确定性流动性模式下的最优订单调度

当r≡ 0, ρ ≡ 所以ηXt=η+R[0，t]dXsδs≥ η+Xtmaxδ，t≥ 0.1L ``L`ΚHTLΚH0LΚHt0+LΚHt0L∧Ht0Lx∧Ht0+L图3：弹性调整后市场的下降包络线∧（红色）、其凹面包络线B∧（橙色）和密度b∧（黑色）。=ΛΛX*TT0T1图4：最佳订单计划X*（黑色）没有市场弹性和时变市场深度δ（蓝色）。因此，C（X）≥ ηx+x2最大δ，x∈ X，所有X都相等*∈ 带{dX的X*> 0}  arg maxδ。相反，在高弹性的情况下，订单倾向于围绕市场深度的局部最大值分布，如图5所示。图2和图5还显示，很难提前猜到何时是发布订单的最佳时机。因此，在这些一般情况下，通过Fruth等人[5]中的经典变分法或通过Acevedo和Alfonsi[1]的方法进行的方法似乎是不可行的。X*TT0T1图5：最佳订单计划X*（黑色）对于时变市场深度δ（蓝色）具有很强的市场弹性。5证明我们首先证明，通过给出命题3.2的证明，原始问题（3）确实可以重新表述为（7）。我们首先观察到，对于X∈ X（6）中的映射定义了一个递增的右连续Y，Y=ρηX。因为c（X）<∞, ηXis dX可积，因此在{X<X}上是有限的。因此，Y在这个集合上也是有限的，我们得出结论dX=λdY。由初等微积分得出，K（Y）=C（X），因此，Y∈ 按你的意愿。相反，对于Y∈ Y，κ=λ/ρ是d（Y）-可积的。由于ρ>0是连续的，这意味着λ是局部dY-可积的，因此由（6）给出的X是右连续的，并且随着dX=λdY而增加。

同样的道理，这意味着C（X）=K（Y）和X∈ 十、下一步，我们刻画问题（7）是凸的：命题3.3的证明如果κ是上半连续且递减的，它也是左连续的，我们可以使用Fubini定理来写（Y）=κ∞（Y）∞- η) -Z[0，∞)（Yt）- η） dκt对于任意右连续增加Y和Y0-= η. 因此，K=K（Y）在这样的Y中是等凸的，严格凸性在其域上保持为真，从而严格降低κ。相反，考虑0≤ s<t<∞ 函数Y，η+a1[s，∞]+b1[t，∞]. 然后（Y）=κs（（a+η）- η） +κt（a+b+η）- （a+η）=κsa+κtab+κtb+η（aκs+bκt）在a，b>0中是凸的当且仅当κs≥ κt≥ 0，严格不等式对应于严格凸性。为了准备定理3.4的证明，让我们回想一下，对于任意增加的Z:[0，∞) → R我们让{dZ>0}，{t≥ 0:Zt-< Zufor all u>t}表示向右所有增加点的集合。对于递减的Z，我们让{dZ<0}，{d(-Z） >0}。在这两种情况下，我们都让supp-dZ表示测度dZ的支撑，即具有消失dZ测度的最小闭集。引理5.1。对于上半连续，有界λ：[0，∞) → R、 我们有λt，supu≥tλuis左连续且随（11）{deλ<0} {eλ=λ}。此外，我们还有（12）R={deλ<0}∪[n]∈N[ln，rn）∪[n]∈N（ln，rn）其中（ln，rn），N∈ N、 是形成R\\supp deλ的不相交的开放区间，其中N=nn∈ N:嗯≥ 0, lneλ=0o和N=N\\N.证明。eλ的左连续性和关系式（11）是直接的。接下来请注意{deλ<0} supp deλ，因此R\\{deλ<0}锡∈N（ln，rn）。

因此，为了减少分区（12），必须观察n∈ 我们有ln6∈ {deλ<0}和t的{deλ<0}≥ 0使得对于某些u>t（t，u），eλt=eλuf （ln，rn）对于一些n∈ N、 因此t∈ （ln，rn）或t=lnwithlneλ=0。定理3.4证明的主要工具是下面的引理5.2。在定理3.4的条件下，我们可以找到任意递增的右连续Y≥ η是一个递增的右连续体≥ η如此≤ Y和（i）R[0，∞)λtdYt=R[0，∞)λtdeYt，（ii）{deY>0} {deλ<0}，（iii）K（Y）≥ K（eY）=eK（eY）。证据我们进去了，n∈ N、 表示构成{deλ<0}补码的引理5.1的不相交区间，我们将使用ln，rn来表示它们各自的边界。对于左界为ln的一个区间=-∞ 为了简单起见，我们现在定义ln，0，前提是rn>0；相比之下，如果这只是一条负半线，我们可以并且将在续集中把它从考虑范围中删除。类似地，如果rn=∞ 对一些人来说∈ N、 根据假设2.2，δt=λt=κt≡ 0，因此也可以对其进行加密。然后观察（13）supInλ=λrn，通过λ的上半连续性和我们的选择，当不包括lnin时，何时包括lnin。让我们为t≥ 0，eYt，η+Z[0，t]{deλ<0}（s）dYs+Xn∈N、 注册护士≤tZInλsλrndy。我们首先注意到≤ YIndeedYt-eYt=Z[0，t]R\\{deλ<0}（s）（dYs）- deYs）=Xn∈N、 在≤T吉娜∩[0，t]dYs- 1[rn，∞)（t） ZInλsλrndy是非负的，因为（13）。断言（i）很容易使用（12）给出的分区进行检查。在第（ii）节中，必须观察所有rn，n∈ N、 包含在{deλ<0}中。为了证明断言（iii），我们首先注意到K（eY）=eK（eY）是（ii）和（11）的中间结果。

建立K（Y）- K（eY）≥ 0我们将这种差异分解为（12）给出的分区中不同部分的贡献，每个部分都将显示为非负。从{deλ<0}\\{rn:n∈ N} 我们收集Z[0，∞)∩（{deλ<0}\\{rn:n）∈N} ）κ-thd（Yt）- d（eYt）i=Z[0，∞)∩（{deλ<0}\\{rn:n）∈N} ）κtYt-+泰戴特-艾特-+泰德伊特这是非负的，因为Y≥因为dYt=Deyt代表t∈ {deλ<0}\\{rn:n∈ N} 通过建设。从∪ {rn}，n∈ N、 我们得到了捐款（吉娜）∪{rn}κtd（Yt）- κrn“艾恩-+吉娜∪{rn}λsλrndy-艾恩-#)对此，我们注意到其[…]-部分可以写为“艾恩-+吉娜∪{rn}λsλrndy-艾恩-#=吉娜∪{rn}λsλrndy+艾恩-吉娜∪{rn}λsλrndYs=ZIn∪{rn}Z（在∪{rn}）∩[ln，t）λsλrnλtλrndYsdYt+Xty6=0，t∈在里面∪{rn}λtλrn(泰恩-吉娜∪{rn}λsλrndy。因此，再次使用（13），我们得到了yn，Yln-如果在∈ 伊南德·伊恩，别提了[…]≤吉娜∪{rn}（Yt）-- yn）λtλrndYt+Xty6=0，t∈在里面∪{rn}λtλrn(泰恩-吉娜∪{rn}λsλrndy≤吉娜∪{rn}（Yt）-- yn）λtλrndYt+Xty6=0，t∈在里面∪{rn}λtλrn(泰恩津∪{rn}λsλrndYs=ZIn∪{rn}λtλrnd（Yt），其中第二个估计自Eyrn起保持不变-=艾琳≤ 因为（二）。因为ρ=λ/κ是通过假设增加的，所以我们有λtλrn=ρtρrnκtκrn≤κtκrn和κrn[…]≤吉娜∪{rn}κtd（Yt）仍有待显示。有了前面的政策改进引理，现在可以很容易地用引理5.2给出定理3.4的极限，并且使用它的符号，我们可以找到任何Y∈ 伊伊∈fY∩ 是这样的≥ K（Y）≥ K（eY）=eK（eY）。因此，infYK=infeYeK。

此外，伊菲*∈fY达到最近的极限，我们可以用引理5.2 toeλandeK代替λ和K来获得另一个最优解**∈除此之外{deY**> 0}  {deλ<0}。通过引理5.1，后一个集合包含在{λ=eλ}={κ=eκ}和thusthiseY中**也包含在Y中，也是（7）的最佳选择。接下来，让我们在命题3.6的前提下推导出凸问题（8）的一阶条件，回顾eκ∞= 0，我们通过Fubini的Theorem（14）eK（Y）获得-Z[0，∞)（Yt）- η） 必要时，我们观察到∈fY和0<ε≤ 1我们有0≤eK（εY+（1）- ε） Y*) -埃克（Y）*)= - εZ[0，∞)（Yt）- Y*t） Y*tdeκt-εZ[0，∞)（Yt）- Y*t） deκt，除以ε>0，并让ε↓ 0，产生Y*同时解决线性问题（15）最小化-Z[0，∞)Y*tYtdeκt受Y影响∈fY。等价地，根据富比尼定理，Y*是问题的解决方案：（16）MinimizeZ[0，∞)-Z[t，∞)Y*乌德κu动态对象∈fY。因此，Y*只有当dY*t> 0在这些时间t≥ 0时-R[t，∞)Y*udeκu/eλ在{eλ>0}上达到其极限。因此，这个最小值实际上是最小值，因此严格来说是正的。用y>0表示它表示（9）的必要性。为了提高效率，我们再次使用（14）来推断Y的效率∈fY:eK（Y）-埃克（Y）*) = -Z[0，∞)（（Yt）- （Y）*t） ）去κt≥ -Z[0，∞)Y*t（Yt）- Y*t） 如果Y，最后一项是非负的*解（15），由于（15）和（16）的等价性，这相当于我们的一阶条件（9）。现在可以建立定理3.7中给出的一阶条件的解的构造：定理3.7e∧的证明在[0，eκ]上是连续的，因为k7也是连续的→ τkbe是由于ρ的严格单调性，因此eκ在{eκ>0}上的严格单调性。e∧在增加，因为随着eκt的增加，t中的∧eκt=eκtρt=eλ也在减少≥ 0

凹包络线B∧的绝对连续性源于E∧的连续性。Ey的单调性*从eκ和b∧。对于其正确的连续性，请注意limt↓泰*t=（y）b∧eκt+）∨η由左延拓初始值为∧时。因此，我们的断言相当于b∧k=b∧k，eκt+和k，eκt≥ k、 如果k=k，就没有什么可展示的了。当k<k时，k的τk=τkf∈ [k，k）因此，e∧与这个区间的斜率ρτkon是线性的。因此，b∧在这里也是线性的，因此，b∧k=b∧k+由左连续b∧。因此，有必要证明这一趋势没有向下的跳跃b∧在k处。如果有这样的跳跃，那么，根据凹包络的性质，b∧k=e∧kand是必要的b∧k+≥ ρτk。因此，对于k≤ kwe将有kρτk≤e∧k≤b∧k≤b∧k+b∧k+（k- （k）≤ kρτk，其中第一个估计是由于ρ的单调性，第二个是B∧的凸性，第三个是凹性，最后一个是刚导出的B∧和b∧在k.我们将在上述估计中，尤其是b∧k=ρτk≤ b∧k+。这与假定的经济向下跳跃相矛盾b∧在k.以验证*如果满足第一阶条件（9），让我们首先论证-Z[t，∞)嗯*乌德κu≥ -yZ[t，∞)b∧eκudeκu=yZeκtb∧kdk=yb∧eκt≥ ye∧eκt=yeκtρt=yeλt。事实上，第一个估计值是从定义y开始的*. 第一个恒等式是Lebesgue-Stieltjes积分时间公式的变化：只需观察eκ∞= 假设2.2为0b∧在[0，eκ]中包含的区间上是常数，eκ跳过这些区间，因为e∧在这些区间上是线性的。第二个恒等式来自B∧的绝对连续性，因为B∧=e∧=0，同样是假设2.2。

第二个估计成立，因为b∧≥e∧通过定义凹包络，对于最后一个恒等式，我们注意到，如果eκt>0，τeκt=t，否则eκt=eλt=0。最后，我们观察到*t> 0只能在y时发生b∧eκ增加了η，这确保了上述第一个估计值的相等性。第二个等式同样适用于这样的t，因为如果b∧eκ在时间t时增加，b∧必须在eκt处减小，此时soe∧与其凹包络eb∧重合。我们现在可以总结并给出推论3.8 LetbYt，b∧eκt，bY0-, 0和定义Yyt（ybYt）∨η、 t≥ 0，Yy0-, η.作为第一步，我们检查（17）dbYt是否仅在t时大于0≥ 当λt=λt时，实际上，我们将证明，对于这样的t，deλt<0。如果teκ<0，这是显而易见的。那么让我们假设eκt+=eκ，并假设t有t>tλt=eλt∈ [t，t]。在这种情况下，e∧在区间（eκt，eκt）上是常数。因为dbYt>0，密度b∧必须在k处减小，eκt+=eκtand，因此在这一点上，曲线b∧与e∧重合。然而，B∧的凹性和单调性意味着b∧=0，在k附近，与它的值相矛盾。接下来让我们来证明这一点|b∧k | L<∞ 当且仅当ifeλ是dbY-可积的。为了看到这一点，我们认为b∧eκ0-, 我们有，∞)λtdbYt=Z[0，∞)e∧eκtd(b∧eκt）=Z[0，∞)b∧eκtd(b∧eκt）=Zeκb∧lb∧eκτldl=Zeκ(b∧l）dl。事实上，第一个身份仅仅是（17）和ande∧的定义。第二个恒等式成立，因为在b∧变化；第三个实体来源于写下b∧eκt=Reκt后Fubini定理的应用b∧ldl和自b∧是左连续的，eκ跨越的间隔不变。所以如果|b∧L<∞, 那么Xyt，R[0，t]λdYy，t≥ 0是实值的，右连续的，并且在t中递增∞每年都在增加≥ 0加x∞= 0和Xy∞≥ Xy→ ∞ 就像我一样↑ ∞.

事实上，Xy∞= yR[0，∞)λdbY代表y≥η/bY（其中0/0，∞) 还有，对我来说∈ [η/按∞, η/bY]，Xy∞= yR[τy，∞)λdbY=R[τy+，∞)λdbY，其中τy，infnt≥ 0:y>η/bYto。因此，Xy∞实际上是连续的，严格地从0增加到∞ 在y≥ η/bY∞从而得到y的存在性和唯一性*> 0与Xy*∞= x、 因此，我们可以得出x的结论*, Xy*包含在X中（因此相应的Y*= Yy*当我们确定K（Y）时，of（6）包含在Y中*) < ∞. 因此有必要观察K（Y*) ≤ （y）*)K（bY）和我们之前计算R[0，∞)λdbY我们有k（bY）=eK（bY）=Z[0，∞)eκtd(b∧eκt）=泽κ(b∧l）dl<∞.我们接下来展示X*还有Y*分别对问题（3）和问题（7）和（8）是最优的。事实上，根据定理3.7，Y*= （y）*b∧eκ）∨ η满足一阶条件（9），并且根据命题3.6，因此对于凸问题（8）是最优的，前提是*也包含在infY中。要想看得更平[0，∞)eλdY*= 并推导出Y的最优性*同样针对问题（7）（因此，根据命题3.2，X的最优性）*对于原始问题（3），必须通过定理3.4检查{dY*> 0}  {from}实际上是λ（λe）。η=0时的最小成本公式是我们上述计算的直接结果。因此，我们仍然需要证明，如果|b∧| L=∞. 看看这个注释，在这种情况下，对于任何足够大的≤ S<T<∞, 时间表∈ 当η=0时，对于δS，T，δ1[S，T]而不是δ，X是最优的。当我们注意到相应的凹面包络线B∧S，Talways有一个有界密度，因为T<∞, 因此，只要市场深度不完全消失，这个有限时间范围问题的解决方案是存在的。

后一个条件显然适用于δS，当T足够大时，反之亦然≡ 一段时间后0，这将排除假定的b∧在0。请注意，我们可以进一步选择S，T↑ ∞ 使得b∧eκ在这些点与e∧eκ重合。这保证了b∧=b∧S，T[eκT，eκS]，因此|b∧S，T | L→Reκ(b∧k∧eκS）dk=∞ 阿斯特↑ ∞.因为c（XS，T）=Z[0，∞)ηρtdXS，Tt+C（XS，T）≤ηxρS+C（XS，T），其中C（x）表示任何x的成本∈ 当η=0时，我们得到infxc≤ηxρS+x2|b∧S，T | l在这里我们使用了最优成本C（XS，T）的公式。由于我们对S，T的特殊选择，任何固定的S作为T，第二项都消失了↑ ∞.对于S，第一项消失↑ ∞ 因为ρ必须是无界的b∧k增加到∞ 作为k↓ 0.事实上：b∧0+=supk>0e∧k/k=supk>0ρτk。最后，让我们展示定理3.1是如何从推论3.8推导出来的：根据推论3.8，定理3.1的证明必须证明sup0≤T≤sL*t=b∧eκs，s≥ 0.现在，根据凹包络的性质，由于b∧对于任何0<k，我们都有≤ eκb∧k=supl∈[k，eκ]infm∈[0，l）e∧m-e∧lm- l、 随着变量k=eκs，l=eκt，m=eκU的变化，前面的比率变成了（4）中出现的比率，完成了我们的证明。参考文献[1]Jos\'e Infante Acevedo和Aur\'Eline Alfonsi。时变极限订单簿中的最优执行和价格操纵。预印本，2012年。统一资源定位地址http://arxiv.org/abs/1204.2736v1.[2] 奥尔埃林·阿方西、安杰·弗鲁斯和亚历山大·希德。具有一般形状函数的极限订货书的最优执行策略。定量。《金融》，10（2）：143-157，2010年。ISSN 1469-7688。内政部：10.1080/146976802595700。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1080/14697680802595700.[3] 塔伦·乔迪亚、理查德·罗尔和阿瓦尼达尔·苏布拉曼亚姆。市场流动性和交易活动。《金融杂志》，56:501–530，2001年。[4] 安杰·弗鲁斯。

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