渐近Glosten-Milgrom平衡

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英文标题：
《Asymptotic Glosten Milgrom equilibrium》
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作者：
Cheng Li and Hao Xing
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper studies the Glosten Milgrom model whose risky asset value admits an arbitrary discrete distribution. Contrast to existing results on insider\'s models, the insider\'s optimal strategy in this model, if exists, is not of feedback type. Therefore a weak formulation of equilibrium is proposed. In this weak formulation, the inconspicuous trade theorem still holds, but the optimality for the insider\'s strategy is not enforced. However, the insider can employ some feedback strategy whose associated expected profit is close to the optimal value, when the order size is small. Moreover this discrepancy converges to zero when the order size diminishes. The existence of such a weak equilibrium is established, in which the insider\'s strategy converges to the Kyle optimal strategy when the order size goes to zero.
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中文摘要：
研究了风险资产价值服从任意离散分布的Glosten-Milgrom模型。与内部人模型的现有结果相比，该模型中的内部人最优策略（如果存在）不是反馈类型。因此，提出了一个弱平衡公式。在这个较弱的公式中，不显眼的交易定理仍然成立，但内幕策略的最优性没有得到实施。然而，当订单规模较小时，内部人可以采用相关预期利润接近最优值的反馈策略。此外，当订单规模减小时，这种差异收敛到零。证明了这种弱均衡的存在性，即当订单量为零时，内部人的策略收敛到Kyle最优策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：Glosten Milgrom Lost Rom ten

渐近GLOSTEN-MILGROM平衡李成和郝兴义摘要。本文研究的是Milanargrom的离散资产价值分布模型。与内部人模型的现有结果相比，该模型中的内部人选择意象策略（如果存在）不属于反馈类型。因此，提出了一个弱平衡公式。在这个较弱的公式中，不显眼的交易定理仍然成立，但内幕策略的最优性没有得到实施。然而，当订单规模较小时，内部人员可以采用一些反馈策略，其相关预期利润接近最优值。此外，当订单规模减小时，这种差异收敛到零。当订单量为零时，内部人的策略收敛到Kyle最优策略，从而证明了这种弱平衡的存在性。1.导言在市场微观结构理论中，由Kyle[16]和Glosten及Milgrom[13]提出的两个模型特别有用。在Kyle模型中，买卖订单由amarket m aker进行批量处理，他在每个拍卖日设定一个唯一的价格。在Glosten-Milgrom模型中，买卖订单分别由市场制造商执行，因此买卖价格自然出现。在这两种模型中，知情代理人（内幕人士）利用其关于资产基本价值的私人信息进行交易，以最大化其预期收益，而另一组噪音交易者则独立于基金基本价值进行交易。这些噪声交易者的累积需求由凯尔模型中的布朗运动建模，cf。

[2] 在Glosten-Milgrom模型中，通过两个独立的泊松过程的差异，其跳跃大小按订单大小进行缩放。当由随机变量v描述的基本值具有任意的连续分布时，Back[2]在内幕人士和市场决策者之间建立了一个均衡。此外，均衡中的累积需求过程与过滤扩大理论完美地联系在一起，参见[18]。然而，对于GlostenMilgrom模型中的平衡知之甚少。Back和Baruch[3]考虑了一个伯努利分布的v。在这种情况下，内幕人士的临时策略在[10]中构造。正如C ho[11]所说，v的一般分布平衡“将是一个需要考虑的巨大挑战”。在本文中，我们考虑了Glosten-Milgrom模型，其风险资产价值v具有离散分布：（1.1）P（~v=vn）=pn，n=1，··，n，其中n∈ N∪{∞}, （vn）n=1，··，是一个递增序列和d pn∈ （0,1）pnn=1pn=1。这推广了[3]w中的设置，其中考虑了N=2，即∧v具有伯努利分布。关键词和短语。Glosten-Milgrom模型，Kyle模型，不存在，占用时间，弱收敛。作者感谢Lu ciano Campi、Umut C,etin以及匿名副主编和两位推荐人的宝贵意见，这些意见有助于我们改进本文。[3]中的Glosten-Milgrom模型引入了利益最大化的知情代理。与[2]类似，可以研究d离散分布的模型。2.内部交易的渐进GLOSTEN-MILGROM均衡模型，通常可以观察到不明显的交易定理，参见[16]，[2]，[4]，[3]，[8]和[9]Kyle类型的均衡，以及[10]f关于具有伯努利分布基本值的GLOSTEN-MILGROM均衡。

不显著交易理论指出，当内幕交易处于最优均衡状态时，内幕交易和噪声交易的累积净订单与噪声交易的净订单具有相同的分布，即内幕交易能够隐藏噪声交易中的交易。因此，这允许做市商仅考虑当前累积噪声交易来设定交易价格。此外，在上述所有研究中，内部人的最优策略是反馈形式的，这只取决于当前的累积总阶数。该函数形式与内部优化问题的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的优化器相关联。然而，在Glosten-Milgrom模型中，N in（1.1）至少为3时，情况却截然不同。下面的定理2.6表明，鉴于前述的定价机制，内部人的最优策略（如果存在）不符合HJB方程的优化。这一结果源于Glosten-Milgrom模型中买卖价格之间的差异，这与凯尔模型中的独特价格形成了对比。因此，为了在这些Glosten-Milgrom模型中建立均衡，我们在定义2.11中提出了一个弱的均衡公式，其动机是随着订单规模减少和交易强度增加到一致性，Glosten-Milgrom均衡收敛到Kyle均衡，参见[3]和[10]。在这个较弱的公式中，内幕人士通过交易强制执行不显眼的交易定理，但内幕人士的策略可能不是最优的。然而，供应商可以采用一些反馈策略，以便在较小的订单规模下，对其预期利润（与最佳值相比）的损失较小。此外，当有序度消失时，这个间隙变为零。

我们称这种弱形式为渐近Glosten-Milgrom平衡，并在定理2.12中证明了它的存在性。在渐近Glosten-Milgrom均衡中，内部人的策略是在第5节中明确构造的，使用了与[10]中类似的构造。利用这一策略，内部人向中间水平的区间交易，在终端日期将总需求过程推入该区间。上述关于内幕交易的研究中广泛观察到了这种过桥行为。另一方面，参与者的策略是反馈形式的。因此，使用者只能使用当前的累计总需求来确定其贸易强度。此外，随着订单规模的减小，次优策略家族收敛到Kyle模型中的最优策略，参见定理2.13。在这种渐近Glosten-Milgrom均衡中，内部人损失了一些预期收益。这种收益损失的表达在数学上非常有趣：它是两个随机积分关于（标度）泊松占据时间的差异。随着阶数的消失，两个积分都会收敛为关于布朗局部时间的相同随机积分，因此它们的差异消失。本文的组织结构如下。主要结果见第2节。第3节证明了Sider的最优策略和HJB方程的优化器之间的不匹配。然后在第4节和第5节中描述并构建了一系列次优策略。最后，在第6节中建立了渐近平衡的存在性，并在附录中验证了一个技术结果。2.主要结果2。1.模式l.我们考虑一个风险资产和一个风险资产的连续时间市场。无风险利率标准化为0，即无风险资产被视为数字。

Weasoptotic GLOSTEN-MILGROM均衡3假设风险资产的基本价值v具有（1.1）类型的离散分布。这一基本价值将在一个特定的时间范围内（比如1）向所有市场参与者披露，届时市场将终止。市场的微观结构和市场参与者之间的相互作用与我们在下文回顾的[3]类似。他们有三种类型的经纪人：不知情/噪音交易者、知情交易者和做市商，他们都是风险中性的。这些代理人对未来市场的随机性有着相同的看法，但他们拥有不同的信息。因此，概率sp ace(Ohm, P） 不同的过滤过程包括以下过程：o噪音交易者出于流动性或套期保值的原因进行交易，这与基本价值v无关。累积需求Z通过两个独立的跳跃过程zb和zs的差异来描述，这两个过程分别是累积买入和卖出订单。因此Z=ZB- Z并且它独立于v。噪音交易者每次交易时只提交固定大小的δ订单。与[3]一样，ZB/δ和ZS/δ被假定为具有恒定强度β的独立泊松过程。让（FZt）t∈[0,1]是由Z产生并满足通常条件的最小过滤。然后（FZt）t∈[0,1]描述了噪音交易者的信息结构内幕人士知道时间0时的基本价值v，并观察时间0到1之间风险资产的市场价格。客户还提交了每个交易日的订单，订单大小为xδ，并试图最大化其预期利润。客户的累计需求用x:=XB表示-X其中XB和X分别为累计买卖订单。当内幕人士观察到风险资产的市场价格时，她可以反驳噪音订单的动态，参见。

定义2.1后的讨论。因此，对于任何t，内部fit的信息结构包括fzt和σ（~v）∈ [0, 1].o 竞争性做市商只观察知情交易和噪声交易的集合，因此他无法区分知情交易和噪声交易。假设Y:=X+Z，做市商的信息为（FYt）t∈[0,1]由Y生成并满足通常条件。由于做市商是风险中性的，竞争将迫使他将市场价格设定为E[~v|FYt]，t∈ [0, 1].为了确定市场的均衡，让我们首先描述做市商和内部人可以采取的行动。做市商寻求一种马尔可夫定价机制，在该机制中，时间t的风险资产价格是使用累计订单Yt和定价ru le p.definition 2.1设定的。函数p：δZ×[0,1]→ R是定价规则ifi）y 7→ p（y，t）严格地随着t的增加而增加∈ [0,1]；ii）石灰→-∞p（y，t）=范德利米→∞p（y，t）=每t的Vn∈ [0, 1];iii）t 7→ p（y，t）对于每个y都是连续的∈ δZ.y7的单调性→ i）中的p（y，t）是自然的。这意味着需求越高，市场价格就越高。此外，由于单调性，内幕人士通过反转价格过程和从totalorders中执行其指令的subtr，充分观察到未通知的订单Z。第ii）项意味着定价规则的范围足够宽，可以对基本价值的所有可能性进行定价。内幕交易旨在最大化其预期收益。她的可接受策略定义如下：定义2.2。

策略（XB，XS；FI）是可容许的，如果4渐近GLOSTEN-MILGROM-equiremiumi）FI是满足一般条件的过滤，由σ（~v）、FZ和H生成，其中（Ht）t∈[0,1]是一种独立于v和FZ的过滤；ii）XB=XS=0时，XB和XS是FI适应的可积增长点过程，具有jum p sizeδ；iii）xB和xS的（FI，P）-双重可预测预测预测相对于时间是绝对连续的，因此xB和xSFI-强度分别为θ带θS；iv）EhR | p（Yt，t）| dXit- Δθitdt|i<∞, 因为我∈ {B，S}和市场庄家制定的定价规则。这里| Xi-R·△θidt |是补偿点过程的变化。这组可接受的策略类似于[10，定义2.2]。第i）项假设调查者被允许拥有额外的信息H，独立于/v和FZ，她使用这些信息来生成她的混合策略。第iv）项m应用δE[R|p（Yt，t）|θitdt]<∞, 因此，内幕人士的预期利益是有限的。第ii）项不排除与n名OISEtrader同时进行的内幕交易。当内部人在统一指令到达的同时提交指令，但方向相反时，假设做市商仅观察到净需求，则做市商不会注意到这对交易。这对相反的指令将在不需要做市商的情况下执行。因此，做市商只有在需要时才知道交易。从今往后，当内幕人士同时与不知情的交易员进行交易，但方向相反时，我们称内幕人士取消了噪音交易。另一方面，第ii）项也允许内幕人士同时与同一方向的噪音交易者进行交易。在这种情况下，我们称之为内幕人士追加噪音订单。

然而，即使平衡定义的意义很弱，买方也不会提交此类平衡订单，参见下面的备注4.6。允许内幕人士与噪声传播者同时交易的假设与凯尔模型的假设不同，后者的策略是可预测的。insider的附加自由不是下面定理2.6的来源，定理2.6指出内部HJB方程的优化器不符合最优策略；见下文备注2.8。如前一段所述，内幕人士的累计购买订单可能由三部分组成：XB，与ZB不同时间的限制，XB，同时与ZB的一些订单相同的Tarrives，以及XB，扫描ZS的一些订单。销售订单的定义与此类似。因此，XB=XB，B+XB，T+XB，Sand XS=XS，S+XS，T+XS，B。如前所述，内幕人士的目标是最大限度地提高其预期收益。给定可接受的交易策略X=XB- XS内幕人士在时间1的相关利益由ZXT给出-dp（Yt，t）+（v）- p（Y，1））X.最后一项出现是由于市场价格和清算价值之间的潜在差异。由于X为有限变量，且X=0，应用程序通过部件集成重写了专业asZ（~v- p（Yt，t））dXBt-Z（~v）- p（Yt，t））dXSt=Z（~v- p（Yt）-+ δ、 t）dXB，Bt+Z（~v- p（Yt）-+ 2δ，t）dXB，t+Z（~v- p（Yt）-, t） ）dXB，圣-Z（~v）- p（Yt）-- δ、 t）圣路易斯-Z（~v）- p（Yt）-- 2δ，t）dXS，t-Z（~v）- p（Yt）-, t） ）dXS，Bt，即E[XB]和E[XS]都是有限的。渐近GLOSTEN-MILGROM平衡5，其中当XB，B（resp.XS，S）ju-mps为δ时Y增加（或减少）δ，当XB，T（resp.XS，T）ju-mps与ZB（resp.ZS）同时跳时Y增加（或减少）2δ，当XS，B（resp.XB，S）与ZB（resp.ZS）同时跳时Y不变。定义（y，t）：=p（y+δ，t）和b（y，t）：=p（y- δ、 t），可分别视为要价和出价。

然后，内部条件对其信息的预期收益可以用Z（~v）- a（Yt）-, t） dXB，Bt+Z（~v）- a（Yt）-+ δ、 t）dXB，Tt+Z（~v- p（Yt）-, t） ）dXB，圣-Z（~v）- b（Yt）-, t） ）dXS，圣-Z（~v）- b（Yt）-- δ、 t）dXS，Tt-Z（~v）- p（Yt）-, t） ）英国电信~v.（2.1）在描述了市场结构之后，做市商和内部人士之间的平衡定义见[3]：定义2.3。Glosten-M-ilgrom均衡是一个qu-ad-ruplet（p，XB，XS，FI），使得i）给定（XB，XS；FI），p是一个理性的定价规则，即p（Yt，t）=e[~v | FYt]表示t∈ [0, 1];ii）给定p，（XB，XS；FI）是一个可容许的最大化策略（2.1）。当N=2时，[10]建立了Glosten-Milgrom平衡的存在。在平衡状态下，定价规则是（2.2）p（y，t）=EPy[p（Z1-t） ，（y，t）∈ δZ×[0,1]。这里Py是一个概率度量，其中Z是两个独立泊松过程的差，Py（Z=y）=1。P是一个非减量函数，使得P（Z）的分布与v相同。此外，跳跃过程Xi，j，i给出了内部人的最优策略∈{B，S}和j∈ {B，T，S}，强度δθi，j（Yt-, t） ，t∈ [0, 1]. 这些意图是状态变量Y的确定函数，因此该控制策略是反馈控制，它对应于insider的HJ B方程的优化器。然而，当N≥ 3.下面的定理2.6表明，在给定定价规则（2.2）的情况下，最优策略与HJBequation中的优化器不对应，因为有些值为v。这个结果令人惊讶，因为它与Kyle和Glosten-Milgrom均衡中的现有结果相反；参见[16]、[2]、[4]、[3]、[8]、[9]和[10]。这种不匹配反映在Glosten-Milgrom模型中需求过程的离散状态空间中。离散空间产生不同的买卖价格，这与Kylemodel中的独特价格形成对比。