一类具有力学和动力学性质的网络动力学的解析解

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英文标题：
《Analytical solution for a class of network dynamics with mechanical and
  financial applications》
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作者：
Pavel Krej\\v{c}\\\'i, Harbir Lamba, Sergey Melnik and Dmitrii Rachinskii
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We show that for a certain class of dynamics at the nodes the response of a network of any topology to arbitrary inputs is defined in a simple way by its response to a monotone input. The nodes may have either a discrete or continuous set of states and there is no limit on the complexity of the network. The results provide both an efficient numerical method and the potential for accurate analytic approximation of the dynamics on such networks. As illustrative applications, we introduce a quasistatic mechanical model with objects interacting via frictional forces, and a financial market model with avalanches and critical behavior that are generated by momentum trading strategies.
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中文摘要：
我们证明了对于节点处的某类动力学，任何拓扑的网络对任意输入的响应都是通过其对单调输入的响应以一种简单的方式定义的。节点可以具有离散或连续的状态集，并且对网络的复杂性没有限制。这些结果提供了一种有效的数值方法，并为此类网络上的动力学提供了精确的解析近似。作为示例应用，我们介绍了一个准静态力学模型，其中对象通过摩擦力相互作用，以及一个金融市场模型，其中包含由动量交易策略产生的雪崩和临界行为。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Disordered Systems and Neural Networks        无序系统与神经网络
分类描述：Glasses and spin glasses; properties of random, aperiodic and quasiperiodic systems; transport in disordered media; localization; phenomena mediated by defects and disorder; neural networks
眼镜和旋转眼镜；随机、非周期和准周期系统的性质；无序介质中的传输；本地化；由缺陷和无序介导的现象；神经网络
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Social and Information Networks        社会和信息网络
分类描述：Covers the design, analysis, and modeling of social and information networks, including their applications for on-line information access, communication, and interaction, and their roles as datasets in the exploration of questions in these and other domains, including connections to the social and biological sciences. Analysis and modeling of such networks includes topics in ACM Subject classes F.2, G.2, G.3, H.2, and I.2; applications in computing include topics in H.3, H.4, and H.5; and applications at the interface of computing and other disciplines include topics in J.1--J.7. Papers on computer communication systems and network protocols (e.g. TCP/IP) are generally a closer fit to the Networking and Internet Architecture (cs.NI) category.
涵盖社会和信息网络的设计、分析和建模，包括它们在联机信息访问、通信和交互方面的应用，以及它们作为数据集在这些领域和其他领域的问题探索中的作用，包括与社会和生物科学的联系。这类网络的分析和建模包括ACM学科类F.2、G.2、G.3、H.2和I.2的主题；计算应用包括H.3、H.4和H.5中的主题；计算和其他学科接口的应用程序包括J.1-J.7中的主题。关于计算机通信系统和网络协议（例如TCP/IP）的论文通常更适合网络和因特网体系结构（CS.NI）类别。
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
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关键词：动力学 Applications Quantitative localization Econophysics

一类具有机械和金融应用的网络动力学的解析解P。Krejˇci、H.Lamba、S.Melnik和D.Rachinskii4，5捷克共和国科学院数学研究所、捷克共和国布拉格、乔治·梅森大学数学科学系、费尔法克斯、USAMACSI、利默里克大学数学与统计系、爱尔兰应用数学系、科克大学学院、爱尔兰数学科学系，德克萨斯大学达拉斯分校，Richardson，德克萨斯75080，USA我们证明，对于节点处的某类动力学，任何拓扑的网络对任意输入的响应都可以通过其对单调输入的响应以简单的方式定义。节点可以具有离散的或连续的状态集，并且对网络的复杂性没有限制。这些结果不仅提供了有效的数值方法，而且为在此类网络上精确解析近似动力学提供了可能。作为说明性应用，我们介绍了一个准静态力学模型，其中对象通过摩擦力相互作用，以及一个金融市场模型，其中包含由动量交易策略产生的雪崩和临界行为。PACS编号：89.75。Hc，75.60。Ej，89.65。生长激素，89.75。Fb，64.60。aqI。导言网络上的动态过程用于模拟各种各样的现象，例如通过人群传播观点[1]，传染病传播[2]，大脑中的神经信号[3]，以及金融系统中的级联违约[4]。

在统计力学[5]、地震断层系统中裂纹的雪崩和扩展[6]、渗流现象[7,8]、裂纹噪声[8,9]和各种材料本构关系中的迟滞[10]中，使用规则晶格的类似动力学过程模拟相变和临界现象。底层网络的结构可能会强烈影响动力学、网络对输入和参数变化的响应，以及参数的临界值，如随机场自旋相互作用模型的临界温度[11]，或疾病传播模型的流行病阈值[12–14]。因此，预测网络对输入或初始状态变化的响应是一个重要的问题，对于许多现实世界和随机生成的网络（例如，具有任意度分布的网络）[15]来说，这仍然是一个开放的问题。通常假设上述网络的节点具有由Heaviside阶跃函数建模的双阶响应[16]。在本文中，我们考虑了具有不同类型节点的网络，这些节点被描述为Prandtl-Ishlinskii（PI）算子。我们为输入状态提供了一个几乎明确的解决方案。Prandtl（1928）和Ishlinskii（1944）分别提出的塑性和摩擦的经典Prandtl-Ishlinskii模型[17,18]是通过简单滞后算子（停止）的线性叠加获得的，该算子模拟了可能具有不同物理性质的非相互作用纤维。最近，该模型在传感器和执行器控制等领域有了新的应用[19,20]。在铁磁性[21,22]、磁致伸缩[23]和多孔介质流动[24]建模中使用的著名Preisach模型也可以被视为Prandtl-Ishlinskii模型的非线性推广。

本文引入的PI算子通过引入模拟雪崩的非连续响应的可能性，推广了经典的普朗特-伊什林斯基模型。本文的目标有两个：第一，提出一种求解网络动力学（具有任意复杂拓扑）的新方法；第二，探索迟滞现象的标准模型如何在大多数情况下假设节点处PI算子网络没有交互输出关系。本质上，我们证明了PI节点的网络也是一个可能具有不连续响应的PI算子。这一事实对可由连接的PI节点网络建模的系统类别设置了限制，同时为我们提供了一种有效的工具，用于将网络拓扑映射到其动力学。将考虑两个激励性的例子，一个是机械方面的，另一个是财务方面的。二、力学例子在力学方面，PI模型描述了弹塑性材料中应变x和应力σ之间的滞后关系[25]。最简单的例子是普朗特的自弹性完美塑性元件[17]，它结合了这种限制-R≤ σ ≤ 假设|σ|<r时服从虎克斯拉夫。将普朗特元素的输入时间序列x（t）转换为输出时间序列σ（t）=Sr[x]（t）的运算符Sr称为stop。图1（a）显示了作为库仑摩擦元件和理想弹性元件级联连接的基本力学模型，以及（x，σ）平面上的平行四边形滞后环。

在库仑摩擦模型中，力σ增加（不引起运动），直到达到极限值σ=±r，此时运动开始，力保持不变。在一般的PI模型中，具有不同极限r的停止点被叠加，因此σ（t）=r∞Sr[x]（t）du（r），其中u是某种累积分布函数。根据这种关系，每次输入x出现转折点时，在（x，σ）平面上会启动一个新的磁滞回线，见图2。与Isingand Preisach模型[26,27]一样，PI模型具有返回点记忆，这意味着当输入重复其超过极值时，一个迟滞回线闭合，动力学过程就像没有这样的回线一样进行[17]。此外，基本滞后算子之间的相互作用将影响这些算子。UK1123（a）（b）图1。（彩色在线）（a）停止操作的机械类比：一个理想的弹簧和一个串联在干燥表面上的物体。当弹簧应力σ在范围内时(-r、 r），位移x的变化导致σ的线性变化，而物体在表面上保持静止。弹簧应力以±r的值夹紧，而物体按照x.（b）一个机械模型相对于表面移动，该模型有三个节点，每个节点通过两个弹性弹簧连接到固定的左板和移动的右板，相互作用由停止操作符建模，如（a）所示。所有环路的形状由主响应（PR）函数R（x）=2Rx/2（u）明确定义(∞) - u（r））dr。也就是说，对于每个回路，输入增加的弧是PR函数图的移位初始段，而输入减少的回路弧与输入增加的弧在中心对称，见图2。

这些性质使得我们可以使用PR曲线以图形的方式将任意分段单调输入x（t）映射到输出σ（t）。等效地，可以使用输入x（t）（参见[28]）σ（t）=R（2X（t））+Xk的运行主极值Xk（t）序列≥1(-1） kR|Xk+1（t）- Xk（t）|, （1） 其中，我们假设每个停止sr的初始输出为零，且x（0）=0的非负输入为零。这里，连续运行的主极值定义为Xk（t）=maxτk-1.≤τ≤oddk的tx（τ）≥ 1和Xk（t）=最小τk-1.≤τ≤偶数k的tx（τ）≥ 1，其中τ=0，τkis为t之前的最后一个时刻，此时x（τk）=Xk。对于R（0）=0且具有有界变化的任何可能不连续的函数R（x），由等式（1）定义的输入-输出关系（等价地，由图2定义）将被称为PI运算符IRPR函数R，并将被表示为σ（t）=IR[x]（t）。stop和PI模型都是PI算子。在PI模型中，停止不相互作用，但相互作用对于产生更复杂的磁滞回线是必要的。相互作用引起的复杂滞后反应示例xσ图2。（彩色在线）从粗线显示的PR曲线中获得的PI运算符的循环。每个滞后分支（虚线、虚线和实线）都是PR曲线对应段的移位（或移位并旋转180度）图像。包括自旋相互作用模型[5,6]，移动Preisach滞回模型[29]，以及非理想继电器网络[25]。这种相互作用使模型更难处理，模型参数的确定也非常困难。因此，在大多数滞后现象学模型中，模型的基本滞后组件（如停止或继电器）之间没有相互作用被认为是必要的简化。

然而，我们将证明，PI算子网络（包括交互平台系统）在广泛且定义良好的假设下，在分析上是可处理的。我们现在以一个相互作用的站点网络为例，对一个机械系统的准静态一维动力学进行建模，该系统由N个沿x方向伸长的刚性纤维组成，它们之间由于摩擦而相互作用。纤维在两个板之间拉伸；左板固定，右板承受与时间相关的准静态载荷。在图1（b）中，每个纤维由一个节点（N=3）表示，该节点通过线性弹簧连接到两个板上。节点之间的相互作用由Maxwellslip摩擦单元模拟[30]。每个节点的力平衡可以写成-kiξi+~ki（u）- ξi）+Xj=1，。。。，Nj、 iai jSri j[ξj- ξi]=0，（2）式中，ξi是节点的位移，右板的位移Uo是时变输入，Ki和Ki分别是连接到左板和右板的弹簧的力，所有初始位移和力均为零。根据作用-反应原理，矩阵ri-jan和邻接矩阵ai-j通过粘着和动摩擦量化节点之间的相互作用强度，它们是对称且非负的。系统因摩擦而耗散能量，系统的内能isU=Pi（kiξi+~ki（u- ξi））+PiPj<iai j（Sri j[ξj- ξi]）。我们的主要观察结果是，如果随着输入u的增加，每个距离|ξi- ξj |单调地对应于一个非零输入，那么对于所有可能的输入u（t），每一个位移ξi和输入u之间的关系由PI算子描述。

这一事实植根于复合公式[31]，该公式确保了两个具有PR函数R和R的PI算子的级联连接σ=IR[IR[u]]，其中Ris单调本身就是一个PI算子IRoR带有PR功能（Ro R） （u）=R（R（u））。用合成公式代替式（2）中的关系式ξi（t）=IRi[u]（t），并用它们的PR函数替换PI算子，我们得到了代数系统kiu- （ki+ki）Ri（u）+Pj，iai jφRi j（Rj（u）-Ri（u））=0，用于描述节点位移的Pi算子的PR函数Rio，其中φris为停止点Sr的PR函数=Iφr，见图3（a）。这些方程的Browder-Minty性质[32]确保所有PR函数都是连续且递增的。由于ξi（u）=Ri（2u）/2，这些函数可以通过系统对增加的输入u的响应来测量。相对位移ξi的单调性- ξj随u的增加是确保系统（2）中任意输入u（t）的节点和板的位移之间的PI关系ξi（t）=IRi[u]（t）的一个重要条件。即使在三节点系统中，差异ξi-ξj在u中可以是非单调的，在这种情况下，ξi和u之间的关系失去了ig。3.若干PI算子示例的PR曲线R（x）与输入x：（a）停止，（b）播放，（c）二元PI算子，以及（d）二元PI算子的连续近似。返回点内存属性将变得更加复杂。图4给出了这种行为的一个例子。这里是相对位移ξ- 当输入增加（减少）时，节点1和节点2之间的ξ非单调变化；参见下面板。

因此，输入u和位移ξ时间序列之间的关系不是PI形式：例如，当输入u从-100到-80和回到-100，磁滞回线不闭合，如上面板中的粗线所示（详情见附录A）。然而，如果所有摩擦力与弹簧力相比相对较小，则距离ξi-ξjaremonotone和ξi（t）=IRi[u]（t）。例如，图5显示了三个相互作用的纤维（节点）系统，其中所有三个相对位移|ξi- ξj |随着输入u的增加（减少）而单调增长（见下面板）。因此，每个节点的位置ξiis与通过PI算子ξi（t）=IRi[u]（t）的右板u的位移有关。事实上，图5（见上面板）中的所有磁滞回线都是闭合的且中心对称的，这是PI算子的特性。换句话说，弱相互作用仅仅对应于pa-100-95-90-85-80-75-2.-101uξ1-7.-6.-5.-4.-3.-2.-1 0-101234输入uξi–ξjξ1–ξ2ξ2–ξ3ξ1–ξ3图。4.（在线上色）一个例子，其中ξ- ξ对于递减输入u（下面板）是非单调的，因此u和ξ之间的关系失去了返回点内存属性（上面板粗体线所示的非闭合循环）。在本例中，系统由三个纤维（节点）组成，如图所示。1（b）。每个节点与其他两个节点交互，它们之间的交互力为1（即，所有ai j=1），所有停止操作符都具有相同的ri j=1。左弹簧的阻尼参数为k=1、k=10、k=1，右弹簧的阻尼参数为k=0、k=1、k=10。

最初，所有位移均为零。停止运算符饱和或去饱和时的u值（见附录A表I）用符号表示。-100-95-90-85-80-75-2.-1012输入uξ1-7.-6.-5.-4.-3.-2.-1 001234输入uξi–ξjξ1–ξ2ξ2–ξ3ξ1–ξ3图。5.（在线上色）ξi- ξjare单调，因此ξi（t）=IRi[u]（t）。网络结构、参数和u的变化与图4相同，只是k=k=1。上面板显示了第一个节点的位置ξ随输入u的变化，输入u从0开始，在以下转折点之间单调变化：{0，-100, -80, -100, -90, -97, -75}. STOP操作员饱和或去饱和时的u值（见附录A）用符号表示。ξ、ξ对u的曲线图（未显示）以及ξi的任意加权和曲线图也显示了对称循环。下面板显示位移|ξi的单调增长- ξj |从0开始减少输入u。Prandtl-Ishlinskii模型中的参数变化，因此不能在模型响应中引起任何额外的复杂性。这个场景提供了一个合理的解释，解释了为什么普兰特·伊什林斯基模型下的简化现象学在多个应用中给出了很好的近似值[17–20]。然而，更强的相互作用会产生更复杂的响应，如图4中的示例所示，该示例显示了棘轮效应（累积非闭合性滞后）的现象，这在任何Prandtl-Ishlinskii模型中都不会发生。请注意，例如，在疲劳和损伤研究中使用的棘轮效应标准模型（参见[33]第5.4.4节）将普朗特-伊什林斯基模型与额外的非线性结合起来。附录A.III中给出了（2）等系统的模拟算法。