短时多重分形去趋势波动分析的性能

研究中的所有长度的序列都重现了理论预测，但预测值大于0.5%-0.5<q<2.0。对于较大的q值，模拟越来越高估预测；在q=4时，预测和模拟之间的差异为3%，与序列的长度无关。对于较小的q值，该方法无法改变广义赫斯特指数的预测形状，并且似乎饱和到一个取决于序列长度的值。在q=-1对于最短系列，协议仍然为1%，对于长石系列，协议为更好，但在q=-2预测和模拟之间的差异在最长系列中已经达到20%，在最短系列中达到30%。注意，在这种情况下，将多重分形估计为大负q和大正q下广义赫斯特指数的差异，将产生比理论预期更小的多重分形。这种行为与单分形级数所表现的行为相反，单分形级数往往产生比模型中的多重分形更大的多重分形。对于这种多重分形模型，独立实现之间的影响（通过标准偏差进行量化）在q值较大时，长度小于等于2时为6–8%；q=0时，长度从2到2的标准偏差从1%增加到8%，q=-2.对于2的短长度，波动更大：q=0时为15%，q=4时为25%，q=0时高达30%-2Log Gamma cascade。这是一个随机连续统模型，其中随机数来自阿加玛分布，其特征是s形和反比例参数。使用两组不同的参数来评估FDFA的性能：[1，ln（2）]和[2，1/0.6]。结果如图4所示。

结论与对数泊松叶栅的分析结果相似：对于q中部区域的所有序列长度，n理论和模拟之间都有很好的一致性。对于q的大ge值，模拟高估了理论结果，而在q的低值，模拟低估了预测。模拟和理论之间的一致性良好的q范围取决于参数。对于参数集[1，ln（2）]，模拟和理论之间的差异对于最短序列为4%，对于最长序列为3%。q=-1模型存在差异，但根据序列的长度，模拟得出的值在2.2到2.6之间。对于参数s[2,1/0.6]的第二个set，该协议适用于q=-1 toq=5。在所有情况下，协议都低于2%。对于这种多重分形模型，由标准偏差量化的独立实现之间的影响，对于这两组参数具有相似的行为。对于q=0时的参数集[1，ln（2）]，当长度从2到2时，它们从1%增长到12%。对于q=5，除2达到25%外，它们约为8-10%。问→ -1.波动较大：所有长度的波动约为15%，但标准偏差增长至30%的最短长度除外。对于第二个参数集[2,1/0.6]，定性行为是相似的，但定量上的影响要小得多，大约是参数集[1，ln（2）]的一半。对数正常级联。该模型由两个参数表征，分别对应于正态分布的均值和标准差。使用两组不同的参数来评估MFDFA的性能：[1.1,0.5]和[1.2,0.75]。

对h（q）的这些参数的解释很简单：在这种情况下，h（q）是一条直线，h（q=0）的值与正态分布的平均值相对应，而-10123450.511.522.53q<h（q）>22021821621212210log-Gamma=[1，ln（2）]-10123450.70.80.911.11.21.31.41.51.6q<h（q）>22021821621212210log-伽马=[2,1/0.6]（a）（b）图4。对数伽马二项式级联的平均广义赫斯特指数，参数为（a）[1，ln（2）]和（b）[2,1/0.6]，对于不同长度的序列，与实线表示的理论预期相比。-5.-4.-3.-2.-101230450.70.80.911.11.21.31.41.51.61.7q<h（q）>2202182162142110normal=[1.1,0.5]-5.-4.-3.-2.-1 01 2 3 4 50.20.40.60.811.21.41.61.822.2q<h（q）>22021821621212210正常=[1.2,0.75]（a）（b）图5。对数正态二项式级联的平均广义赫斯特指数，参数为（a）[1.1,0.5]和（b）[1.2,0.75]，与实线表示的理论预期相比，序列的不同长度。斜率与其方差直接相关。结果如图5所示。与之前的多重分形模型一样，从序列长度到所研究的最短序列之间没有很强的相关性。模拟和理论分析表明，在q的中间区域和q的范围内，一致性良好，这取决于参数的值。在q值较大的情况下，模拟产生的r值比理论预期的大，而q值较小，理论高于模拟。因此，在这些情况下，多重分形的数量也可能被低估。对于第一组参数，[1.1,0.5]理论和模拟之间的一致性在q=-2到q=3是2%或更好。

理论和模拟结果一致的q范围从q=-对于第二组参数，1到q=2，[1.2,0.75]。对于这种多重分形模型，独立实现之间的影响，如标准de1/4/99 1/2/01 1/2/03 1/3/05 1/2/07 1/2/09 1/2/11 8/3/120.80.911.11.21.31.41.51.6所述，按每欧元1/4/99 1/2/01 1/2/01/03 1/3/05 1/2/07 1/2/09 1/2/11 8/12计算-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05天SR（a）（b）图6。美元和欧元之间的汇率。（a） 原始时间信号包含从1999年1月4日到2012年8月3日的3420个数据跨度。（b） 连续汇率对数差的时间序列用作MFDFA的输入。viation对于这两组参数具有相似的行为。对于| q |=-3当长度从2减少到2时，它们会从2–3%增长到10%，当Q=0时，它们会变小。对于最短的长度，波动在很大程度上达到20%| q |，在q=0时达到12%左右。四、 如前所述，对短时间序列的研究有两方面的兴趣：（i）许多利息序列很短；（ii）长序列的动态可能会随着时间而变化，需要分析长序列中的较短片段，以了解这一过程。就汇率而言，这两个方面都是相关的，因为一些重要的货币要么是相对较新的，要么是与其他货币的兑换在不久的过去受到了新政策的约束。前者是1999年初出生的theEuro的情况。10110210310-2sFq（s）-5.-4.-3.-2.-1 01 2 3 4 50.450.50.550.60.65h（q）q（a）（b）图7。美元和欧元之间汇率的MFDFA。（a） q–q 2、0和-2的订单流量（从上到下）。

（b） 广义赫斯特指数由MFDFA算法的应用得到。参考文献[25]对美元兑欧元汇率的多重分形进行了研究，重点与本文不同。[24,26]研究了其他涉及亚洲货币的汇率。特别是[26]se PARETEST，为了研究亚洲货币危机对不同亚洲汇率分形行为的影响，他已经将序列分为两个范围。[29–32]中介绍了其他更一般的工作，这些工作不仅分析了汇率，还研究了在多重分形模型背景下，某个阈值以上事件之间收益间隔的统计数据的其他财务记录。A.时间序列使用MFDFA方法分析美元和欧元之间的每日汇率。如图6上面板所示，数据是从美联储管理委员会的网页（www.federalreserve.gov）上获得的。0.40.50.6h（q）0.40.50.60.40.50.50.60.40.40.60.60.40.50.40.60.60.40.40.60.60.60.40.50.40.50.6-5.-4.-3.-2.-1 01 2 34 50.40.50.6q1999–20022000–20032001–20042002–20052003–20062004–20072005–20082006–20092007–20102008–20112009–2012FIG。8.美元和欧元之间四年汇率的广义赫斯特指数（开放圈）。第一阶段始于1999年的第一个可用数据（上图），最后一阶段始于2009年的第一个可用数据。实线是1999年至2012年完整时间序列上的FDFA方法的结果。它包含从1999年1月4日到2012年3月3日的3420个数据条目。每年大约有250个中心。

该分析不是基于每日汇率分布，而是基于连续几天汇率的对数差Ri=ln（Ri+1）- ln（ri）。如图6下面板所示，选择该变量是为了能够直接与[24–26]的结果进行比较。表I.图8所示各时期h（q）的平均值和标准差值，以及相应的最大值≡ | max{h（q）}- hh（q）i |/hh（q）i周期hh（q）iσ（h（q））max1999-2002 0.5220 0.007 0.0392000-2003 0.572 0.017 0.0572001-2004 0.5310.0110.0342002-2005 0.5480.0120.0452003-2006 0.5510.026 0.0922004-2007 0.5190.069 0.2442005-2008 0.5660.0450.1562006-2009 0.5600.0520.1762007-2010 0.5840.043 0.1442008-2011 0.5220.0130.10020-2012 0.050.050.5。完整汇率时间序列的分析完整的时间序列已使用FDFA方法进行分析。已经发现，对于-5和5范围内的q值，方程（5）适用于所有盒子尺寸s的范围，从s=10开始。图7的上面板显示了3Q值的示例。从smin=20到最大可用盒子尺寸s进行了提取h（q）。图7的下面板显示了MFDFA的结果。对于赫斯特指数H=0.5和H=0.75的单分形信号，观察到的行为与图2下两个面板中观察到的行为相似。小| q |区域具有线性行为，斜率非常小，而在q值较高/较低时，广义Hurst e指数（q）随斜率较高而增加/减少。

在q=0和q=±5时，h（q）之间的差异小于10%，而w.r.t q=±2之间的差异小于2%。基于这一行为以及与单分形合成序列的相似性，我们很容易提出这样的假设：该序列表现出单分形行为，具有长程相关性，Hurst指数约为0.54；i、 接近白噪声。另一方面，有许多关于较长金融时间序列的研究，包括汇率（例如[29–31]），它们指向多重分形行为，图7的下面板没有显示常数h（q），因此也可以讨论多重分形场景。在这种情况下，对于这个短时间序列，多重分形（如果存在）将很弱。C.时间序列较短部分的分析从对H=0.5和H=0.75的单分形合成信号的分析中得出结论，可以使用MFDFA分析长度为2的序列，在| q |<5的最大值下，其精度约为5%，对于-3.≤ Q≤ 3.就汇率而言，25年对应四年零几天的数据。因此，FDFA已应用于2个数据点的数据段，每个数据段从1999年至2009年每年的第一个可用数据开始。从2009年开始到2012年8月3日结束的最后一段时间有902个数据点。已经发现，将FDFA方法应用于这些较短的时间序列是可能的，并且在每个周期内，都会发现等式（5）中预期的行为。每个周期的广义赫斯特指数如图8所示。为了以某种方式量化每个时期的行为，我们计算了三个量：所有q上每个广义赫斯特博览会的平均值、相应的标准偏差以及h（q）和平均值之间的相对最大差值。

（在每个集合{h（q）}中，有51个不同的q值，从q=-5 toq=5，以0.2为单位。）结果如表1所示。前几个周期呈现出与单分形信号一致的行为，赫斯特指数略有不同。考虑到将MFDFA应用于短序列的不确定性，很难确定前几个周期之间的差异是否是由于时间序列的短——这很可能是解释——或者它们是否反映了某些动态——这将非常有趣。但在2004年至2007年期间，以及在其周围的那些时期，h（q）的标准偏差的大小，或h（q）值与相应平均值之间的最大相对差，都是用单分形信号的期望值来解释的。事实上，在这种情况下，这种行为更接近对数正态预期。请注意，连续的周期有75%的重叠，因此它们的行为是相关的。这意味着在2004-2007年期间观察到的行为可能会更早开始，并持续几年。最后一个周期显示出一种与单分形相容的行为，非常接近于白噪声；i、 e.没有长程相关性。有趣的是，2003年左右，欧元开始显示出强势货币的信号，而且目前的欧元危机始于2008年左右。这里发现的结果似乎表明，Eur o的强相表现出多重分形行为，而弱相则接近于单分形行为，赫斯特指数略高于0.5。对这些诱人迹象的全面分析超出了本分析的范围。

在本文中，重要的是要注意，使用MFDFATE技术可以成功地对短时间序列进行分析，并且可以观察到汇率时间序列分形行为的变化。V.结论在结论中，研究了MFDFA方法在几种单分形和多重分形模型中作为长度递减函数的性能。对于所有模型和所有长度，在q中发现了一个区域，其中广义赫斯特指数的模拟和理论预测的一致性为百分之几。在这些区域之外，不仅一致性最差，而且结果可能会导致单分形信号多重分形行为的错误分配，或多重分形信号多重分形的减少。本研究的结果已应用于美元和欧元之间的每日汇率。研究发现，对跨越欧元存在12年的序列进行分析的结果，既具有单分形行为，又具有弱多重分形行为。此外，对4年期的分析表明，在2004年之前的某个时候，汇率的动态从（a）单分形行为变为多重分形行为，几年后，动态又变回单分形行为，或（b）多重分形行为在上述期间从弱变强变为弱。这些结果表明，在适当谨慎的情况下，使用MFDFA分析短时间序列是可能的，对长时间序列的短周期分析有助于发现待研究系统的动力学变化。确认该工作得到了ConacytMexico和捷克共和国MˇSMT项目LK11209的部分支持[1]B.B.Mandelbrot，J.Fluid Mech。

62, 331 (1974).[2] P.格拉斯伯格，物理系。莱特。A 97227（1983）。[3] B.B.Mandelbrot，《自然的分形几何》（W.H.Freeman，纽约，1982）。[4] H.E.斯坦利和P.米金，《自然》335405（1988）。[5] A.Bunde和S.Havlin，《科学中的分形》（柏林斯普林伯格出版社，1994年）。[6] B.B.Mandelbrot，《金融中的分形与标度》（斯普林格，纽约，1997年）。[7] P.Ch.伊万诺夫，L。A.N.阿马拉尔、A.L.戈德伯格、S.哈夫林、M.G.罗森布鲁姆、Z.斯特鲁齐克和H。E.斯坦利，《自然》杂志399461（1999）。[8] J.W.Kantelhardt，“分形和多重分形时间序列”，（Springer，2009）arXiv:0804.0747。[9] 彭志强，S.V.布尔迪列夫，S.哈夫林，M.西蒙斯，H.E.斯坦利和A.L.戈德伯格，Phys。牧师。E 491685（1994）。[10] J.W.坎特哈特、S.A.兹奇纳、E.科斯切尔尼·邦德、A.邦德、S.哈夫林和H.E.斯坦利，Physica A 316,87（2002）。[11] 顾国锋和周文星，物理系。牧师。E 74061104（2006年）。[12] B.波多本·伊克和H.E.斯坦利，物理系。牧师。Lett 100084102（2008）。[13] B.波多布尼克、D.霍瓦蒂奇、M.彼得森和H.E.斯坦利，Proc。纳特尔。阿卡德。Sci。美国106，22079（2009）。[14] 周文轩，物理系。牧师。E 77066211（2008）。[15] P.Oswiecimka，J.Kwapien和S.Drozdz，Phys。牧师。E 74016103（2006）。[16] J.W.坎特哈德、D.莱布斯克、S.A.兹奇涅、P.布劳恩、E.K.奥斯切尼·邦德、V.利维纳、A.邦德和S.哈夫林，Physica A 330、240（2003）。[17] E.K oscielny Bunde、J.W.Kantelhardt、P.Braun、A.Bunde和S.Havlin，《水文学杂志》322120（2006）。[18] R.G.Kavasseri和R.Nagarajan，《混沌、孤子和分形》24165（2005）。[19] D.Makowiec、R.Galaska、A.Dudkowska、A.Rynkiewicz和M.Zwierz，Physica A 369632（2006）。[20] S.杜塔，J.统计机械师。2010年，第2021页（2010年）。[21]D.Makowiec、A.Ry nkiewicz、R.Galaska、J.WdowczykSzulc和M.Arczyn ska Buchowiecka，EPL 94（2011）。[22]P.O swiecimka，J.Kwapien和S.Drozdz，Physica A 347626（2005）。[23]Y.袁，X。