^P）：=EQ[dP（ω）/dQ]+EQ[dQ/dQ]+EQ[dQ/dQ]+E^P[dQ/d^P]，其中我们选择了一种形式的Radon-Nikod ym导数（使用绝对连续的部分），它们是共同可测的（见Dellacherie和Meyer[6，定理V.58]及其后的r标记）。Bertsekas和Shreve[2，命题7.26，7.29]则暗示φ是Borel。所以图（Φ）={φ=4}是Bor-el。因此Ξt（ω）=（ψ（ω）×Pt（ω））∩ Φ（ω）有一个解析图。Jankov-vonNeumann选择定理（Lemma14）的一个应用为Ξton{Ξt6=}. 在这个集合之外，定义Q（·）=Q（·）=^P（·）：=P（·）。接下来，我们构造了一个普遍可测的权函数λ。由Bertsekas和Shreve[2，命题7.46]提出，映射f:ω7→ [Yt（EQ+ω，]-~St（ω）]g:ω7→ 等式（ω）[Xt+1（ω，·）-~St（ω）]是唯一可测量的。在{Ξ6=}. 定义λ：=g/（g）- f） 关于{Ξ6=}λ：=1/2在{Ξ=}. 那么λ是普遍可测的，（0，1）-值和满意度（5）。∑-确定性是指每个分析博弈都是确定的原则。它无法在标准ZFC公理（泽梅洛·弗雷恩克尔选择公理）中得到证明。Bayraktar和Zhang：交易成本和模型不确定性下的FTAP运筹学数学00（0），第000-000页，c0000通知9备注7。引理4是命题2的可测版本。注4：在单周期市场中，一个人可以直接构造一个鞅分量为买卖价格的c-onvexcombination的CPS。因此，与Ξt（ω）一起工作可能是自然的：={（Q，λ，^P）∈ P(Ohm) ×（0，1）×Pt（ω）：P（ω）<< Q<<^P，EQ[Dλ（ω，·）]=0}其中Dλ（ω，·）：=（1）- λ） Xt+1（ω，·）+λYt+1（ω，·）-~St（ω）。

问题是，当Xt+1是l.s.a.而Yt+1是u.s.a.时，Dλ仅是通用可测的，而图（Ξt）通常不是解析的，这使得可测选择变得困难。为了克服这个问题，我们将选择CPS分为两个步骤：首先分别使用Xt+1的下半解析性和Yt+1的上半解析性选择一对度量（Q，Q），然后找到凸权重λ。利用这些选择器可以构造出一个鞅，作为买卖价格的一个自适应凸组合（见（8））。我们现在准备验证我们的主要结果。理论证明1。（一）=> （ii）：我们首先用引理2取代原来的[S，S]市场，而位于[S，S]内部的[X，Y]市场仍然由引理3半解析。它有助于证明（ii）修改后的市场，因为修改后的市场的任何CP都是原始市场的ACP。我们来证明一个辅助主张，即（i）意味着：P∈ P（Q，~S）∈ Z、 ^P∈ P和P<< Q<<^P和一个自适应过程λ，其值在[0,1]中，使得∧St=Xtifλt-1=0，~St=Ytifλt-1=1，且St∈ ri[Xt，Yt]如果λt-1.∈ （0,1），t=1，此外，设tingτ：=inf{T∈ [0，T- 1] ：λt=0}，σn:=inf{t∈ （τn，T）- 1] ：λt>0}，τn+1:=inf{t∈ （σn，T）- 1] ：λt=0}，按照inf = ∞, 我们有Xτn=Yτn=XtT∈ [τn，σn∧ T] 关于集合{τn<∞}P-q.s。。同样，让σ：=inf{t∈ [0，T- 1] ：λt=1}，τn:=inf{t∈ （σn，T）- 1] ：λt<1}，σn+1:=inf{t∈ （τn，T）- 1] ：λt=1}，我们有Xσn=Yσn=YtT∈ [σn，τn∧ T] 关于{σn<∞} P-q.s。。我们对市场上每IOD的数量进行归纳。当只有e周期时，对于任何P∈ P、 当X=Y=inf-suppPX<sup-suppPY时，我们将λ：=0；当X=Y=suppPY>inf-suppPX时，我们将λ：=1；当X=Y=inf-suppPX=sup-suppPY时，我们将λ：=1/2。在这三种情况下，定义Q=^P:=P，~S:=X=YandS:=（1）- λ） X+λY。

不难看出，在第一种情况下，na（P）意味着X=YP-q.s.，在第二种情况下，Y=XP-q.s.，在第三种情况下，X=Y=X=YP-q.s。因此，S是Q-鞅。在所有其他情况下（根据NA（P）），我们都可以选择s∈ （inf suppPX，sup suppPY）。命题2暗示了Q，Q，^P的存在<< Q~ Q<<P和EQ[X]<s<EQ[Y]<∞. 与命题证明1中的情况3完全相同的构造产生了一个des ired CPS（Q，~s）和一个权重λ∈ (0, 1). 可以检查（ii\'）中的所有陈述是否满足。现在，假设（i）意味着（ii\'）适用于任何具有T的市场- 每IOD 1个，满足向后递归（3）。我们将对此类具有T周期的递归定义市场推导出相同的性质。设NA（P）为T-周期市场，由M表示，其子市场直到T- 1，d由M′表示，满足NA（P′），其中P′={P · · ·  PT-2：每个PTI都是Pt}Bayraktar和Zhang:FTAP在交易成本和模型不确定性10运筹学数学00（0），第000–000页，c0000 Informis是第一个T- 1节课。让P∈ P有分解P=P|OhmT-1. PT-1.我们可以应用诱导假设来获得（ii\'）中描述的Q′，λS，λ，^P′，直到时间T- 1和P|OhmT-1.<< Q′<<^P′∈ P′。我们的目标是将Q′、λ、λ、^P′扩展到第T周期。第一步。Exten sio n.Le mma3表示不可测集n:={XT-1> YT-1} 是Ppolar。在N上，我们只需设置QT-1=^PT-1:=PT-1，λT-1:=1/2和ST:=（XT+YT）/2。