渐近Glosten-Milgrom平衡

更多讨论请参见下面的备注2.7。2.2. 不存在反馈最优控制。为了说明上述结果，我们引入了几个额外的符号。对于每个δ>0，让Ohmδ=D（[0,1]，δZ）是[0,1]上δZ值c`adl`agfunctions与坐标过程Zδ，（FZ，δt）t的空间∈[0,1]是由Zδ生成的最小右连续完全过滤，Pδ是概率测度，在此概率测度下，Zδ是从0开始的两个独立泊松过程的差异，具有相同的跳跃大小δ和强度βδ。我们用Pδ表示，Zδ=y a.s.的概率测度。。从今以后，超级脚本δ表示Glosten Milgrom模型中的交易规模。对于基本值vδ，让我们首先考虑以下分布族。6渐近GLOSTEN-MILGROM平衡质量计算2.4。给定ty-pe（1.1）的vδ，存在δZ∪ {-∞, ∞}-值严格递增序列（aδn）n=1，··，n+1，aδ=-∞, aδN+1=∞, 和∪Nn=1[aδn，aδn+1）=δZ∪ {-∞}, 使得（2.3）P（~vδ=vn）=PδZδ∈ [aδn，aδn+1）, n=1，··，n.对于离散分布（1.1）的任何v，下面的引理6.1表明存在一个序列（vδ）δ>0，每个满足假设2.4，并收敛到v定律中的δ↓ 因此，任何类型（1.1）的v都可以用满足假设2.4的vδ来表示。假设vδ满足假设2.4，定义（2.4）hδn（y，t）：=Pδ，yZδ1-T∈ [aδn，aδn+1）, Y∈ δZ，t∈ [0,1]，n∈ {1，···，N}，和（2.5）pδ（y，t）：=NXn=1vnhδN（y，t）=Eδ，yhP（Zδ1-t） i，其中在Pδ下取期望值，yand（2.6）P（y）=vn，当y∈ [aδn，aδn+1）。然后（2.3）意味着vδ和P（Zδ）具有相同的分布。如果Pδ作为定价规则，则其形式与（2.2）中的形式相同。最后，我们对Pδ施加一个技术条件。当n不确定时，这一假设显然得到满足。假设2.5。

存在正常数C和n，使得| pδ（y，t）|≤ C（1+| y | n）表示任何（y，t）∈ δZ×[0,1]。考虑到定价规则（2.5），让我们首先研究内部人的优化问题，并通过启发式论证推导出关联的HJB方程。在本文中，省略了上标δ以简化符号。定义2.2 iii）意味着Xi，j- δR·θi，jrdr定义了i的FI鞅∈ {B，S}和j∈ {B，T，S}。另一方面，定义2.2 iv）和[7，第一章，T6]的结合意味着R·（~v-p（年）-+ δ、 r））（dXB，Br-ΔθB，Brdr）=R·（~v- p（年，r））（dXB，Br-ΔθB，Brdr）是FI鞅。适用于其他术语的类似论点允许我们将（2.1）改写为δEhZ（~v）- p（年）-+ δ、 r）θB，Brdr+Z（~v）- p（年）-+ 2δ，r）θB，Trdr+Z（~v- p（年）-, r） ）θB，Srdr-Z（~v）- p（年）-- δ、 r）θS，Srdr-Z（~v）- p（年）-- 2δ，r）θS，Trdr-Z（~v）- p（年）-, r） ）θS，Brdr~vi.这促使我们为内部人士定义以下价值函数：Vδ（~V，y，t）：=supθi，j；我∈{B，S}，j∈{B，T，S}δEhZt（~v- p（年）-+ δ、 r）θB，Brdr+Zt（~v）- p（年）-+ 2δ，r）θB，Trdr+Zt（~v- p（年）-, r） ）θB，Srdr-Zt（~v）- p（年）-- δ、 r）θS，Srdr-Zt（~v）- p（年）--2δ，r）θS，Trdr-Zt（~v）- p（年）-, r） ）θS，Brdr当N=∞, N+1=∞.~v={v，··，vN}，y的渐近GLOSTEN-MILGROM平衡7∈ δZ，t∈ [0，1）。Vδ的终端值定义为Vδ（~V，y，1）=limt→1Vδ（~v，y，t）。下面的引理3.2和命题4.4表明，优化问题（2.7）定义良好且非平凡，即0<Vδ<∞, 对于每个δ>0。现在，让我们通过一个启发式参数推导出Vδ满足的HJB方程。因为Y的正（负）部分是YB:=XB，B+XB，T+ZB- XS，B（分别为YS:=XS，S+XS，T+ZS- XB，S）。亨西- δR·（β）- θS，Br- θB，Tr）dr- δR·θB，Brdr- 2δR·θB，Trdr（分别为。

Y- δR·（β）- θB，Sr- θS，Tr）dr-δR·θS，Srdr- 2δRtθS，Trdr）是FI鞅。然后将It^o公式应用于Vδ（~V，Yr，r），并使用标准的动态规划参数，得到Vδ的以下形式HJB方程：（2.8）- Vt（vn，y，t）- H（vn，y，t，V）=0，n∈ {1，··，N}，（y，t）∈ δZ×[0，1），其中汉密尔顿H定义为（H中省略了v参数以简化符号）H（vn，y，t，v）：=（v（y+δ，t）- 2V（y，t）+V（y）- δ、 t）β+supθB，B≥0V（y+δ，t）- V（y，t）+（vn- p（y+δ，t））δθB，B+supθB，T≥0V（y+2δ，t）- V（y+δ，t）+（vn- p（y+2δ，t））δθB，T+supθB，S≥0V（y，t）-V（y）- δ、 t）+（vn- p（y，t））δθB，S+supθS，S≥0V（y）- δ、 （t）- V（y，t）- （越南）- p（y）- δ、 t）δS，S+θ≥0V（y）- 2δ，t）- V（y）- δ、 （t）- （越南）- p（y）- 2δ，t）δθS，T+supθS，B≥0V（y，t）- V（y+δ，t）- （越南）- p（y，t））δθS，B.（2.9）优化器θi，j，i∈ {B，S}和j∈ （2.9）中的{B，T，S}是vn，y和T的确定函数，因此它们是反馈形式。预计它们是（2.7）的最佳控制强度。在Ky-le模型和Glosten-Milgrom模型（n=2）中，比较[16]、[2]、[4]、[3]和[10]的许多现有结果时，情况确实如此。然而，当N≥ 3在Glosten-Milgrom模型中，以下定理表明，当v为neithervn或vN时，（2.9）中的任何优化器都不是最佳强度。定理2.6。让N≥ 3和vδ满足假设2.4。设（2.5）中的pδ为定价规则，并满足假设2.5。然后任何优化器θi，j（y，t），i∈ {B，S}，j∈ {B，T，S}和（y，T）∈δZ×[0，1），因为（2.9）不是（2.7）的最佳策略，当vδ=vnfor1<n<n时。备注2.7。当＠vδ=v（resp.vN）时，内幕人士知道风险资产总是定价过高（或定价过低）。因此，她总是在均衡状态下出售（或购买）。这种情况与[10]完全相同。

当vδ既不是最小值，也不是最大值时，让我们简要描述一下定理的证明。由于容许控制集是无界的，与（2.7）相关的HJB方程通常允许一个边界层，即limt→即使（2.1）中没有端子特性，1Vδ（~v，y，t）也不等于零。凯尔模型中也出现了这种现象，见[2]。正如定义2.2之后所讨论的，XB，Sand XS，T（分别为XS，Band XB，T）的一组跳跃与ZS（分别为ZB）的一些跳跃到达同一时间，那么我们必然有θB，S+θS，T≤ β（分别为θS，B+θB，T≤ β） .8渐近GLOSTEN-MILGROM平衡2。6在这里。为了确保（2.8）处于良好的姿势，H必须是所有人的固定值（y，t）∈ δZ×[0，1）。因此（2.10）（p（y，t）-vn）δ≤ V（y+δ，t）- V（y，t）≤ （p（y+δ，t）- vn）δ，对于所有（y，t）∈ δZ×[0，1），其中第二个不等式来自（2.9）中的前三个最大化，第一个不等式来自后三个。由于V>0，θi，j≡ 0，i∈ {B，S}和j∈ {B，T，S}，in（2.9）不符合最优策略。因此，必须存在（y，t），使得（2.10）中的e不平等，比如第一个，是一个平等。然而，在这种情况下，离散状态空间迫使第一个不等式成为所有等式（y，t）∈ δZ×[0，1]，这意味着（2.10）中的第二个不等式对所有（y，t）都是严格的，因为p（y+δ，t）>p（y，t）。因此（2.9）中前三个最大化中的运算限制器必须为相同的零，这意味着相关的点过程X没有正跳变s。另一方面，动态规划原理和（2.8）在t=1力y=Z+X时的边界层∈ [aδn+δ，aδn+1]a.s。。当X没有正跳跃时，这永远不会发生。因此，定理2.6是离散状态空间和HJB方程边界层的联合作用。备注2.8。

当禁止内幕人士同时与噪声交易者交易时，定理2.6的陈述仍然有效；i、 例如，XB，T，XB，S，XS，T，XS，全部为零。在这种情况下，第二次、第三次、第五次和第六次最大化没有出现在（2.9）中。然而，其中的第一次和第四次最大化仍然导致（2.10）。因此，与前一句话相同的论点仍然适用。备注2.9。没有最优反馈控制的控制问题的例子存在于最优控制理论的文献中，参见[21，第3章，246页]和[17，例子1.1]。在这些情况下，采用放松控制的概念来证明放松最优控制的存在性，参见[17]及其参考文献。对于内部人的优化问题，代替{θ：δZ×[0,1]→ {θ}→ M（R+）}，其中M（R+）是R+中所有概率测度的集合。研究w（2.7）在这个放松的集合中是否承认最优控制是有趣的。我们把这个话题留给未来的研究。2.3. 渐近Glosten-Milgrom平衡。当风险资产v具有一般离散d分布（1.1）和N时，建立Glosten-Milgromtype均衡≥ 3，我们在下面介绍一种平衡形式。为了推动这一定义，我们回顾了Glosten-Milgrom均衡的收敛性，即订单规模减小到零，噪声交易强度增加到完整性，参见[3，定理3]和[10，定理5.3]：命题2.10。对于任何伯努利分布v（即。

N=2在（1.1）中，存在一系列伯努利分布的随机变量vδ，使得ivδ收敛为vδ↓ 0;ii）对于每个δ>0，以vδ作为风险资产基本价值的模型允许一个全局均衡（pδ，XB，δ，XS，δ，FI，δ）；iii）当泊松过程的强度由βδ给出时：=（2δ）-1，XB，δ-XS，δL-→ 十、 asδ↓ 0，其中Xis是凯尔模型中的最优策略，l-→ 表示随机过程的弱收敛性。这一结果促使我们定义以下弱形式的格洛斯滕-米尔格罗姆平衡：关于随机过程弱收敛的定义，请参考[5]或[14]。渐近GLOSTEN-MILGROM平衡定义2.11。对于具有离散分布（1.1）的任何v，渐近Glosten-Milgrom平衡是一个序列（~vδ，pδ，XB，δ，XS，δ，FI，δ）δ>0，使得i）~vδ收敛到v定律中的δ↓ 0;ii）对于每个δ>0，给定（~vδ，XB，δ，XS，δ，FI，δ）并设置Yδ：=Zδ+XB，δ- XS，δ，pδ是一个理性定价规则，即pδ（Yδt，t）=e[~vδ| FYδt]∈ [0, 1];iii）给定（~vδ，pδ）和βδ=（2δ）-1.假设Jδ（XB，XS）是与允许的s策略（XB，XS）相关联的内部人的预期收益。然后SUP（XB，XS）可容许jδ（XB，XS）- Jδ（XB，δ，XS，δ）→ 0，作为δ↓ 0.在上述定义中，定价机制的合理性不会受到影响。然而，内部人策略的最优性并未得到实施。相反，第iii）项要求，当订单规模较小时，与最优值相比，采用策略（XB，δ，XS，δ；Fδ，I）的客户预期利润损失较小。此外，当订单大小消失时，这种差异收敛到零。因此，如果内幕人士愿意放弃少量的预期利润，则可以采用策略（XB，δ，XS，δ；FI，δ）来建立次优均衡。

下面的结果证明了上述弱意义下平衡的存在性：定理2.12。假设N<∞. 然后，存在渐近Glosten平衡。在这个渐近均衡中，定价规则由（2.5）给出。当订单大小为δ时，供应商采用策略（XB，δ，XS，δ；FI，δ），FI，δ强度δβδNXn=1I{vδ=vn}”hδn（Yδt-+ δ、 t）hδn（Yδt-, （t）- 1#++ΔβδNXn=1I{vδ=vn}“hδn（Yδt-- δ、 t）hδn（Yδt-, （t）- 1#-,ΔβδNXn=1I{vδ=vn}”hδn（Yδt--δ、 t）hδn（Yδt-, （t）- 1#++ΔβδNXn=1I{vδ=vn}“hδn（Yδt-+ δ、 t）hδn（Yδt-, （t）- 1#-,分别为（2.11）。特别是，当基本面价值为vn时，内部人向中间水平mδn:=（aδn+aδn+1）交易- δ） 区间[aδn，aδn+1]的/2：当总需求小于mδn时，内幕人士仅通过补充噪音购买订单或取消一些噪音销售订单的方式下订单，当总需求大于mδn时，内幕人士的行为正好相反。更具体地说，下面的引理5.2表明y 7→ 当y<mδ时，hδn（y，t）严格增大，当y>mδn时，hδn（y，t）严格减小-< mδn，（2.11）意味着：XB，B，δ有强度2δhδn（Yδt）-+δ、 t）hδn（Yδt-,（t）-1., XB，S，δ的强度为2δ1.-hδn（Yδt）--δ、 t）hδn（Yδt-,（t）, 同时，δ和强度都是。当Yδr-> mδn，强度可以类似地读出fr om（2.11）。尽管定理2.6在禁止内幕人士与噪声交易者同时交易时仍然有效，但上述策略取决于取消订单的可能性。然而，在这种策略中，内幕人士从不追加噪音订单，即XB，T=XS，T≡ 0.这允许做市商采用合理的定价机制，以满足定义2.11 ii），参见下面的备注4.6。强度为（2.11）的过程（XB，δ，XS，δ；FI，δ）将在第5节中明确构造。

内幕人士利用[0,1]上均匀分布的独立随机变量序列来构造她的混合策略。这一随机变量序列也是Zδ和vδ的独立渐近GLOSTEN-MILGROM平衡。这种结构是[10]的自然延伸。在这种结构中，每当发出取消命令时，内部人员使用一个统一的d分布随机变量来决定是否提交相反的取消命令。因此，该策略适用于InSider的过滤，而不是像Ky-le模型那样可预测。这种取消策略被称为输入调节，在排队论文献中得到了广泛的研究，参见[7，第七章，第3节]。当基本价值为VN且内部人士遵循上述策略时，时间1的总需求将在间隔内结束[aδn，aδn+1）。在此之前，内幕人士的私人信息被充分地（尽管是逐渐地）披露给公众，这样当基础价值被公布时，交易价格不会上涨。另一方面，总需求在其自身的过滤中，与噪音交易者的需求具有相同的分布，也就是说，内幕人士能够在噪音交易中隐藏交易。这是一个内幕交易文献中常见的不显眼交易定理的其他表现形式（参见[16]、[2]、[4]等）。上述内部人士的策略是反馈形式的。内幕人士可以仅使用当前的总累积需求（以及iid均匀分布随机变量序列中的一些额外随机性，这些变量也独立于基本价值和噪音交易）来确定自己的交易。尽管这种策略不是最优的，但当订单规模较小时，其相关预期利润接近最优值。

此外，随着订单规模的减小，差异收敛到零。下面的数值示例说明了随着订单规模降至零，内部人预期利润损失的上限收敛。在这个例子中，v取{1,2,3}中的值，概率分别为0.55,0.35和0.1。凯尔后平衡的预期收益为0.512。与此相比，以下图表显示，内幕人士的预期利润损失很小。00.050.10.150.2-0.04-0.0200.020.040.060.080.1 ELTA（订单规模）价值潜在利润损失标准偏差图1。内部人预期利润损失上限的平均值和标准差。该图由10条路径的蒙特卡罗模拟生成。渐近GLOSTEN-MILGROM均衡11最后，与P Proposition 2.10 iii）类似，随着阶数d变为零，渐进GLOSTEN-MILGROM均衡中的内部净阶收敛到Kyle模型中的最优策略。定理2.13。设（XB，δ，XS，δ，FI，δ）δ>0为定理2.12中的内幕策略序列。那么xb，δ- XS，δL-→ Xasδ↓ 0，其中Xis是凯尔模型中的最优策略。3.HJB方程中的优化器不是最优控制。本节将证明定理2.6。L et us首先利用动态规划原理和粘性解的标准参数，对HJB方程进行启发式论证。为此，回想一下Hamilton的域：dom（H）：={（vn，y，t，V）∈ {v，··，vN}×δZ×[0,1]×R- 值函数| H（vn，y，t，V）<∞}.注意控制变量f或（2.9）在[0]中选择，∞).

因此（vn，y，t，V）∈ d om（H）ifV（y+δ，t）- V（y，t）+（vn- p（y+δ，t））δ≤ 0，（3.1）V（y）- δ、 （t）- V（y，t）- （越南）- p（y）- δ、 t）δ≤ 此外，当（vn，y，t，V）∈ dom（H），将Hamilton约化为（3.3）H（vn，y，t，V）=（V（y+δ，t）- 2V（y，t）+V（y）- δ、 t）β。因此（2.8）改为（3.4）- 及物动词-（V（y+δ，t）- 2V（y，t）+V（y）- δ、 t）在dom（H）中β=0。提议3.1。下面的陈述保持f或Vδ，δ>0:i）Vδ是（2.8）的粘度溶液；ii）（vn，y，t，Vδ）∈ 任意n的dom（H）∈ {1，··，N}和（y，t）∈ δZ×[0，1）。因此Vδ满足（3.1）、（3.2），是（3.4）的粘度溶液；iii）t7→ Vδ（y，t）i在[0,1]上是连续的；Vδ（y，t）=EPδ，yVδ（Zs）-t、 （s）对任何人来说∈ δZ和0≤ T≤ s≤ 1.证明推迟到附录A，其中回顾了动态规划原理以及粘度溶液的定义。定理2.6的证明还需要以下结果。引理3.2。对于任何δ>0，n∈ {1，··，N}，和（y，t）∈ δZ×[0,1），Vδ（vn，y，t）>0.Proof.在不丧失一般性的情况下，我们对一些n∈ {1，··，N}，和（y，t）=（0，0）。在整个证明过程中，省略了su-perscriptδ。当n>1时，让我们构建一个策略，一旦资产定价过低，内部人就会购买。Cons iderτ：=inf{r:p（Zr）-+ 1，r）<vn）}∧ 1和σ：=inf{r>τ：Yr6=0}∧ 1.这里τ是资产首次被低估的时间，σ是τ之后第一个词的到达时间。内幕人士采用的策略强度为θB，Br=I{τ≤R≤σ} 所有其他强度为零。然后是相关的预期利润Z（vn）- a（年）-, r） ）I{τ≤R≤σ} 博士= EZστ（vn）- p（Zr）-+ 1，r）博士> 0,12渐近GLOSTEN-MILGROM平衡，其中，由于τ的定义，以及由于定义2，P（τ<1）>0的事实，导致了不等式。1 ii）。当n=1时，设置τ：=inf{t:p（Zt--1，t）>v}∧1和θS，St=I{τ≤T≤σ }.