零质量为正的隐含波动率形状

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英文标题：
《Shapes of implied volatility with positive mass at zero》
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作者：
Stefano De Marco, Caroline Hillairet, Antoine Jacquier
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We study the shapes of the implied volatility when the underlying distribution has an atom at zero and analyse the impact of a mass at zero on at-the-money implied volatility and the overall level of the smile. We further show that the behaviour at small strikes is uniquely determined by the mass of the atom up to high asymptotic order, under mild assumptions on the remaining distribution on the positive real line. We investigate the structural difference with the no-mass-at-zero case, showing how one can--theoretically--distinguish between mass at the origin and a heavy-left-tailed distribution. We numerically test our model-free results in stochastic models with absorption at the boundary, such as the CEV process, and in jump-to-default models. Note that while Lee\'s moment formula tells that implied variance is at most asymptotically linear in log-strike, other celebrated results for exact smile asymptotics such as Benaim and Friz (09) or Gulisashvili (10) do not apply in this setting--essentially due to the breakdown of Put-Call duality.
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中文摘要：
我们研究了当基础分布中原子为零时隐含波动率的形状，并分析了质量为零时对货币隐含波动率和微笑总体水平的影响。我们进一步证明，在对正实线上剩余分布的温和假设下，小碰撞时的行为唯一地由高渐近阶的原子质量决定。我们研究了零质量情况下的结构差异，从理论上讲，我们可以区分原点的质量和重左尾分布。我们在边界有吸收的随机模型（如CEV过程）和跳转到默认模型中对我们的无模型结果进行了数值测试。请注意，虽然Lee的矩公式告诉我们，在对数走向中，隐含方差最多是渐近线性的，但其他著名的精确微笑渐近结果，如Benaim和Friz（09）或Gulisashvili（10）不适用于这种情况——这主要是由于Put-Call对偶性的崩溃。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
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关键词：波动率 distribution Quantitative Applications QUANTITATIV

零质量为正的隐含波动率形状*S.De Marco，C.Hillairet和A.JacquierCMAP，巴黎理工学院伦敦帝国理工学院，2018年12月2日摘要我们研究了潜在分布中原子为零时隐含波动率的形状，并分析了质量为零时对货币隐含波动率和英里总体水平的影响。我们进一步证明，在对正实线上剩余分布的温和假设下，小碰撞时的行为唯一地由原子的质量决定，直到高渐近阶。我们研究了零质量情况下无质量的结构差异，从理论上说明了如何区分起源质量和重左尾分布。我们在边界吸收的随机模型（如CEV过程）和跳转到默认模型中对无模型结果进行了数值测试。请注意，虽然Lee的矩公式[25]告诉我们，隐含方差在对数走向中是渐近线性的，但其他关于精确微笑渐近的著名结果，如[3,17]不适用于该集合，这主要是由于Pu t-Call对偶性的崩溃。1简介随机模型广泛用于期权定价和校准市场数据。在实践中，这些数据不是以期权价格为依据，而是以隐含波动率为依据。然而，除了隐含波动率为常数的B lackScholes模型外，大多数模型都没有可用的封闭式公式。在过去十年左右的时间里，许多作者已经计算出了这种隐含波动率的近似值，无论是在无模式l的环境中还是在某些特定的模型中；这些近似值通常仅在受限区域有效，例如小型和大型到期日，或极端罢工。

为了以无套利的方式提取观测（和校准）数据，后者已被证明是有用的。Lee[25]提出的著名力矩公式是一个突破性的独立于模型的结果；随后，贝奈曼德·弗里兹[3]和古利萨什维利[17]提出了建议。表示P（K）=E（K- ST）+具有行使和成熟度T的看跌期权的价格，其中S是定义在某个概率空间上的正随机变量，测度为P。Gulisashvili S通过渐近公式[17，Cor ollary 5.12]I（K）=r | log K | Tsψ证明了小行使时隐含波动率I（K）的行为与该看跌期权的价格有关对数P（K）对数K- 1.+ OlogKP（K）-1/2对数对数kP（K）, 作为K↓ 0, (1.1)*我们感谢瓦尔多·杜勒曼、阿切尔·古利萨什维利、皮埃尔·亨利·劳德埃、亚历山达尔·米贾托维奇和迈克·特兰奇推动了讨论。我们感谢匿名专家对我们的结果与Gulisashvili[19]的结果进行比较的重要评论。SDM和CH感谢Nizar Touzi在这项工作的第一阶段表现出的兴趣。SDM和AJ承认帝国理工学院研讨会支持赠款和伦敦数学学会为“金融中的大偏差和渐近方法工作室”（2013年4月）提供的资金。SDM和CH感谢来自研究项目Chaire Riskes Financiars、Chaire March’s en mutation和Chaire Finance et d’Development的资助。AJ感谢EPSRC首次拨款EP/M008436/1的财务支持。通讯作者：demarco@cmap.polytechnique.frKey原子分布，重尾分布，隐含挥发性，渐近性，零吸收，CEV模型。2010年数学学科分类：AMS 91G20，65C50。其中连续函数ψ：[0，∞] → [0,2]由ψ（z）定义≡ 2.- 4.pz（z+1）- Z, ψ(∞) = 0

（1.2）类似的公式，用买入价C（K）=E（ST）表示-K） +，当K趋于完整时保持不变。对于所有这样的函数，它是有效的。公式（1.1）分两步得出：当K趋于一致时，根据看涨价格函数给出I（K）的渐近表达式；然后通过Put调用dualityP（K）=E获得K趋于零的表达式STSKSST- s+= K EQSST-SK+,其中，Q是相对于P绝对连续的概率度量，通过其氡Nikodym密度dQ/dP定义≡ ST/S.如果（如[17]中隐含假设的）标的资产价格定律在P下不收取零费用，即如果P（ST=0）=0，则上述看跌期权对称性成立。因此，当P（ST=0）>0时，扩展（1.1）是优先的，而不是被调整的。在某些随机模型中，资产价格是通过一个随机过程建模的，该过程在一定时间内累积质量：例如，恒定方差弹性（CEV）局部波动，在某些参数配置下，固定时间边缘有一个连续部分和一个零原子（SABR，CEV的随机波动对应物，也出现了同样的现象）。在默认建模设置中，结构模型类别定义了企业价值首次达到给定阈值时的默认情况。在[8,9]中，该公司的价值对应于其偿付能力比率（资产对债务的对数），通过Ornstein-Uhlenbeck过程建模。Campiet等人提出的另一种方法。

[5] ，指的是基础权益流程，并在流程第一次到达原点时定义违约：虽然权益价值仍然与企业的资产负债表和债务资产负债表密切相关，但这种模型选择比结构模型更容易测试，因为权益数据更容易获得。在[5]的设定中，均衡过程在跳跃后或以不同的方式击中原点，权益价值的连续路径部分由CEV差异建模，吸收的正概率为零。沿着同一条路线，我们将在本文中考虑资产价格可能会跳到零，或在连续轨迹上达到零。在这项工作中，我们研究了零利率对货币隐含波动率和微笑总体水平的影响，并确定了如何影响小冲击隐含波动率的渐近行为。关于第二点，请注意P（ST=0）>0意味着q*= 0，其中q*≡ sup{q≥ 0:E[S-qT]<∞} 是ST.Then的负临界指数吗？Lee的小打击矩公式在总体上产生lim supK↓0√ti（K）p | log K |=pψ（q）*) =√2.（1.3）尾翼型约束旨在找到条件，在此条件下，该lim sup可以被强化为真正的极限，产生渐近I（K）~p2 |记录K |/T，因为K趋于零：Benaim和Friz的结果[3]给出了充分的条件，但仅限于情况q*> 0; Gulisashv ili的结果（1.1）适用于ca se q*= 0和P（ST=0）=0，并允许制定必要和有效的条件，如[18]中所述。表示F（K）≡ P（圣≤ K） ，p≡ P（ST=0）和q≡ N-1（p），什么时候-1是逆高斯累积分布。本文的主要结果如下：如果p>0，那么（I）货币隐含波动率有一个非平凡的下界：I（S）√T≥ 2N-1.（1+p）.

此外，对于一大类基础分布，隐含波动率微笑相对于p单调递增。对于小冲击，零质量的影响更大，对于大冲击，质量的影响渐进可忽略，在这个意义上，Ip（K）≈ I（K）+pΘ（K）对于某些函数，使得limK↓0Θ（K）=∞还有limK↑∞Θ（K）=0。（见定理2.3的精确表述）；如果P（ST<K）=0表示一些0<K<S，那么P（K）=0表示所有K≤ K.根据隐含波动率[17]的定义，I（K）不适用于此类罢工；根据我们的扩展定义（1.7），对于al l K，I（K）等于零≤K.（II）隐含波动率满足I（K）=q2 | log K | T+q√T+o（1）表示小K.如果F（K）-F（0）=O（|对数K）|-1/2），余项o（1）改进为o（| log K）|-1/2). 如果F（K）-F（0）=O（|对数K）|-3/2），那么下面的渐近展开式成立：I（K）=r2 | log K | T+q√T+q+2p2T |对数K |+q4 |对数K|√T+O|日志K|-3/2作为K↓ 0.（1.4）对O前面常数的估计|日志K|-3/2定理4.2给出了误差项。在本文的第一个版本出现后不久，Gulisashvili[19]证明了当股价在原点具有质量时，微笑左翼的渐近展开。与（1.4）的主要区别在于，Gulisashvili的扩展[19]是以走向K的非显式函数（定义为给定函数的inver SER–我们参考第4节中的rea DER以获得精确定义）编写的，而（1.4）仅包含走向和常数N的显式函数-1（p）。

因此，公式（1.4）允许读取隐含波动率在冲击角度的明确依赖性（至少达到给定的渐近顺序），潜在地允许以嵌入massat zero的方式改进隐含波动率微笑的参数化（如果希望以这种方式建模违约概率，或以其他方式重现吸收为零的随机模型的左翼行为，如我们在CEV模型第5.3.1节中所做）。特别是，（1.4）强调了与| log K成比例的项展开中的存在|-1，隐藏在古利萨什维利的公式中[19]。为了衡量累积分布函数F（·）的假设的重要性，让我们注意到，如果股价定律允许密度F在零的右邻域内，那么F（K）=O（K-a） 对于小K，对于一些a<1，则F（K）- F（0）=O（K1-a） 。因此，假设f（K）- F（0）=O（|对数K）|-3/2）是微不足道的填充。我们将pap组织如下：在第2节中，我们给出了与上述（I）项相关的结果。在第3节中，我们提供了（II）中给出的First渐近估计。在Gulisashvili[19]的工作基础上，我们在第4节推导了显式展开式（1.4），并在第5节的几个例子中检验了这个公式。注释和初步说明。期权价格。我们让她变得成熟≥ 因此，为了简单起见，不应指出其依赖性。我们假设STI是某个概率空间上的非负可积随机变量(Ohm, F、 P），其中E（ST）=S>0。Ris k无息利率被视为无效，期权价格由定价指标P:C（k）下的预期给出≡ E[（圣-K） +]和P（K）≡ E[（K）-ST）+]表示带K的欧洲看涨期权和看跌期权的价格≥ 0和T。

CBS（K；S，σ）和PBS（K；S，σ）表示Black-Scholes模型中具有波动性参数σ的相应买入和卖出价格：CBS（K；S，σ）≡SN（d（对数（K/S）），σ）- KN（d（对数（K/S）），σ），如果σ>0（S- K） +，如果σ=0（1.5）PBS（K；S，σ）≡千牛(-d（对数（K/S）），σ）- 锡(-d（对数（K/S）），σ），如果σ>0（K- S） +，如果σ=0（1.6），其中d1,2（x，σ）≡-xσ√T±σ√T，N是标准高斯累积分布函数N（d）≡研发部-∞n（z）dz，带n（z）≡ (2π)-1/2e-z、 当现货价格确定时，对于对数货币性x=对数（K/S）：SCB（x，σ）的（标准化）期权价格，使用相同的符号CBS和PBS不应产生任何混淆≡ CBS（Kx；S，σ）和SPB（x，σ）≡ PBS（Kx；S，σ），其中Kx≡ 性别隐含波动率。隐含挥发度i（x）定义为[0]中的唯一解，∞) 对于等式Cbs（x，I（x））=C（Kx）（1.7）请注意，当C（Kx）满足严格套利边界时，I（x）是严格正实数-Kx）+<C（Kx）<S，如果C（Kx）=（S）则为z-ero-Kx）+。稍微滥用一下符号，当我们明确表示时，我们可以用I（K）=I（log（K/S））来表示隐含波动率作为罢工的函数。函数渐近性。对于定义在x的穿孔邻域上的函数g∈ [-∞, ∞], 我们写下隐含的波动率显然取决于T，但由于后者是固定的，我们也将在符号中去掉这种依赖性当f（x）=g（x）φ（x）在x的邻域中时，对于某些函数φ，例如limx→xφ（x）=0（分别适用于围绕x的一些φ）f（x）=g（x）+O（h（x））当f接近x时- g=O（h）在x附近f（x）~ g（x）around xif g是不消失的且limx→xf（x）/g（x）=1。零质量和卖出价格的一阶行为。根据富比尼定理，P（K）=RKF（y）dy和Hencell↓0P（K）K=limK↓0KZKF（y）dy=F（0）=P（ST=0）。

（1.8）最后，我们将表示p=p（ST=0）零质量，q=N-1（p）.2对smileIn的总体影响在本节中，我们研究了ze ro的质量对默示可用性总体行为的影响。直觉上，这种影响在微笑的左侧应该更重要，而在右侧应该不那么重要。关于货币行为，我们现在将表明，mas s s为零对隐含波动率水平施加了较低的影响。提议2.1。以下下限适用于货币隐含波动率：I（0）√T≥ 2N-1.（1+p）. （2.1）证据。当K=S时，Black-Scholes公式（1.6）退化为PBS（S；S，σ）=SN（σ）√（T）-锡(-σ√T） =S2N（σ）√（T）- 1., 因此（0）√T=N-1.1+P（S）S.因为P（S）=E[（S- ST）+]≥ Sp，命题如下。备注2.2。当p=0时，（2.1）与平凡界I（0）相关≥ 0.当p>0时，下界（2.1）解释了为什么质量为零的分布产生的隐含波动率微笑通常非常高，如图3（d）、4、6（a）和7（a）中绘制的所有微笑中的n所示。为了更好地了解下限的大小，我们可以使用逆高斯cdf[2]N的近似值-1（u）≈Q-日志（1）- （2u）- 1） ）/pπ/8，产生N-1.（1+p）≈Q-日志（1）- p） /pπ/8。对数函数在p=0附近的泰勒展开得到2N-1.（1+p）≈（π/8）1/4pq1+p≈ 2.5 pq1+p（意味着，当p=0.2时，下限约为50%）。请参见图1中的数值示例。我们现在要展示的是，在资产价格模型中引入大规模资产重组，有助于提升人们的微笑（也就是说：同时适用于所有行业）。我们将关注某一类（大）分布。

确切地说，我们考虑随机变量族S=sX，由其平均值=E[~S]索引，其中X是正随机变量，使得E[X]=1，P（X=0）=0。该设置涵盖了随机波动率模型（dSt=~StσtdWt，~S=S）和指数L’evy模型的情况。我们用|uS表示|S在（0，∞). 该框架提供了参考模型，然后通过将u（p）=pδ+（1）设置为0，将amass增强- p） uS1-p（2.2）表示ST的分布u（p），其中δ表示原点处的狄拉克分布。方程式（2.2）涵盖了第5.2节所述的具有独立跳转至默认值的模型类别。请注意，（2.2）中的u的平均值是由条件E[ST]=S施加的。我们表示Fs（K）=RKuS（dy）的cdf，P（P）（K）=R（K）- y） +u（p）（dy）行使K的看跌期权价格，以及由SPB（x，I（p）（x））定义的相应隐含波动率I（p）（·）=p（p）（Kx）。0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30p0。00.10.20.30.40.50.60.70.8ATM隐含波动率TM隐含波动率，σBS=0.30ATM隐含波动率下界图1：带跳转违约的默顿模型的货币隐含波动率（见第5.2.1节）。基本分布为u=pδ+（1- p） μBS，其中μBS是Bla-ck-Scholes分布，挥发参数σ=0.3，现货值为1/（1）- p） 。红线显示下限（2.1）。定理2.3。假设资产价格分布由（2.2）给出。然后（i）函数p7→ 对于所有x，I（p）（x）在[0,1]上增加∈ R（二）功能I（p）：x7→ I（p）（x）- I（0）（x）满意度√TI（p）（x）~ 所有x的pθ（x）∈ R、 当p趋于0时，（2.3），其中θ（x）=1-~FS（K）-x） n（d（x，I（0）（x））满足极限↓-∞θ（x）=+∞.证据（i） 从卖出价的定义可以清楚地看出，P（P）（K）=pK+（1- p） RKF S1-p（y）dy.利用S的定义，我们立即得到Fs′（y）=p（S′X≤ y） =~Fsss\'y对于所有s，s′>0。