最优流动性供给

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英文标题：
《Optimal Liquidity Provision》
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作者：
Christoph K\\\"uhn, Johannes Muhle-Karbe
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  A small investor provides liquidity at the best bid and ask prices of a limit order market. For small spreads and frequent orders of other market participants, we explicitly determine the investor\'s optimal policy and welfare. In doing so, we allow for general dynamics of the mid price, the spread, and the order flow, as well as for arbitrary preferences of the liquidity provider under consideration.
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中文摘要：
小投资者以限价指令市场的最佳买入价和卖出价提供流动性。对于较小的利差和其他市场参与者的频繁订单，我们明确确定投资者的最佳政策和福利。在这样做时，我们考虑了中间价、价差和订单流的一般动态，以及考虑中的流动性提供者的任意偏好。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Optimal_Liquidity_Provision.pdf (499.21 KB)

2022-5-4 23:23:47 上传

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关键词：流动性 Optimization Quantitative Participants Differential

最优流动性供给*Christoph K¨uhn+Johannes Muhle Karbe¨2018年10月6日摘要小投资者以限价指令市场的最佳买入价和卖出价提供流动性。对于其他市场参与者的小息差和频繁订单，我们明确确定投资者的最优政策和福利。在这样做时，我们考虑了中间价、价差和订单流量的一般动态，以及考虑中的流动性提供者的任意偏好。数学学科分类：（2010）91B60、91G10、91G80。JEL分类：G11。关键词：限价订单市场，最优流动性供给，渐近性。1介绍金融市场上的交易有各种动机。例如，共同基金重新平衡其投资组合，对冲衍生品头寸，追加保证金可能需要清算大型资产头寸。此类交易需要向市场提供必要流动性的交易对手。传统上，这种做市商的角色是由指定的“专家”扮演的，他们同意以合同条款来匹配收到的订单，以赚取他们的出价和要价之间的差价。随着股票市场变得自动化，这种准垄断的设置已经让位于限制许多交易场所的订单市场。在这里，电子限价订单收集所有收到的订单，并自动配对匹配的买卖交易。这种限价指令市场允许几乎所有市场参与者参与系统的流动性供应，这已成为对冲基金流行的算法交易策略。本研究分析了流动性提供的最优策略及其绩效。与之前关于做市商的大多数工作不同，我们不考虑一个大型垄断专家（例如[10,2,15,3,12]），他会以最佳方式设定买卖价差。

相反，如[22,6,12,14]所述，*作者感谢Pierre Collin Dufresne、Paolo Guasoni、Jan Kallsen、Ren Liu、Mathieu Rosenbaum和Torsten Sch¨oneborn进行了富有成效的讨论，并感谢两位匿名推荐人提出了宝贵的意见。+德国法兰克福数学研究所法兰克福歌德大学，D-60054法兰克福上午，电子邮件：ckuehn@math.uni-法兰克福。德。感谢德意志银行（Deutsche Forschungsgeminschaft，DFG）项目“非流动性金融市场和限价订单市场中的最佳投资组合”的财务支持ETH Z–urich，f–ur Mathematik，R–amistrasse 101，CH-8092，Z–urich，瑞士和瑞士金融研究所，电子邮件johannes。穆勒-karbe@math.ethz.ch.部分由瑞士国家科学基金会（SNF）国家能力研究中心“金融估值和风险管理”（NCCR FINRISK）项目D1（金融风险管理中的数学方法）提供支持。27]，我们关注的是一家小型流动性供应商，该供应商通过分别以外部给定的买入和卖出价格发布限制买入和卖出订单来选择提供多少流动性。为了便于处理，我们假设流动性提供者的限制指令完全针对任何传入的市场指令执行，并且通过上述限制价格的选择，她的指令优先于其他市场参与者提交的限制指令。因此，我们从以不同限价下订单的激励中提取，这导致必须考虑的战略空间的巨大维度降低。也就是说，我们不必对整个订单进行建模。相反，我们的模型完全由买卖价格过程和其他市场参与者的市场订单到达时间来确定。

我们假设风险资产的中间价遵循鞅，并考虑其他市场参与者的小息差和频繁订单的实际相关限制机制。因此，我们在考虑中间价、价差和订单流量的任意动态，以及考虑流动性提供商的一般偏好的一般情况下，获得了明确的公式。考虑到流动性提供者的风险厌恶、资产的波动性以及外生订单的到达率，该模型告诉我们通过下达限额订单可以提供多少流动性。然而，我们的模型是从订单簿的精确微观结构中提取的，特别是从单位价格网格中提取的，以及对订单量信息的使用。本着这种精神，我们处理的扩散过程比整数值跳跃过程更容易处理。忽略交易量的影响，我们的模型具有标准无摩擦市场模型和按比例交易成本模型的特点。因此，该模型无法回答这样一个问题：例如，是否将最优规模的限购单精确地置于当前最佳出价，或者可能高于/低于它一个点。在这种情况下，最优策略由风险资产中货币头寸的上下限决定，投资者在另一市场参与者的外生市场指令到达时进行交易。因此，这些目标头寸决定了投资者在限额指令簿中公布的流动性金额。K–uhn和Stroh[22]通过解决具有单位风险厌恶的对数投资者的自由边界问题来描述这些边界，该投资者在具有恒定指令流的市场中仅保持多头头寸，并遵循正漂移的几何布朗运动进行买卖。

在本研究中，我们在一个带有鞅中间价的一般设置中显示，在其他市场参与者的小价差和频繁订单的限制下，上下目标头寸由βt=2εtα（2）tARA（x）σt，βt=-2εtα（1）tARA（x）σt.（1.1）在这些公式中，2ε是相对买卖价差的宽度，α（1）和α（2）是其他市场参与者的市场买卖订单的到达率，σ是风险资产回报的波动性，ARA（x）是投资者在其初始位置x的绝对风险规避，提供的最佳流动性量与资产的局部方差引起的库存风险成反比，由投资者的风险厌恶程度来衡量。相反，流动性准备金与每笔交易的报酬（即相对利差2εt）和到达率α（1）t成比例。这两个条件的乘积在通常的默顿头寸中扮演风险资产预期回报的角色，因为它描述了投资者单位时间的平均收入，根据她的风险厌恶和资产回报的方差进行交易，以确定最佳目标头寸。然而，这里的收入是通过扣除其他交易者的买入而获得的，对于交易成本较小的模型，最近的相关结果由[28,24,30,21,20]确定。这些对应于流动性接受者的最佳交易策略，其需求由流动性提供者（如本文所述的提供者）匹配。与经典的默顿问题不同，抛售订单是通过参与风险资产的趋势生成的。请注意，上述策略是短视的，因为它只取决于模型的局部动态；前导订单不考虑未来的变化。上述策略的绩效也可以量化。

在前导阶，它的确定等价性由x+ARA（x）E给出ZT（βtA（1）t+βtA（2）t）σtdt, （1.2）式中ω∈ A（1）t如果投资者在时间t之前的最后一次交易是一次购买，那么她的仓位会下降到上限βt。同样，ω∈ A（2）t如果投资者在上一次交易是出售风险资产后的头寸接近下限βt。因此，在限价指令市场中提供流动性的确定性等价物由未来平方目标头寸的平均值（相对于状态和业务时间σtdt）给出，并由风险规避重新调整。如果所有模型参数均为常数，则上述公式简化了tox+（2εα（1））（2εα（2））2ARA（x）σT。因此，在这种情况下，流动性准备金在前序相当于年金比例，即投资者分别从购买和销售中获得的收入的“漂移率”2εαIo除以投资者风险规避的两倍，再乘以风险资产的方差。在对称情况下，α（1）=α（2）=α，这与Black-Scholes模型中经典默顿问题的相应结果直接类似，其中等效年金由Sharperatio的平方除以投资者风险规避的两倍得出。对于给定的总订单流量α（1）+α（2），不对称性α（1）6=α（2）减少了流动性提供者的确定性等价物，因为它们减少了通过净额结算连续买卖交易在几乎没有库存风险的情况下赚取差价的机会。对于流动性提供者来说，我们的模型是一个过于乐观的游乐场。这些交易不会产生监控成本，并且总是在不必进一步缩小价差的情况下完全执行限额指令。订单的提交和删除是免费的。

此外，由于其他市场参与者的市场指令不会移动当前的最佳买入价或卖出价，因此它们在交替买入和卖出交易之间获得了全部价差，只受到中间价格变化风险的影响。如大量关于价格影响的文献（例如[4,1,26]）所承认的，如果其他市场参与者的购买和销售导致市场价格系统性上涨或下跌，那么这种变化是实质性的。这些影响可能源于逆向选择，如知情交易者掠夺流动性供应商[11]，或来自大量进入订单簿的订单[26]。我们的模型可以扩展到考虑相当于分数κ的来料订单的价格影响∈ [0,1]的半扩展。这个扩展仍然是可处理的；事实上，上面的公式（1.1）对于前导阶最佳位置限制推广到βt=2εt（（1-κ） α（2）t-κα（1）t）ARA（x）σt，βt=-2εt（（1-κ） α（1）t-κα（2）t）ARA（x）σt.（1.3）这与具有比例交易成本的模型的结果直接相似[20，等式（3.4）]；因为在我们的模型中，中间价遵循鞅，所以边际定价度量与物理概率一致。Guilbaud和Pham[13]研究了限制指令的部分执行。[14]分析了一个模型，其中流动性提供者必须通过离散的“滴答”来缩小利差，以获得执行优先级。如果价格影响几乎是差价的一半，这就产生了一个类似于Madhavan等人[23]的模型。对于对称阶流（α（1）t=α（2）t=αt），这些公式简化为βt=2εt（1）- κ） αtARA（x）σt，βt=-2εt（1）- κ） αtARA（x）σt。也就是说，流动性准备金只是减少了1倍- 在本例中为κ。这里的直觉是，对于κ≈ 1.价格影响几乎抵消了按比例交易成本εt流动性提供者每笔交易的收益。

因此，在这种情况下，做市变得不可靠，因为不断减少的收益被库存风险所抵消。即使有价格影响，领先订单的最佳确定性等价物仍然由（1.2）给出，如果其中一个替换了相应的交易边界。因此，由于价格影响，流动性提供者的利润随着其头寸限额的降低而减少。鉴于仍然乐观的假设，与（1.3）相关的最佳策略至少可以作为策略在实践中遵循的上限（如果为负值，则分别为下限）。它可以被明确计算，并且易于解释。本文的其余部分组织如下。第2节介绍了我们的模型。随后，本文的主要结果将在第3节中介绍，并在第4节中得到证明。最后，第5节对模型进行了扩展，以考虑传入订单的价格影响。2.模式2。1限价指令市场我们考虑一个金融市场，其中有一个安全资产，标准化为一个，以及一个风险资产，可以通过市场指令或限价指令进行交易。市场订单立即执行，但在t时的购买以更高的要价（1+εt）St结算，而销售只赚取较低的价格（1- εt）St.相反，限价订单可以以任意行权价格放入订单簿，但只有在另一个市场参与者的匹配订单到达后才能执行。处理具有任意行使价格的限价指令的复杂性是一项艰巨的任务。因此，为了获得一个易于处理的模型，我们遵循[22]的假设，即限制买入或卖出订单只能分别以当前的最佳买入价或卖出价进行。对于订单不会改变市场价格的小投资者，以及持续的最佳买入价和卖出价，可以这样解释。

在这种情况下，下（并不断更新）限购订单的价格“略高于”当前的最佳出价（1）- εt）ST保证在其他交易员的下一个市场卖出指令到达时立即执行。为了便于处理，我们从有限尺寸的存在中抽象出来。因此，执行价格较高的限价买入指令同时执行，但成本较高，而通过连续性，低于当前最佳出价的执行价格仅在以后执行。这一论点隐含地假设，其他市场参与者的传入订单是流动性驱动的，规模较小，因此它们不会移动市场价格（我们在第5节中展示了如何放松这一假设）。此外，考虑中的投资者规模更小，因为Herorder也不会影响市场价格，并且会根据其他市场参与者的任何传入订单立即执行。这些假设大大降低了问题的复杂性。然而，该模型仍然保留了通过提供流动性进行盈利与通过一路积累的头寸带来的投资风险之间的关键权衡。现在让我们正式确定这个限价订单市场的交易。所有随机量都是在过滤概率空间中定义的(Ohm, F，（Ft）t∈[0，T]，P）满足通常条件。策略也就是说，ε是相对买卖价差的一半宽度。Guilbaud和Pham[13]研究了部分执行。由四个S=（MBt，MSt，LBt，LSt）t来描述∈[0，T]个可预测的过程。在这里，非递增过程MBT和MST分别表示投资者截至t时的累计市场买入和卖出订单。

MBtand MStpossess left and right limits，但可能有两次跳跃。对于c`adl`ag过程Yt和过程Mtof有限变量，Yt相对于toMtis的积分定义为-, Ys）dMs:=ZtYs-dMrs+X0≤s<tYs（Ms）+- Ms），（2.1）其中，积分器Mrt:=Mt-P0≤s<t（Ms）+- Ms）是c`adl`ag，即（2.1）右侧的第一项只是一个标准的勒贝格-斯蒂尔杰斯积分，另见[22，等式（2.2）]。对于连续被积函数Yt，我们设置ztysdms:=Zt（Ys-, Ys）dMs。（2.2）LBt（分别为LSt）规定了限价购买订单的大小（1- εt）St（分别是在时间t时账面上的限价（1+εt）St的限价卖出指令），即，如果外源市场卖出或买入指令在时间t时到达，买入或卖出的金额。确定x单位在保险柜中的初始位置，以及x=0单位在风险资产中的初始位置。风险资产的数量，用φt表示，随着市场指令的变化，以及在某些计数过程N（1）到N（2）t的跳跃时间执行限价买入或卖出指令时的变化。在N（1）t的跳转时间，另一个市场参与者的卖出指令到达，因此流动性提供者的风险头寸根据账簿中相应的限制指令的数量增加，对于进入的买入指令，类似地，在N（2）t的跳转时间，市场指令在报价的不利一侧执行，而限价指令与其他交易者的指令在更有利的一方匹配。这导致了以下定义。定义2.1。