Levy模型中的套期保值和跳跃的时间步长等价物

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英文标题：
《Hedging in L\\\'evy Models and the Time Step Equivalent of Jumps》
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作者：
Ale\\v{s} \\v{C}ern\\\'y, Stephan Denkl, Jan Kallsen
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We consider option hedging in a model where the underlying follows an exponential L\\\'evy process. We derive approximations to the variance-optimal and to some suboptimal strategies as well as to their mean squared hedging errors. The results are obtained by considering the L\\\'evy model as a perturbation of the Black-Scholes model. The approximations depend on the first four moments of logarithmic stock returns in the L\\\'evy model and option price sensitivities (greeks) in the limiting Black-Scholes model. We illustrate numerically that our formulas work well for a variety of L\\\'evy models suggested in the literature. From a theoretical point of view, it turns out that jumps have a similar effect on hedging errors as discrete-time hedging in the Black-Scholes model.
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中文摘要：
我们在一个模型中考虑期权套期保值，该模型中的标的物遵循指数LSevy过程。我们推导了最优方差和一些次优策略的近似值，以及它们的均方套期保值误差。这些结果是通过将列维模型视为Black-Scholes模型的扰动而得到的。近似值取决于勒夫模型中对数股票收益的前四个时刻，以及极限布莱克-斯科尔斯模型中的期权价格敏感性（希腊语）。我们从数值上说明，我们的公式适用于文献中提出的各种Lāevy模型。从理论角度来看，跳跃对套期保值误差的影响与Black-Scholes模型中的离散时间套期保值类似。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Hedging_in_Lévy_Models_and_the_Time_Step_Equivalent_of_Jumps.pdf (362.73 KB)

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关键词：套期保值 Levy 等价物 Quantitative Applications

Lévy模型中的套期保值和jumpsAlesCern'y的时间步长等价物*Stephan Denkl+Jan KallsenAbstracts我们在一个模型中考虑期权套期保值，其基础遵循指数过程。我们推导了方差最优和一些次优策略的近似值，以及它们的m均值平方对冲误差。将Lévy模型视为Black-Scholes模型的扰动，得到了这些结果。近似值取决于Levymodel中对数股票收益的前四个时刻，以及极限Black-Scholes模型中的期权价格敏感性（希腊语）。从数值上证明，我们的公式适用于文献中提出的各种Lévy模型。从理论角度来看，跳跃对套期保值误差的影响与Black-Scholes模型中的离散时间套期保值类似。关键词：套期保值误差、二次套期保值、Lévy过程、二阶近似MSC主题分类（2010）：91G20、60G51、90C591简介数学金融学中的一个基本问题是期权发行人如何通过在非衍生市场进行交易来增加由此产生的风险敞口。在复杂市场中，通过购买复制portfol io可以完全抵消风险。然而，在不完全市场中，需要额外的标准来确定合理的对冲策略。文献中深入研究的一种流行方法是方差最优套期保值。这里的想法是最小化均方套期保值误差，即期权收益和套期保值投资组合的最终财富之间的差值b的第二个时刻。[47,54]提供了关于该主题的全面综述。

对于最近的出版物，读者可参考[15]及其参考文献。作为股票价格变化的模型，我们考虑了指数Lévy过程，这在理论和实证文献中都得到了广泛研究，参见[21,49，*伦敦城市大学卡斯商学院，英国伦敦伦登埃西8TZ邦希尔街106号（电子邮件：Ales.Cerny）。1@city.ac.uk).+德国基尔西环38 3 24098基督教阿尔布雷希茨大学数学研讨会（电子邮件：den）kl@math.uni-基尔。)德国基尔威斯汀38 3 24098基督教阿尔布雷希茨大学数学研讨会（电子邮件：kallsen@math.uni-基尔。第6、41、40、48、13]和专著[51、16]。在方差最优套期保值的情况下，[33]和[14]通过傅里叶/拉普拉斯t变换方法计算最优策略和相应套期保值误差的半显式表示。此外，[14]计算局部最优对冲的误差。相关研究[19]推导出了替代次优策略（如BlackScholes对冲）的均方对冲误差公式，这在实践中仍然很普遍。这些结果是精确的，并以积分形式给出了数值上易于处理的表达式。然而，当偏离布莱克-斯科尔斯模型时，它们很难解释，也不允许识别导致套期保值误差的关键因素。此外，它们没有揭示套期保值误差和策略在多大程度上依赖于特定参数Lévy模型的选择。因此，在本研究中，我们力求合理的第一反应。二阶近似法，更能说明套期保值策略的结构和主导因素以及相应的套期保值误差。事实证明，首先。第二级，Lévy过程仅通过前四个时刻进入解。

此外，两种策略和赫金g错误都涉及选择的布莱克-斯科尔斯敏感性。根据t hepayoff，近似值s要么是封闭形式，要么易于数值实现。特别是，p表示需要在a处将d返回到特定的参数Lévy模型。第5节中的一项数值研究表明，我们的公式适用于理论文献中提出的各种不同的模型。从理论角度来看，与Black-Scholes环境中的离散时间套期保值一样，跳跃对套期保值误差的影响类似，参见备注3.10。为了在离子上导出这些近似，我们将手头的Lévy模型解释为扰动的Black-Scholes模型，并计算了解释微扰的二阶修正。数学金融中的扰动方法被认为是不同的背景：无套利期权定价。关于近似期权定价的文献相当多。例如，[60]在Black-Scholes模型中，就波动性展开价格。[23,24,1,26,25,36]当双变量随机波动扩散模型中的均值回复率很快时，考虑期权价格的扩张，[26,1,2]导出关于波动性波动性的扩张，以及[3]提供关于相关性的价格幂级数扩张。[30,8,9,4,6]考虑局部波动率模型，并从本质上通过局部波动率函数的泰勒展开推导出近似的定价公式。投资组合优化和效用无差异定价与套期保值。当考虑交易成本下的最优港口选择和消费时，即使在简单的模型中也无法显式地得到解。它通常用拟变分不等式表示。自由边值问题[20,17,55,44]。

为了更清楚地阐明问题的结构，例如[37,35,4]考虑了交易成本规模的扩大。由于[32]意义上的效用无差别期权价格和套期保值通常很难获得，即使对于简单的模型和效用函数，也很难获得，因此推导出了关于已售出债权数量的初始近似值[42、38、39]。[59,5]是针对小比例交易成本的效用无差异价格和套期保值扩张的早期研究。对冲错误。在这里，文献似乎仅限于离散时间对冲的效果。早期的贡献是[58]，它研究了Black-Scholes模型中离散实施的delta策略的均方套期保值误差，得出了套期保值区间误差的一阶近似值。[61]将这一结果推广到马尔可夫扩散模型，其中[11]还将标准化套期保值误差定律中的收敛性视为随机变量。可以找到不规则支付和无规则扩散模型的扩展[31,29,57]。[Hedging]研究如何提高非等距区间的收敛速度。对于具有跳跃的基础模型，[56]检查了Lévy It¨o模型中一般st策略的离散误差的收敛速度。[12] 研究了指数Lévy模型中方差最优和增量套期保值的期望平方化误差。我们的设置与上述大多数扰动方法的不同之处在于，我们不需要一个自然参数，例如时间步长、索赔数量、交易成本、相关性、波动性等。

在我们的情况下，在什么意义上，任意Lévy过程可以被解释为布朗运动的单参数摄动，可能并不立即明显。其关键思想是通过在一组过程中适当选择曲线，并通过一个额外的艺术参数进行参数化，将Lévy过程和布朗运动联系起来。我们所知的文献中唯一相关的方法是在系列论文[8,9,10]中采用的。本文的结构如下。在第2节中，我们将介绍你的数学设置。特别地，我们指定了相关的套期保值策略，并给出了导致我们近似公式的扰动方法。这些在第3节中进行了说明和讨论。为了清楚地说明，所有的证明都要推迟到第4节。随后，weillustrate我们对各种p参数Lévy模型的结果。第6节结束。2.关于背景和终点的Lévy过程的数学设置，我们参考[50]。我们用I来表示身份过程，也就是说，It=t代表t∈ R+.2.1市场模型我们考虑一个由两种交易资产、一种债券和一种非股息股票组成的市场。债券的价格过程B由bt=ert，t给出∈ R+，表示确定的利率R≥0.在下文中，我们将始终使用折扣TED数量，使用B作为néraire。股票的贴现价格过程S由t=SeXt，t给出∈ R+，（2.1）对于确定性初始股价S>0，以及X=0的实值Lévy过程X，定义在过滤概率空间中(Ohm,F，（Ft）t∈R+，P）。过滤假设由X产生。为了进行我们的分析，我们对驱动过程X施加以下假设。假设2.1。我们假设它是1。Ee2X< ∞,2.E（|X|n）<∞ 为了n∈{1，…，5}，和3。Var（X）>0。鉴于我们研究了套期保值误差的二阶矩（参见。

以下第2.3节）以及它们在X矩方面的近似，要求1和2是必不可少的。第三个假设排除了S i是确定性的退化情况。2.2期权支付函数在本文的其余部分，我们考虑了一个固定的欧式未定权益，其到期日为t>0，且支付函数为（贴现）f:R+→ R、 应满足以下假设2.2。我们假设支付函数f:R+→ 考虑中的或有索赔的R在C中∞（R+，R）并且存在R∈ 带2R的R\\{0}∈ 在tD中，所有映射的导数都是x7→ f（ex）e-Rxare可积，其中d:={y∈ C:E（exp（Re（y）X））<∞}.根据Lévy过程X，f的Lés正则性是证明工作所必需的。然而，为了便于公开和澄清，我们不考虑最一般的陈述。2.3套期保值和套期保值错误为了降低因出售期权而产生的风险，我们假设卖方使用自融资策略动态交易股票。定义2.3。带c的一对（c，θ）∈ 一个可预测的S-可积过程称为边。我们称c为初始资本，称θ为对冲的交易策略。h边（c，θ）的贴现财富过程是c+RtθsdSsT∈[0，T]。我们通过套期保值的均方误差来衡量套期保值的表现。定义2.4。套期保值（c，θ）相对于价格过程的均方套期保值误差由ε（c，θ，S）：=E定义f（圣）-C-ZTθtdSt!.2.3.1方差最优套期保值在不完全市场模型中，如第2.1节中的模型，通常不存在导致均方套期保值误差消失的完美套期保值。在这种情况下，寻找树篱是很自然的（v，ν）∈ R×Θ具有最小均方套期保值误差，其中Θ是一组适当的可接受交易策略。

这种方法被称为方差优化法，并在参考文献[47,54,15]及其参考文献中得到了深入研究。在目前的指数Lévy模型中，由Θ给出的容许策略集=θ可预测p过程：EZTθtSt-dt< ∞,[53, 33]. [33]中定义了方差最优套期保值（v，~n）。方差最优交易策略满足反馈方程φt=ξ（t，St-) +∧街-H（t，圣-) -五、-Zt-~nsdSs, T∈ [0，T]，（2.2）具有确定性函数ξ，H:[0，T]×R+→ R和一个常数∧>0，这将在下面的定理4.4中找到。方差最优初始资本v由v=H（0，S）给出。函数H有时被称为均值函数。通过（2.2），我们可以表示t时刻方差最优交易策略的值∈ [0，T]作为状态变量T，St的函数-,Rt-~nsdSs，即аt=аt、 圣-,Zt-~nsdSs, T∈ [0，T]，其中，通过稍微滥用符号，字母魟也用于表示定义为魟（T，s，g）的函数：=ξ（T，s）+∧s（H（T，s）-五、-g） ，t∈ [0，T]，s∈ R+，g∈ R.第三状态变量-§SDSSR表示投资或战略的过去财务收益。固定时间∈ [0，T]，s∈ R+和g∈ R、 我们将φ（t，s，g）称为方差最优套期保值比率i n（t，s，g）。2.3.2纯套期保值对于合理的模型参数，∧很小，因此反馈项的贡献通常是适度的，如果s是一个m鞅，它将完全消失。因此，有必要考虑定义为ξT=ξ（T，St）的简单纯对冲（v，ξ）-), T∈ [0，T]，包括方差最优初始资本v和（2.2）中的函数ξ。对于Fixedt∈ [0，T]和s∈R+，我们称ξ（t，s）为（t，s）中的纯对冲比率。

在目前的Lévy设置中，交易策略ξ符合[52]意义上的所谓局部风险最小化对冲。2.3.3 Black-Scholes对冲由于其在实践中的相关性，我们还考虑了Black-Scholes对冲应用于第2节的Lévy模型。1.为此，考虑一个标准的布朗运动，以过滤概率s的速度(Ohm,F，（Ft）t∈R+，P），其中过滤水由W生成。此外，考虑由t=Seut+σWt，t给出的贴现股价过程S∈ R+，（2.3），其参数u：=E罗格斯=和σ：罗格斯（2.4）的选择应确保xt的前两个时刻：=logStS与（2.1）中的对数回归过程X的结果一致。时间t∈ [0，T]，在该模型中，到期日为T且贴现收益为f（ST）的未定权益的唯一无套利贴现价格由C（T，ST）给出，函数为C:[0，T]×R+→ R+由c（t，s）=EQ给出f（圣）St=s, T∈ [0，T]，s∈ R+。（2.5）这里，Q表示唯一的概率测度Q~ 使得S是一个Q-鞅。此外，函数C对于第二个变量s和C（0，s）+ZT是连续可微的sC（u，Su）dSu=f（ST）。因此，（C（0，S），sC（I，S））是Black-Scholes模型中f（ST）的一个完美套期保值，其基础过程是贴现的。在2.1节的Lévy模型中，我们设置了初始资本C（0，S）和函数sC定义对冲（c，ψ），由c=c（0，S），ψt=ψ（t，St）给出-) （2.6）带ψ（t，s）：=sC（t，s）。例如，该hedg可能被错误地认为在布莱克-斯科尔斯环境中交易的投资者使用（2.3）。我们将其称为适用于S的Black-Scholes套期保值，将ψ（t，S）称为Black-Scholes套期保值比率（t，S）∈[0，T]×R+。[19]的数值澄清表明（c，ψ）是f（ST）和指数Lévy过程S的方差最优套期保值的合理代理。备注2.5。

如果所考虑的Lévy过程是带漂移的布朗运动过程，则方差最优、纯和黑Scholes对冲重合，即（v，ν）=（v，ξ）=（c，ψ）。此外，三条h边的均方对冲误差消失。最后，均值函数与Black-Scholes定价函数一致，在这种情况下，i。e、 ，H（t，s）=C（t，s）。2.4 Lévy模型作为扰动Black-Scholes模型2。4.1方法概述我们的目标是从第2.3节推导出初始资本、套期保值比率和套期保值均方套期保值误差的简单而明确的近似形式。为此，我们将第2.1节中的股票价格模型S解释为受扰的Black-Scholes模型，并计算解释pertu rbat的二阶修正。在数学金融文献中，将复杂情况视为一个简单的布莱克-斯科尔斯环境的边界是很常见的。通常，与Black-Scholes的偏差是根据一个自然且通常“小”的参数λ来量化的∈ R.让我们只提三个例子：1。Black-Scholes模型中的期权定价和套期保值，交易成本为λ>0（参见[59,5]），2。Black-Scholes模型中距离λ>0的离散时间点的套期保值（参见[58,61,11,29]），3。随机波动率扩散模型中的期权定价，其中波动率的均值回复速度为1/λ>0（参见[23,24,26,25]）。假设我们对扰动Black Scholes模型的一定数量q（λ）感兴趣（例如，在λ>0的交易成本下的差价和套期保值，在λ>0的时间步长下离散增量套期保值的均方套期保值误差，或平均反转速度为1/λ>0的期权价格在仓促波动下的期权价格）。