去趋势移动平均互相关系数：测量

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英文标题：
《Detrending moving-average cross-correlation coefficient: Measuring
  cross-correlations between non-stationary series》
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作者：
Ladislav Kristoufek
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  In the paper, we introduce a new measure of correlation between possibly non-stationary series. As the measure is based on the detrending moving-average cross-correlation analysis (DMCA), we label it as the DMCA coefficient $\\rho_{DMCA}(\\lambda)$ with a moving average window length $\\lambda$. We analytically show that the coefficient ranges between -1 and 1 as a standard correlation does. In the simulation study, we show that the values of $\\rho_{DMCA}(\\lambda)$ very well correspond to the true correlation between the analyzed series regardless the (non-)stationarity level. Dependence of the newly proposed measure on other parameters -- correlation level, moving average window length and time series length -- is discussed as well.
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中文摘要：
在本文中，我们引入了一种新的度量可能非平稳序列之间的相关性。由于测量基于去趋势移动平均互相关分析（DMCA），我们将其标记为DMCA系数$\\rho_{DMCA}（\\lambda）$，移动平均窗口长度$\\lambda$。我们分析表明，系数范围在-1和1之间，就像标准相关性一样。在模拟研究中，我们表明$\\rho_{DMCA}（\\lambda）$的值非常符合分析序列之间的真实相关性，无论（非）平稳性水平如何。文中还讨论了新提出的测量方法对其他参数的依赖性——相关性水平、移动平均窗口长度和时间序列长度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Detrending_moving-average_cross-correlation_coefficient:_Measuring_cross-correla.pdf (3.2 MB)

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关键词：移动平均 相关系数 互相关 去趋势 Applications

Detrending移动平均互相关系数：测量非平稳序列之间的互相关Ladislav KristoufekInstitute of Information Theory and Automation，捷克共和国科学院，PodVodarenskou Vezi 4，182 08，布拉格8，捷克共和国经济研究所，社会科学院，查尔斯大学，Opletalova 26，110 00，布拉格1，捷克共和国在本文中，我们介绍了一种新的可能非平稳序列之间的相关性度量。由于该测量基于去趋势移动平均互相关分析（DMCA），我们将其标记为具有移动平均窗长λ的DMCA系数ρDM CA（λ）。我们分析表明，系数范围在-1和1之间，就像标准相关性一样。在模拟研究中，我们表明，无论（非）平稳性水平如何，ρDM CA（λ）verywell的值都与分析序列之间的真实相关性相对应。文中还讨论了新提出的测量方法对其他参数的依赖性——相关性水平、移动平均窗口长度和时间序列长度。关键词：相关性、经济物理学、非平稳性ACS代码：05.10。5点45分。Pq1。多元数列统计性质的检验已成为经济物理学中一个日益重要的课题。为此，人们提出了一对级数互相关中幂律的各种估计量[13,19,8,6,15]。其中，扭曲互相关分析（DCCA）[13,19]已成为最流行的分析方法。除了分析互相关函数本身的幂律外，Zebende[17]还提出了DCCA互相关系数，将其作为DCCA和扭曲函数分析（DFA）的组合[10,11,7]。

尽管其揭示幂律互相关的能力有点争议[12,2,3,18]，但Kristoufek[9]表明，该系数能够准确估计非平稳序列之间的相关系数，并且它主导了标准使用的皮尔逊相关系数。电子邮件地址：kristouf@utia.cas.cz（Ladislav Kristoufek）2013年11月5日提交给Physica的预印本在本文中，我们提出了CCA互相关系数的替代系数，但也是一个补充系数——去趋势移动平均互相关系数。在下一节中，将介绍该系数。之后，给出了广泛的蒙特卡罗研究结果，结果表明，新提出的系数精确估计了真实相关系数，即使对于强非平稳序列也是如此。2.DMCA系数从Vandewalle&Ausloos[14]提出并由Alessio等人[1]进一步发展的去趋势移动平均法（DMA）开始。对于（可能是渐近非平稳的）级数{xt}和{yt}，我们为t=1，2，…，构造了积分级数xt=Pti=1xind-yt=Pti=1yi，T，其中T是时间序列长度，这对两个序列都是通用的。波动函数Fx，DM A和Fy，DM A则定义为Fx，DM A（λ）=T- λ+1bT-θ(λ-1） cXi=bλ-θ(λ-1） cXt-gXt，λ, （1） Fy，DM A（λ）=T- λ+1bT-θ(λ-1） cXi=bλ-θ(λ-1） cYt-gYt，λ（2） 式中，λ是移动平均窗长，θ是移动平均类型的一个因子（向前、居中和向后分别表示θ=0、θ=0.5和θ=1）。然后，gXt、λ和Gyt、λ代表时间t时具有窗口大小λ的特定移动平均值。人们经常研究DMA的特性，通常将该过程与DFA进行比较。这两种方法的性能相似，但DMA的计算要求要低得多，因为该过程不包含框分裂和回归拟合[4,16,5]。

以类似的方式，研究了不同类型的移动平均线，居中移动平均线（θ=0.5）显示了最佳结果[4]。因此，我们在本研究中也采用θ=0.5。对于二元序列，He和Chen[6]提出了去趋势移动平均互相关分析（DMCA），可以将其视为去趋势协方差。二元函数FDM定义为FDM CA（λ）=T- λ+1bT-θ(λ-1） cXi=bλ-θ(λ-1） cXt-gXt，λYt-gYt，λ. （3） 在Zebende[17]的步骤中，我们提出了去趋势移动平均互相关系数，或基于DMCA的相关系数，如ρDM CA（λ）=FDM CA（λ）Fx，DM A（λ）Fy，DM A（λ）Fy，DM A（λ）（4）该系数可以重写为ρDM CA（λ）=FDM CA（λFx，DM A（λ）Fy，DM A（λ）=T-λ+1PbT-θ(λ-1） ci=bλ-θ(λ-1） cXt-gXt，λYt-gYt，λrT-λ+1PbT-θ(λ-1） ci=bλ-θ(λ-1） cXt-gXt，λT-λ+1PbT-θ(λ-1） ci=bλ-θ(λ-1） cYt-gYt，λ=PbT-θ(λ-1） ci=bλ-θ(λ-1） cx、 ty、 tqPbT-θ(λ-1） ci=bλ-θ(λ-1） cx、 tPbT-θ(λ-1） ci=bλ-θ(λ-1） cy、 t（5）在哪里{x、 t}和{y、 t}分别是序列{Xt}和{Yt}，由长度λ的中心移动平均值去趋势化。从等式5的最后一部分可以看出- 1.≤ ρDM CA（λ）≤ 1（6）根据柯西-施瓦茨不等式。基于DMCA的相关系数与标准相关系数的范围相同。在下一节中，我们展示了新提出的系数的值非常精确地描述了两个序列之间的相关性，即使对于强非平稳序列也是如此。3.模拟结果在本节中，我们表明DMCA系数能够非常精确地描述（即使是非平稳）序列之间的相关性。为此，我们对不同程度的相关性和（非）平稳性进行了广泛的蒙特卡罗模拟研究。

为此，我们使用了两个具有相关错误项的ARFIMA（0，d，0）过程=∞Xn=0an（d）εt-n（7）yt=∞Xn=0an（d）νt-n（8）式中，an（di）=Γ（n+di）Γ（n+1）Γ（di），hεti=hνti=0，hεti=hνti=1，hεtνti=ρεν。参数d对于平稳性讨论很重要。对于d<0.5，序列是固定的，而对于0.5≤ d<1，序列是非平稳的，但均值回复，而对于d≥ 序列是非平稳和非均值回复（爆炸性的）。为了观察DMCA系数如何能够量化（非）平稳序列的相关性，我们选择了几个水平的d，特别是d=d≡ d=0.1,0.4,0.6,0.9,1.1,1.4。DMCA系数的R项目代码可在http://staff.utia.cas.cz/kristoufek/Ladislav_Kristoufek/Codes.html或根据作者的要求。为了充分详细地涵盖各种可能的相关水平，我们研究了ρεν=-0.9, -0.8, . . . , 0.8, 0.9. 为了了解不同移动平均长度的影响，我们研究了λ=5,15,31,101的情况。最后，我们研究了两个时间序列长度，这两个时间序列长度代表了经济物理学中通常分析的序列——T=10005000。无花果。1-4，对所有结果进行总结。无花果。1-2中讨论了时间序列长度ofT=1000，图。图3-4显示了T=5000的结果。在这些图中，我们给出了2.5%、50%和97.5%的分位数，即基于给定参数设置的1000次模拟，我们显示了95%的密度区间和中值。主要发现总结如下。首先，DMCA系数是序列真实相关系数的无偏估计量，与（非）平稳性设置、相关水平、时间序列长度和移动平均窗口大小λ无关。其次，随着λ的增加，置信区间变宽。

尽管如此，所有检查λs的置信区间仍然非常窄（与Kristoufek[9]检查的DCCA系数或皮尔逊相关性相比）。第三，系数的性能在零相关性周围是对称的，即正相关性和负相关性的性能之间没有明显差异。第四，随着真实相关性绝对值的增加，DMCA系数变得更加精确——对于±0.9的真实相关性，置信区间非常窄。第五，系数的标准偏差在零相关性附近近似对称，并且随着参数d的增加而增加。第六，DMCA系数的性能随着时间序列长度的增加而变得更好。结论在本文中，我们引入了一种新的测量可能非平稳序列之间相关性的方法。由于该测量基于去趋势移动平均互相关分析（DMCA），我们将其标记为具有移动平均窗口大小λ的DMCA系数ρDM CA（λ）。我们分析表明，系数范围在-1和1之间，就像标准相关性一样。在模拟研究中，我们表明，无论（非）平稳性水平如何，ρDM CA（λ）verywell的值都与分析序列之间的真实相关性相对应。由于ρDM CA（λ）系数可被视为ρDCCA（s）系数的替代和补充[17]，因此应比较这些系数的精度。由于本研究和我们之前对DCCA系数[9]统计特性的研究都是以类似的方式构建的，因此比较容易。最重要的发现如下。首先，即使对于高度非平稳的过程，这两个系数也提供了一个无偏估计。

其次，除了非常强的非平稳性（d=1.4）外，两个系数都能对真实相关性进行非常精确的估计。第三，考虑到差异，我们发现，对于给定的设置，DMCA系数的置信区间较窄，标准差较低。然而，需要注意的是，系数的关键参数是不同的。对于DMCA方法，我们有移动平均窗口长度λ，对于DCCA方法，我们使用尺度s，用于框分裂和时间趋势周围的函数平均。因此，这两个系数不容易比较。然而，新提出的DMCA系数的一个无可争议的优势仍然存在——DMCA程序的计算要求比DCCA方法低很多，主要是因为DCCA程序中的方框分割和时间趋势拟合。这可能成为长期金融系列和任何其他研究分支的一个问题。总的来说，我们建议在处理潜在非平稳序列的实证分析中使用这两种方法，并且每种方法都可以更好地控制不同类型的趋势。感谢查尔斯大学（GAUK）资助机构在1110213项目下的支持，捷克共和国资助机构（GACR）在P402/11/0948和402/09/0965项目下的支持，以及SVV 267 504项目的支持，谨此致谢。参考文献[1]Alessio，E.，A.Carbone，G.Castelli和V.Frappietro（2002）。随机时间序列的二阶移动平均和标度。《欧洲物理杂志》B27197-200。[2] 巴洛基，R.，M.瓦拉尼尼和A.马塞雷特（2013）。量化去趋势互相关分析中不同程度的耦合。EPL10120011。[3] Blythe，D.（2013）。幂律互相关的严格而有效的渐近检验。技术报告，arXiv:1309.4073。[4] Carbone，A.和G.Castelli（2003年）。

长期相关噪声信号的标度特性：金融市场的应用。间谍诉讼511406-414。[5] Grech，D.和Z.Mazur（2005年）。时间序列趋势分析中新旧技术的统计特性。波兰物理学报B 362403-2413。[6] 他、L-Y.和S-P.陈（2011）。一种量化幂律互相关的新方法及其在商品市场中的应用。Physica A 3903806–3814。[7] Kantelhardt，J.，S.Zschiegner，E.Koscielny Bunde，A.Bunde，S.Havlin和H.E.Stanley（2002）。非平稳时间序列的多重分形去趋势波动分析。Physica A 316（1-4），87-114。[8] Kristoufek，L.（2011年）。多重分形高度互相关分析：一种分析长期互相关的新方法。EPL9568001。[9] Kristoufek，L.（2013年）。利用DCCAcoe效率测量非平稳序列之间的相关性。Physica A提交，arXiv:1310.3984。[10] 彭，C.，S.布尔迪列夫，A.戈德伯格，S.哈夫林，M.西蒙斯和H.E.斯坦利（1993年）。有限大小对长程相关性的影响：分析DNA序列的意义。物理复习E 47（5），3730-3733。[11] 彭，C.，S.布尔迪列夫，S.哈夫林，M.西蒙斯，H.E.斯坦利和A.戈德伯格（1994年）。DNA核苷酸的镶嵌组织。体格检查E 49（2），1685-1689。[12] Podobnik，B.，Z-Q.Jiang，W-X.Zhou和H.E.Stanley（2011）。幂律交叉相关过程的统计检验。体格检查E84066118。[13] 波多布尼克，B.和H.E.斯坦利（2008）。去趋势互相关分析：一种分析两个非平稳时间序列的新方法。物理检查信函100084102。[14] N.范德维尔和M.奥斯洛斯（1998年）。两个移动平均值的交叉：测量粗糙度指数的方法。体检E 586832–6834。[15] 王杰、尚宝平和葛伟（2012）。

基于统计矩的多重分形互相关分析。分形20（3），271–279。[16] 徐立群、P.伊万诺夫、胡克强、陈志强、A.卡本和H.E.斯坦利（2005）。用幂律相关性量化信号：去趋势函数分析和去趋势移动平均技术的比较研究。体检E 71051101。[17] 泽本德，G.F.（2011）。DCCA互相关系数：量化互相关水平。Physica A 390614–618。[18] 泽本德，G.F.，M.F.达席尔瓦和A.马查多·菲略（2013）。DCCA互相关系数差异：理论和实践方法。Physica A 392，1756-1761。[19] 周文熙（2008）。两个非平稳信号的多重分形去趋势互相关分析。体格检查E77066211。图1：不同分数积分参数di的估计DMCA相关系数。此处显示了长度T=1000的时间序列的结果。单独的图形代表不同的参数d–d=0.1（左上）、d=0.4（中上）、d=0.6（右上）、d=0.9（左下）、d=1.1（中下）、d=1.4（右下）。红线代表ρεν的真实值。灰色实线（大部分与红线重叠）代表给定参数设置下1000次模拟的中值。虚线代表95%的置信区间（模拟的2.5分位数和97.5分位数）。不同的灰色表示移动平均窗λ的不同值，从最低的（λ=5，最暗的阴影）到最高的（λ=101，最亮的阴影）。图2：不同分数积分参数di的DMCA相关系数的标准偏差。此处显示了长度T=1000的时间序列的结果。

单独的图表示不同的参数d–d=0.1（左上）、d=0.4（中上）、d=0.6（右上）、d=0.9（左下）、d=1.1（中下）、d=1.4（右下）。实线表示给定参数设置下1000次模拟的标准偏差。不同的灰色表示移动平均窗λ的不同值，从最低的（λ=5，最暗的阴影）到最高的（λ=101，最亮的阴影）。图3：不同分数积分参数d II的估计DMCA相关系数。此处显示了长度T=5000的时间序列的结果。使用图1的符号。图4：不同分数积分参数d II的DMCA相关系数的标准偏差。此处显示了长度T=5000的时间序列的结果。符号OFIG。使用2。