欧盟的贸易一体化和贸易失衡：一个网络

特别是，任何国家都与通常为数不多的最终贸易债权人或债务人有关联，这导致了比直接债务或盈余提供的情况更简单、更易读的情况，如结果和讨论部分所示。对称分量的对称流通过邻接矩阵aSij=min（aij，aji）获得。一个简单的观察表明，不存在满足对称条件的更大网络（在边的重量可能大于此解的意义上更大）。换句话说，aSijit是优化问题的重要、唯一的解决方案：MaximizeXijXijXij subject to xij=xji，i、 j，0≤ xij≤ 哎呀，i、 j.（1）邻接矩阵的合成网络的循环流AAS=A- 由于不包含任何双向边缘，我们通过最大化气体边缘上的流动来提取循环分量，同时要求每个节点中的流入和流出流动量相等，并且每个边缘上的流动不超过其权重。它可以正式地写成一个类似于最大流的优化问题z=maximexijxi，j∈Vxij∈Vxij-Xj∈Vxji=0，i、 0≤ xij≤ aASij，i、 j∈ 五、 （2）通过标准线性规划方法找到的这个问题的解决方案是图的循环分量。然而，通常可能会有许多这样的循环流，它们的总价值都相同。我们想在不同的极端解决方案中选择一个尽可能分散的解决方案，因为它是最“中性”的，不支持一个循环而不是另一个循环。一个共同的“多样性指数”[12,13]表示一种资源在多个参与者中的分配公平程度（例如，公司的市场份额或物种的食物），由每个参与者的数量平方给出。

例如，如果一个单位资源在数量为α、β、γ的三个参与者之间共享，那么当α=β=γ=1/3时，α+β+γ的平方和最小。这类似于最大熵参数（尽管这里的概率上下文并不明确），因为多样性指数实际上相当于R’enyi的熵[14]。因此，我们选择以下平方和最小化问题的特定最大流量：z=minimizexijXi，j∈VXI，j∈Vxij=z*Xj∈Vxij-Xj∈Vxji=0，我∈ 五、 0≤ xij≤ 哎呀，i、 j，（3）这里是z*是问题（2）的最优成本。简单地说，问题（3）的解决方案选择了问题（2）的所有最优解决方案中在网络上传播最广的循环流。非循环流——本解决方案中未考虑的剩余链路——形成了非循环网络GAC，即邻接矩阵AAC=A- 像- AC.非循环成分可以进一步分解为基本流动，其中每一流动代表从债务国流向债权国的一定数额的资金。这些基本流量代表了各国如何通过中间节点直接或间接地相互创造债务或盈余。引言中已经讨论了间接债权人/债务人关系的经济相关性，下文的结果和讨论部分对此进行了说明。无环组分分解为这些基本流通常是非唯一的。我们总是可以选择这样一种分解，即每个国家永远不会既是某些国家的债务人，又是另一些国家的债权人。事实上，如果一个基本流从i流到j，另一个流从j流到k，那么这个流的至少一部分可以合并成一个较长的流从i流到k。

这种分解具有解释简单的优点，因为每个国家要么是纯粹的债务人，要么是纯粹的债权人，要么根本不是。在所有可能的此类分解中，我们选择了一种在所有可能的贸易路线上尽可能在两个国家之间分散流动的分解，类似于循环分解。我们现在给出基本流的计算细节。我们从一个任意无环加权图G开始（因为我们假设我们已经去掉了对称和循环部分），它由一组节点V和一组边E组成，并由其加权邻接矩阵a={aij}|V|i，j=1表示。该算法通过重复分解为单一来源的单一目的地流，我们称之为基本流。在这种情况下，来源是债务人，目的地是债权人。在第一次迭代中，源S被视为零indegree节点，目的地D被视为零outdegree节点。在不丧失普遍性的情况下，我们假设水流是连通的（否则我们会逐个处理连通的组件）。这尤其确保了没有节点既是源又是目的地。基本流量是在S和D之间计算的，我们将在下文中解释。然后，这些流被提取出来，显示出要分解的较小流，可能有源和目的地的新闻集，在其上执行新的迭代，依此类推，直到整个非循环流被分解。该算法的一次迭代包括三个步骤，我们现在详细介绍这三个步骤。首先，从源头到目的地的最大可能流量是通过一个经典的最大流量问题来计算的：w=maximizexijXi∈S、 j∈VXSJ∈Vxij-Xj∈Vxji=0，我∈ V\\{D∪ S} ，0≤ xij≤ 哎呀，i、 j∈ V（4）这个问题的解决方案通常不是唯一的。

例如，如果网络中存在瓶颈，则最大流量可能从一个源流向一个目的地，或从另一个源流向另一个目的地，或可能在两条路径之间共享。与循环分解类似，我们因此选择一个最大流量，该最大流量尽可能分散在不同的极端解决方案中，具有以下平方和最小化问题：w=最小化SD，xsdijXs∈S、 d∈D（ysd）受试者毒物∈S、 d∈Dysd=w*,Xj∈Vxsdsj=ysds∈ S、 d∈ D、 Xj∈Vxsdij-Xj∈Vxsdji=0，我∈ V\\{S∪ D} ，s∈ S、 d∈ D、 Xs∈S、 d∈Dxsdij≤ 哎呀，i、 j∈ 五、 0≤ xsdij，i、 j∈ 五、 s∈ S、 d∈ D.（5）这里是w*是问题（4）的最优成本。问题（5）的解决方案将从源头到目的地的总流量分解为从单一源头s到单一目的地d的单个流量，值为ysd，并选择将最大流量w分散*在各个单一来源和单一目的地之间尽可能多地流动。我们希望进一步确定流动ysd循环的中间节点和边，即确定xsdijon边ij对流动ysd的贡献。同样，这些贡献可以通过多种方式体现出来，我们通过最小化xsdijj的平方和，同时保持之前找到的最佳值ysd，找到最分散的分解*对于单曲。w=Xisdij，xijXs∈S、 d∈D（xsdij）受试者toXj∈Vxsdsj=ysd*s∈ S、 d∈ D、 Xj∈Vxsdij-Xj∈Vxsdji=0，我∈ V\\{S∪ D} ，s∈ S、 d∈ D、 Xs∈S、 d∈Dxsdij≤ 哎呀，i、 j∈ 五、 0≤ xsdij，i、 j∈ 五、 s∈ S、 d∈ D.（6）这结束了迭代。

通过从原始图形中减去每条边上的流（由xsdij给出），可以得到几个断开的组件，在这些组件上可以递归应用相同的过程，直到图形完全分解。计算和示例算法上，优化问题（2）到（6）采用线性或凸二次规划的形式，可以用常用方法有效地解决。图2给出了这种分解的一个例子，图中的一个流被分解为6个不同的流，从3个不同的来源到3个不同的估计。用通勤时间距离法衡量间接贸易一体化一个国家与另一个国家或国家集团的贸易一体化通常通过双边贸易与GDP的比率来衡量。比例越大，该国与其合作伙伴的融合程度就越高。这一措施的直接意义在于，这些统计数据没有考虑贸易伙伴在网络中的地位或中心地位。我们建议使用贸易网络中随机行走美元的通勤时间，作为衡量国家之间相互融合的指标，同时考虑到它们之间的直接和间接联系。两国之间的通勤时间短意味着两国之间的贸易距离小，即高度的相互融合。随机美元和通勤时间距离通勤时间距离是在图或马尔科夫链上随机游动的一般背景下定义的[15,16]，在本例中是从一个思维实验开始的。我们想象世界上流通的所有货币都以一美元纸币的形式出现。识别一个特定的音符，我们会在它从一只手切换到另一只手时跟踪它。

我们假设一个人支付的每一美元都是在她所拥有的所有美元中随机均匀地选择的。目前，我们还假设时间不变性：每两个有经济联系的个体，都有定期的经济联系，其频率和强度（例如，通过一年内交换的美元数量衡量）在时间上是恒定的，因此随着时间的推移，个体的预期财富（拥有的美元数量）是恒定的。在网络的给定节点中出现随机游走者的概率有时被称为节点的PageRank，类似于万维网上的一个著名搜索工具[10]，并给出了其在网络中的中心性的度量。在这种情况下，PageRankis与个人的预期财富成正比。在我们的例子中，节点代表单个国家，我们假设随机美元是按规则的离散时间步骤交换的，而不是按连续时间交换的。我们可以选择一个受限网络（例如欧洲），并在受限网络上执行随机游走，这与图2中的随机游走相对应。流中的分解示例。原始图（上图）是非循环的，通过反复应用问题（4）到（6），将其分解为六个流，使得流最分散。全球网络的条件是，随机美元留在受限网络中。在本文中，我们研究了随机美元游走，条件是它对应于欧洲境内一年产生的商品和服务贸易。这不包括非欧洲国家，也不包括前几年已经计入的二手商品贸易。在这个网络中，PageRank是一个真正的全球数量，它给出了一个国家在交换网络中的中心地位的有用指示，如[11]所示。

在本节中，我们介绍了另一种随机行走理论，即通勤时间，为贸易网络服务。设τ为从A国到B国的所谓到达时间，即从A国开始的随机音符第一次经过B国的时间。A国和B国之间的通勤时间距离定义为通勤时间τAB+τBA的平方根。这是一个欧几里德距离，这意味着n个国家中的每一个都可以嵌入Rn中，因此表示a和B的两点之间的通常距离与通勤时间距离一致。通勤时间距离的解释欧几里得通勤时间距离将国民经济作为几何空间中的一个点嵌入其中，两国的接近程度表明，两国GDP的很大一部分直接或通过一系列中间伙伴在两国之间进行贸易。假设A与B进行了积极的贸易，B与C（或C的合作伙伴）进行了积极的互动，那么A和C之间的通勤时间距离可能相对较短，这表明相互整合相当好，即使A与C之间的直接贸易与GDP之比为零。通勤时间可以进一步解释为一个国家的活动的小扰动传播到另一个国家，正如以下简单化的思维实验所表明的那样。想象一下，在a国创建了一项新活动，并打印了一张反映新活动价值的新美元。在对这项活动的性质一无所知的情况下，我们可以假设这一新的美元将在网络中随机使用。因此，击中时间表示A中微小的活动爆发在另一个国家B中的速度。同样的论点也适用于微小的活动破坏。

因此，我们衡量两国经济相互融合的标准可能与各国对对方经济健康状况的相互敏感性相一致。在一组国家内的整合迄今为止，我们将通勤时间-距离表示为一种成对关系，表明两国的相互整合。然而，我们通常更感兴趣的是评估一个国家如何融入区域或全球经济，而不是与特定的合作伙伴。显然，如果所有国家的经济体在通勤时间距离上彼此接近，那么一个区域经济就紧密地整合为一个整体，这就转化为通过直接效应或多米诺骨牌效应在整个网络中快速传播冲击。这可以通过各国欧几里德空间表示法的差异来评估，欧几里德空间表示法是到该地区重心的平均平方通勤时间距离。一个特定国家到重心的平方距离表明该国与整个区域网络的整合程度，而不是与特定国家的整合程度。计算和表示我们现在解释如何计算通勤时间距离。假设Imp是进口矩阵，其中IMPAB是A从B的进口量，对应于A到B的货币流动。对角化为GDPA+进口A- ExportsA，遵循一种观点，即A中产生的价值（但不进口也不出口）类似于从A到A的出口。随机美元的概率转移矩阵P=D-1Mab，其中D是强度的对角矩阵：DAAis是A行的Imp中心的总和。让我们用一个简单的例子来说明这个公式。假设a国以70美元的价格从B国进口钢材，制造价值100美元的汽车，其中60美元出口，40美元在当地购买。GDP是100- 70=30美元，ImpAA=40美元。

然后，随机美元将以70/110的概率从A跳到B（作为钢铁进口的对应物），并以40/110的概率留在A（作为汽车销售的对应物）。PageRank向量由P的主导左特征向量π给出，服从π=πP。如果我们把∏称为由∏构造的对角矩阵，那么拉普拉斯[16]就是∏- πP，A和B之间的通勤时间为τAB+τBA=（eA- eB）TL+（eA）- eB），其中ea是A国的列特征向量（除A项中的1外，处处都是零），L+是拉普拉斯函数的伪逆[16]。显然，矩阵L+可以被它的对称性部分（L++L+T）/2代替。为了便于数据的可视化或分析，可以对n个点进行k维主成分分析（对于任何k<n），这相当于用秩k近似替换（L++L+T）/2，从而将n个节点放置在k维平面中。如果相关，通常k=2用于可视化目的。这为网络[17]的经典表示方法[18]中的特征投影法提供了经济解释。对每年的数据重复这个过程，会产生一系列图像，描绘出欧洲经济年复一年的演变。结果和讨论欧洲的直接贸易不平衡我们现在展示了从流量分解方法衍生的工具如何有助于更好地理解欧洲贸易网络。国家间贸易结构的对称、循环和非循环构成了三种类型的经济互动。对称部分反映了两国既没有贸易赤字也没有贸易顺差的成对交换。循环部分反映了相同的互动方式，但在更多的参与者中循环。对称相互作用可以看作是长度为2的循环。

最后，第三部分包括资金从资本积累国流向盈余制造国的转移。对这三个组成部分的研究为欧洲贸易网络的演变提供了见解。首先，欧洲贸易中最大的部分是对称交换（图3），这反映了各国在一定程度上抑制其失衡的趋势。比如说，90%的对称交换的一小部分意味着，平均而言，双边直接失衡相当于总贸易的10%。其次，关于周期性交易的比例，其部分仍然接近于零，这表明平衡的国家集群只是整个贸易网络的一小部分。最近几年的趋势是略有上升，这表明各国越来越倾向于在国家集群内而不是在双边基础上进行贸易和平衡贸易。最后，无环交换的比例从1997年开始显著增加。这种非循环成分为考虑国家网络中的贸易失衡提供了一种新的方式。与侧重于两国间贸易赤字与GDP之比的传统方法相反，我们提出的工具更进一步，考虑了间接风险，以便最终更好地了解贸易流动的最终债务人和债权人。以太地的例子，见图4，在这方面是说明性的。考虑到直接措施（贸易赤字toGDP），荷兰在整个期间对德国和西班牙的贸易顺差不断增加。这些贸易顺差可以反映出相对竞争力的提高，贸易顺差来自出口的增加和进口的下降，但也可以反映出这对国家不特定的网络效应。