去趋势互相关分析一直延伸到

量化金融动态的这两个特征之间的相互关系特征，对于预测资产回报的多重分形模型等模型中的波动性也具有特别重要的意义[2,55,59–61]。我们对1997年11月28日至1999年12月31日期间的时间序列进行了分析。时间序列分别由T=294、862和T=497、513个forEOA和DBK点组成。因此，时间序列足够长，可以产生具有统计意义的结果。在图12中，我们展示了我们算法的第一步之一，即去趋势互协方差函数fxy（ν，500）（对于标度s=500）作为盒数ν（等式（2））的函数。为了进行比较，在同一个图12中，我们描绘了分别针对价格增量和等待时间的单个时间序列计算的去趋势方差函数Fxx（ν，500）和Fyy（ν，500）（从MFDFA获得）。很容易注意到，为单个时间序列计算的去趋势方差只取正数值，而去趋势互协方差051015FXX2（ν，500）0510Fyy2（ν，500）01000200400500ν-6-3036Fxy2（ν，500）价格增量为时间图。12：顶部和中部：去趋势方差函数分别计算E.ON stock（股票代码：EOA）的价格增量和等待时间的时间序列。底部：为相同数据计算的去趋势互协方差函数fxy（ν，500）。对长度为500点的路段进行了计算。函数Fxy（ν，s）同时取负值和正值。这构成了在直接计算奇数qs的qth阶互协方差函数Fxy（q，s）时已经提到的主要问题，该函数会产生复值（见等式（5））。

值得强调的是，这种困难不会影响单个时间序列的分形分析（MFDFA），因为这样一来，去趋势方差函数Fxx（ν，s）可能只有正值。因此，正确处理Fxy（ν，s）信号对于DCCA的持续扩展以处理多重分形相关信号至关重要。目前，该问题的解决方案基本上是由Sec提出的MFCCA算法实现的。二、为了表征当前情况下的互相关，计算了函数Fxy（q，s）。就多重分形标度而言，这种情况比之前的模型情况要微妙得多。事实证明，Fxy（q，s）的标度特性仅选择性地适用。首先，对于负qs，Fqxy（s）在零附近波动，等式（5）不满足。对于q的正值，函数Fqxy（s）假设正值，但Fxy（q，s）的清晰缩放从q=1开始。当q<1时，当q向零移动时，这些函数会产生越来越大的波动。这种影响对DBK尤其强烈。此外，Fxy（q，s）表现出令人信服的幂律行为的尺度下限各不相同，DBK的尺度下限值高于EOA，这表明在前一种情况下，多重分形互相关的形式较弱。图13的上面板显示了相应的特性，用虚线表示q和S的缩放范围。计算出的λqa和hxy（q）如图13的底部面板所示。很明显，对于EOA，100 1000 10000s10-1010-810-610-410-2100Fxy（q，s）0 1 2 3 4q0。50.60.70.80.911.1λq，hxy0 1 2 3 4q0。50.60.70.80.911.1λq，hxy100 1000 10000s10-1010-810-610-410-2100Fxy（q，s）EOAEOADBKFIG。

13：（彩色在线）（顶部）Fxy（q，s）函数系列，用于计算E.ON（EOA）和德意志银行（DBK）的价格增量和等待时间的时间序列。每个面板上的最低线和最高线分别表示q=0.2和q=4。虚线表示与上述数据相同的q和s（底部）多重分形互相关指数λq（黑圈）和平均广义Hurst指数hxy（q）（红方块）的缩放边界。指数λqa仅估计为1≤ Q≤ 4.对于较大的q值，函数彼此收敛，而对于较小的q值，λqi显著大于hxy（q）。这些结果表明，Fxy（q，s）的标度特性强烈依赖于所考虑的时间跨度，并且不能用唯一的指数λ完全量化。此外，根据我们对MSM模型的结果，我们可以推断，所分析的过程仅在Fxy（ν，s）（与大q相关）相对较大的周期内由相似的分形动力学控制。对于较小的q，λqa和hxy（q）之间的差异更为明显，这表明这些过程的动力学存在显著差异，但仍然是相互关联的。值得一提的是，Fxy（ν，s）的大值可能是信号的符号和幅度的互相关的结果。然而，等待时间是无符号的，价格增量是有符号的，但符号是不相关的。这意味着，在我们的例子中，Fxy（ν，s）的振幅仅仅是观测振幅互相关的结果。图14证实了波动率（时间序列模数）的强互相关，其中描述了等待时间和价格增量绝对值的互相关函数。因此，我们得出结论，大的波动比小的波动具有更强的交叉相关性。

多重分形互相关的复杂性由λqt的范围表示，在这种情况下，该范围约为0.32。正如已经从DBK的Fxy（q，s）结构中可以预期的那样，λqi的行为略微不同于0510152025τ00.050.10.150.2 C xy0 10 20 30 4050τ-0.01-0.00500.0050.01 C xyFIG。14：（在线彩色）互相关函数Cxy（τ）=xi+τ| | yi |对应于EOA（黑色方块）和DBK（红色圆圈）的价格增量和交易时间的模数。插图：相同的函数，但为随机数据计算。对于较小和较大的q值，hxy（q）和λqi之间的差异都很大（图13，右面板）。而且DBK的λqf小于EOA情况下的λqf，取值为0.22。这表明，尽管BK的交易时间与价格增量之间的互相关结构是多重分形的，但其异质性比EOA的情况要差。此外，与前一种情况相比，大波动的分形动力学之间的相似性并不明显。图14也证实了这些结果，其中两种股票的波动性互相关强度之间的差异显而易见。本文给出的结果表明，多重分形互相关仅表征了所研究信号的相对较大的波动。

从多重分形互相关的角度来看，被q<1过滤掉的较小的函数可能被认为是相互独立的。关于本例，我们还希望提到——但为了不让读者感到困惑，我们没有明确地展示结果——在当前的财务数据情况下，采用函数的绝对值来消除符号问题（正如最近文献[44–46]中经常做的那样），将导致所有Q值的令人信服但明显的多重分形标度，类似于我们已经在图9中看到的MSM模型。此外，如此确定的λqequals hxy（q）与MSM模型中相同。然而，这种多重分形的平均特性只能用一种方法来衡量。另一种既有理论意义又有实际意义的相关性是股票收益之间的相关性[4,62]。这些通常是皮尔逊相关系数的量化中间值，或者更高的gen100 1000 10000s10-410-310-210-1Fxy（q，s）100 1000 10000s10-410-310-210-1Fxy（q，s）0 1 2 3 4q0。30.40.50.60.70.80.9λq，hxy0 1 2 3 4 q0。30.40.50.60.70.80.9λq，hxyCBK，DBKCBK，DBKDBK，EOADBK，EOAFIG。15:（彩色在线）（顶部）qth阶互协方差函数Fxy（q，s）系列，用于计算对应于德国商业银行（CBK）和德意志银行（DBK）以及德意志银行和E.ON（EOA）的两对股票的1分钟收益率。每个面板上的最低线和最高线分别指q=0.2和q=4。虚线表示q和s（底部）多重分形交叉相关指数λq（黑圈）以及samedata的平均广义Hurst指数hxy（q）（红色方块）的标度范围。λq的计算限制在0.6≤ Q≤ 4.一般来说，在相关矩阵方面。

然而，这种量化相关性的方法仅限于它们的线性分量。目前研究多重分形互相关的形式允许我们揭示它们的一些潜在非线性成分。因此，作为一个例子，我们使用了与上述相同的两支股票（EOA和DBK）以及同一时期德国证券交易所的德国商业银行（CBK），并对代表相应1分钟回报的两对时间序列（CBK-DBK和DBK-EON）进行了与上述类似的分析。在所考虑的期间内，这将产生267241个数据点。图15显示了与之前相同表示的结果。对于q<0，由于相应的Fqxy（s）函数在零附近波动，因此不绘制Fxy（q，s）。然而，当我们进入正q值时，他们已经开始为这两个对和所有考虑的标度的q=0.6（如虚线所示）开发一个令人信服的标度。这种标度显然是多重分形的，图15下面板中显示的结果λqa和hxy（q）比之前考虑的价格增量和交易间时间之间的相关性更接近。然而，目前两对时间序列之间的细微差异也很明显。对于DBK-EON，λqa和hxy（q）之间的分离在缩放应用的区域中基本上与q无关，而对于CBK-DBK，它从最大值开始，得到最小的q值（0.6），但随着q的增加，它收敛到更小的值。

这可以被解释为表明，对于CBK和DBK，互相关的多重分形特征在大的波动水平上更相似，而对于小的波动水平，则减弱，而在DBK-EON对中，它们在可比的波动大小范围内具有相似的强度。当然，在这两种情况下，这种相互关联在被q的负值过滤掉的小波动水平上消失，在金融环境中，这似乎是一种相当自然的影响。作为本文介绍的MFCCA方法可能应用的最后一个例子，我们研究了道琼斯工业平均指数（DJIA）和德国Aktiennindex（DAX）这两个世界领先的股票市场指数之间的相互关系，基于它们的日收益率。这两个指数的考虑期从1990年1月12日开始，到2013年10月12日结束。这导致时间序列的长度为5881个数据点。由于两个指数交易的时区不同，为了测试当前算法在检测相关性中可能存在的时间滞后或不对称影响方面的潜在适用性，我们研究了时间序列相互定位的三种可能变体。第一个变量是最自然的，即两个时间序列中的数据点在记录的同一日期相遇。其他两个变量是这样的，时间序列相对于彼此移动一天，要么DAX提前一天，要么DJIA提前一天。相应的Fxy（q，s）功能显示在图16的上面板中。与上面讨论的高频记录不同，本例中明显较短的时间序列限制我们覆盖较小的范围。然而，在这种情况下，仍然可以识别出明显的多重分形标度，如图中的虚线所示。

16，前提是q的范围也受到限制。与德国股票中高频互相关的情况类似，这里的Fqxy（s）也会在负qs的情况下在零左右波动，因此没有显示相应的函数Fxy（q，s）。有趣的是，在s中，当我们从同一个点移动到被称为“DJIA leads”的情况下，缩放开始的下限明显升高，并在“DAX leads”的情况下变得最短。因此，hxy（q）与λqin之间的偏差会随着上述三个相对位置DJIA与DAX（图16的下面板）的变化而增加，当然，hxy（q）相对于时间序列的相对位移保持不变。当序列最初相对排列时，检测到最强的DJIA-DAX多重分形互相关。然而，它们的相对1天变化揭示了不对称的影响。“DJIA导联”的情况比相反的“DAX导联”情况保留了更多的这种交叉相关性。这一结果可以解释为DJIA收盘对下一日DAX收盘的影响大于DAX收盘对下一日DJIA收盘的影响。事实上，作为额外验证，将时间10 100 1000 s10-510-410-310-210-1Fxy（q，s）0 1 2 3 4 q0分开。40.450.50.550.60.65λq，hxy（q）λq-原始位置hxy（q）λq-DJIA leadsλq-DAX leads DAX leads SDJIA leads原始位置10-110-2××图16：（彩色在线）（顶部）为代表两个市场指数的日变化的时间序列的不同同步水平计算的qthorder交叉协方差函数Fxy（q，s）的三个族，DJIA和DAX：（1）同步（原始）指数位置，（2）DAX相对于DJIA延迟一天（DJIA导联），以及（3）反之亦然（DAX导联）。为清楚起见，“djileads”和“DAX leads”的函数Fxy（q，s）是垂直移动的。

每种情况的最低和最高线分别指q=0.2和q=4。虚线表示q和s（底部）多重分形互相关指数λq的标度边界，以及为相应时间序列（0.8）计算的平均广义赫斯特指数hxy（q）≤ Q≤ 4).本系列分为两半，表明这种影响在20世纪90年代比最近更为明显。从经济学角度来看，这两个股票市场之间信息传递的这种不对称是可以理解的，事实上，这也与之前基于相关矩阵形式主义的研究[63]一致。最后，我们希望指出，当前两个时间序列的较远相对位移会迅速恶化多重分形互相关，而同时基于模的MF-DXA方法使其保持不变。四、 总结与结论我们提出了一种算法，我们称之为多重分形互相关分析，它允许定量描述两个时间序列之间的多尺度互相关，并且不受其他现有算法（如MF-DXA）的限制。将MFCCA与其他相关方法区分开来的关键点是等式（3）中的qth阶互协方差函数Fqxy（s）的构造，它在将互协方差函数Fxy（ν，s）的模提高到q/2的幂次后保留其符号。这一步有两个直接后果：（1）它消除了出现复杂值的风险，这可能会导致其正确解释出现问题；（2）它禁止丢失存储在负互协方差中的信息。正如我们展示的那样。关于已知的模型数据，与MFDXA的平行结果相比，MFCCA得到的结果更符合逻辑，更符合直觉。

对于有符号和无符号的类似波动性的过程来说都是如此。在此基础上，我们得出结论，与迄今为止已有的其他相关方法相比，MFCCA为我们提供了有关分形互相关的最完整信息。意识到这一点后，我们应用MFCCA从股票市场中抽取真实世界的数据。我们发现，股票间的相关性和滞后的市场间收益相关性，以及价格变动和相应的交易时间间隔之间的相关性都是明显的多重分形。此外，我们还发现，这些互相关的载波主要是两个信号中的大信号，而较小的信号贡献很小。这一结果可能表明，财务复杂性的一个重要组成部分可能是重大事件之间的时间关系，它在这里表现为多重分形。除了介绍MFCCA外，我们还关注了qth阶标度指数λq和平均广义hurst指数hxy（q）之间的关系。如果想要理解所研究数据的分形结构，这两个指标同样重要。这是因为对每个信号进行并行频谱分析时，它们各自包含有关其分形结构相似性的信息。例如，基于模型数据，我们发现λq和hxy（q）之间的差异越大，所考虑的（多重）分形的差异就越大。因此，我们强烈建议同时调查这两个量。我们相信，本文提出的方法将使多重分形互相关分析在不同科学领域的经验数据中得到更广泛的应用。五、