考虑执行成本和市场影响的期权定价和套期保值

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英文标题：
《Option pricing and hedging with execution costs and market impact》
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作者：
Olivier Gu\\\'eant, Jiang Pu
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This article considers the pricing and hedging of a call option when liquidity matters, that is, either for a large nominal or for an illiquid underlying asset. In practice, as opposed to the classical assumptions of a price-taking agent in a frictionless market, traders cannot be perfectly hedged because of execution costs and market impact. They indeed face a trade-off between hedging errors and costs that can be solved by using stochastic optimal control. Our modelling framework, which is inspired by the recent literature on optimal execution, makes it possible to account for both execution costs and the lasting market impact of trades. Prices are obtained through the indifference pricing approach. Numerical examples are provided, along with comparisons to standard methods.
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中文摘要：
本文考虑了在流动性重要的情况下，看涨期权的定价和套期保值，即，对于大额名义资产或非流动性标的资产。在实践中，与无摩擦市场中价格接受代理的经典假设相反，由于执行成本和市场影响，交易者无法完全对冲。它们确实面临着套期保值误差和成本之间的权衡，这可以通过使用随机最优控制来解决。我们的建模框架受最近有关最优执行的文献启发，可以考虑执行成本和交易的持久市场影响。价格是通过无差异定价方法获得的。文中给出了数值例子，并与标准方法进行了比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Option_pricing_and_hedging_with_execution_costs_and_market_impact.pdf (319.7 KB)

2022-5-5 05:08:48 上传

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关键词：期权定价 套期保值 Quantitative Indifference Assumptions

考虑执行成本和市场影响的期权定价和套期保值*Olivier Guéant+Jiang PuAbstract本文考虑了在流动性重要的情况下，看涨期权的定价和套期保值，即对于大额名义资产或非流动性基础资产。在实践中，与无摩擦市场中价格接受代理的经典资产相反，由于执行成本和市场影响，交易者无法完全对冲。他们确实面临着套期保值误差和成本之间的权衡，这可以通过使用随机最优控制来解决。我们的建模框架受到了有关最佳执行的最新文献的启发，使我们能够考虑执行成本和交易的持久市场影响。价格通过独立定价法获得。给出了数值算例，并与标准方法进行了比较。关键词：期权定价，期权套期保值，非流动市场，最优执行，随机最优控制。1简介经典期权定价理论基于一个无摩擦市场的假设，在这个市场中，代理人是价格接受者：没有交易成本，交易者对价格没有影响——既不是暂时的，也不是永久的。这些假设并不现实，但结果期权定价模型（例如Black-Scholes模型或Heston模型）被广泛使用，只要标的资产是流动的，且名义价值是固定的，就可以提供有用的结果*这项研究是在欧洲金融研究所支持下的研究倡议“最佳执行情况统计”的支持下进行的。

作者要感谢罗伯特·阿姆格伦（量化经纪人）、尼古拉斯·格兰尚·德·劳克斯（汇丰法国）、查尔斯·阿尔伯特·莱哈勒（CFM）、特里·莱昂斯（牛津人）、拉姆齐·马格里比（汇丰法国）、胡延·范（巴黎迪德罗大学）、克里斯·罗杰斯（剑桥）、马修·罗森鲍姆（UPMC）和纪尧姆·罗耶（法国理工学院）就这个话题进行的讨论。作者还想感谢两位匿名推荐人对我们论文的评论。+巴黎狄德罗大学、数学研究院、雅克·路易斯·利昂斯实验室、，gueant@ljll.univparis-狄德罗。fr欧盟金融研究所，蒋。聚氨基甲酸酯。2009@m4x.orgnot太大了。然而，对于非流动资产期权或与标的资产市场上通常交易量相比具有较大名义价值的期权，执行成本和市场影响不容忽视。Black-Scholes模型已经做了一些改进，以考虑交易成本。其基本思想是，由于交易费用，高频套期保值成本过高，而低频套期保值会导致较大的跟踪误差。Leland在[21]中提出了在期权定价背景下处理交易成本的第一个模型之一。其他具有固定交易成本或交易成本与交易量成比例的摩擦市场模型包括[6]、[11]和[12]。在期权定价模型中，还有另外两条途径被认为是市场缺陷的原因。第一条路线通常被称为“供给曲线”方法。在切丁、贾罗和普罗特[7]提出的这种方法中（另见[3]和[8,9]），交易者不是价格接受者，他们支付的价格取决于他们交易的数量。虽然这个框架很吸引人，但它的价格与布莱克-斯科尔斯模型中的价格相同。

切丁、索纳和图齐[10]考虑了相同的方法，但他们限制了可接受的策略集（另见[23]），以获得正的流动性成本和价格，最终与布莱克-斯科尔斯模型中的流动性成本和价格不同。我们对执行成本（流动性成本）进行了不同的建模，因为我们的框架受到了有关临时执行的文献的启发（见[1,16,28]）。第二条路线必须受到-对冲基础资产的动态，以及由此产生的反馈对期权价格的影响。关于这一主题有大量文献，因此我们参考[25]、[29]和[30]了解不同的建模方法。为了考虑这种影响，我们使用了与大多数关于最优执行的论文相同的线性形式的永久市场影响。除了这两条路线之外，最近出现了一种新的方法，与优化执行的文献有关。罗杰斯和辛格[26]以及李和阿尔姆格伦[22]考虑了受这些文献启发的方法，与我们的方法类似。在他们的设置中，作者认为执行成本在执行量中不是线性的，而是凸的，以考虑流动性影响。罗杰斯和辛格考虑了一个客观函数，该函数惩罚执行成本和到期时的均方对冲误差。在这种接近平均方差的框架下，当非流动性成本很小时，他们得到了最优套期保值策略的封闭形式近似值。受2012年7月观察到的美国股票价格波动的推动，李和阿尔姆格伦考虑了一个具有永久性和暂时性影响的模型，而罗杰斯和辛格在[26]中没有研究永久性市场影响。在套期保值误差是主要变量的情况下，他们使用均值-方差优化准则。

他们考虑了二次执行成本的情况，并使用常数Γ近似，以获得套期保值策略的闭式表达式。2012年7月，通过对五只主要美国股票价格的锯齿模式观察到了这种影响（见[19,20,22]）。我们的目标是考虑一个通用模型，而不是讨论导致封闭式表达的特殊情况。我们使用执行成本的一般形式，并检查永久市场影响的影响范围。我们考虑的优化标准是应用于最终财富的预期性。因此，我们用偏微分方程（PDE）来描述最优策略，并依靠数值方法来近似PDE的解和最优套期保值策略。另一个不同之处是我们考虑了利率。此外，无论[22]还是[26]都没有将实物交付与现金结算区分开来。在本文中，我们展示了对冲策略和期权价格是如何受到结算类型的影响的。就（部分）对冲策略而言，[22]和[26]都获得了围绕经典均值回归的最优策略. 在我们的预期效用框架中并非如此：我们的最优策略不会在没有执行成本和市场影响的情况下围绕解决方案波动。我们模型中的最优策略比经典的更平滑-套期保值策略因为交易者试图避免股票的往返，这会导致股票买卖的执行成本。在实物结算的情况下，平滑策略还取决于这样一个事实，即交易者既厌恶价格风险，也厌恶必须交付与不交付的二元风险。

通过将OUR策略与经典策略进行比较-套期保值策略对于不同的再平衡频率，我们表明，我们的方法可以在降低执行成本的同时达到非常低的差异水平。特别是，我们观察到，由于重新平衡的频率导致了相同水平的执行成本，与我们的策略相关的PNL方差低于通过经典方法获得的方差-享乐策略。除了最优套期保值策略外，我们的预期CARA效用框架还通过使用差异定价方法提供定价。我们计算了当交易者使用最优对冲策略时，客户需要支付的金额，用效用来补偿期权的支付。我们发现，与经典模型相比，在存在执行成本的情况下，看涨期权的价格更高，并且该价格是标的资产流动性不足和期权名义价值的函数。尽管我们在整篇文章中都集中讨论了看涨期权的情况，但同样的应用程序也可以用于其他类型的期权。特别是，类似的应用程序roach被用于定价和对冲加速股票回购合同（见[15,18]）。这些合同是亚洲类型的期权，具有百慕大风格的锻炼日期和物理交付。正文的其余部分组织如下。在第二节中，我们给出了模型的基本假设，并介绍了与该问题相关的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程。在第3节中，我们解决了无永久市场影响的控制问题，并证明了期权价格满足非线性偏微分方程。在第4节中，我们将展示如何将您的解决方案扩展到具有永久市场影响的情况。第五章，我们讨论了解决这个问题的数值方法。

在第6节中，我们介绍了几个例子的结果，并将我们的模型与Bachelier模型进行了比较。2.模型的设置2。1注释我们考虑一个经过过滤的概率空间Ohm, F、 （Ft）t≥0，P这对应于市场上的可用信息，即观察时间之前的股票市场价格。为了0≤ s<t≤ 我们将P（s，T）表示为R值渐进可测过程的集合[s，T]。我们考虑的问题是银行（或交易员）向客户出售股票的看涨期权。看涨期权有一个名义N（以股份计）、一个行使K和一个到期日T。执行过程由于执行成本，银行无法复制该选项。然而，为了（部分地）对冲其风险头寸，它还是在积极地买卖股票。为了对执行过程进行建模，我们首先引入了市场容量过程（Vt），它被假定为确定性、非负性和有界的。通过施加最大参与率ρm，限制交易相对于市场交易量不会走得太快。因此，对冲组合中的股票数量被建模为：qt=q+^tvsds，其中随机过程v属于一组可接受的策略，定义为：a:={v∈ P（0，T），|vt |≤ ρmVt，a.e.in（0，T）×Ohm}.备注1。当市场关闭时，市场容量过程可用于通过假设gvt=0对隔夜风险进行建模。价格过程根据历史概率将标的资产的价格过程定义为Ito过程，其形式为：dSt=udt+σdWt+kvtdt，其中k≥ 0模型永久性市场影响，其中u通常是对基础资产未来趋势的看法。为了避免动态套利，我们考虑了永久市场影响的线性形式（参见Gatheral[14]的分析）。

[17]中提出的更一般的框架可能是另一种可能性，但我们认为它更适合日内问题。对于看跌期权或银行购买期权的情况，理由是相同的。我们考虑看涨期权的具体情况，以突出实物交割和现金结算之间的差异。合格中介机构指投资组合开始时的股份数量。在非流动性市场中，尤其是对于包括期权在内的公司交易，看涨期权的买方可以提供初始股数（见第3节的讨论）。下面我们将考虑q=0和QI设置为初始单身汉的情况 感谢您与Buyer的首次交易。在我们的框架中，没有理由考虑风险中性概率，因为由于执行成本，我们无法复制看涨期权的有效性。备注2。我们考虑的是价格波动的Bach-elier动力学，而不是经典的Black-Scholes框架。Almgren和Li的论文[22]也是如此。这种选择的根本原因是我们考虑了一个CARA效用函数，它先验地与几何布朗运动不相容。因此，当期权到期时间较长时，我们获得的价格会受到批评（参见[27]了解th eBachelier和Black-Scholes期权定价模型之间的比较）。现金账户和执行成本银行的现金账户遵循与现金策略相关的动态。它尤其受到执行成本的影响。

这些执行成本通过引入函数L来建模∈ C（R，R+）证明了以下条件：oL（0）=0，oL是一个偶数函数，oL在R+上增加，oL是严格凸的，oL是渐近超线性的，即：limρ→+∞L（ρ）ρ=+∞.对于任何v∈ A、 现金账户X演变为：dXt=rXtdt-vtStdt- VtLvtdt，其中r是无风险利率。备注3。在应用中，L通常是形式为L（ρ）=η|ρ| 1+φ且φ>0的幂函数，或形式为L（ρ）=η|ρ| 1+φ+ψ|ρ|且φ，ψ>0的函数，其中ψ考虑了比例成本，如买卖价差或印花税。特别是，初始Almgren-Chriss框架对应于L（ρ）=ηρ（φ=1，ψ=0）。在时间T，我们考虑实物结算或现金结算。让我们来考虑实际解决的情况。如果行使期权，则银行收到KN，并需要交付N sh ares。由于套期保值组合包含qTsharesat time T，银行必须购买N- 我们希望股票能够交付。因此，如果行使期权，则银行的支付为：XT+KN-（N）- ST）qT- L（qT，N）=XT+qTST+N（K- （圣）- L（qT，N），其中L（q，q′）对从一个有q股的投资组合到一个有q′股的投资组合的额外成本进行建模，该成本高于按市值计价（MtM）价格。在未行使期权的情况下，支付金额为XT+qTST- L（qT，0），因为交易者需要清算投资组合。术语L（qT，0）是清算剩余的s兔所产生的折扣。如果我们假设当且仅当股票价格高于K时行使期权，那么实物结算的总支付为：XT+qTST- N（圣- （K）+- 第一≥吉隆坡（qT，N）- 第1次<KL（qT，0）。在现金结算的情况下，唯一的区别是行使期权的时间。

在这种情况下，银行支付N（圣-K） 并清算其投资组合（通常持有大量股票）。清算将为银行带来以下收益：XT+qTST- N（圣-（K）+- L（qT，0）。一般来说，对于现金结算和实物结算，支付方式为formXT+qTST- π（qT，ST），其中∏（q，S）≥ N（S）- K） +。优化我们考虑的随机最优控制问题是：supv∈AE[-经验(-γ（XT+qTST）- π（qT，ST））]，其中γ是银行的绝对风险规避参数。备注4。惩罚函数L需要具体说明。当没有永久性的市场影响时，自然选择是L（q，q′）=l（| q）-q′|）在哪里l 是一个增凸函数。一名候选人l 是大宗交易的风险流动性溢价，如[16]所示。另一个候选因素是与某个固定参与率ρ（例如ρm）下的清算相关的风险流动性溢价：l（q） =^T′TL（ρ）Vtdt+γ∑T′Tqtdt=L（ρ）ρq |+γ∑T′T |q |- ρ^tTVsds！dt，其中T′是第一次，使得`T′TρVtdt=|q |。在市场上，低流动性的罢工可能比低流动性的罢工要少。当考虑到永久市场影响时，L必须有一个特定的形式，以避免动态波动（见第4节）。2.2价值函数和HJB方程为了解决上述随机最优控制问题，我们定义价值函数u:u（t，x，q，S）=supv∈阿泰-经验-γXt，x，vT+qt，q，vTSt，S，vT-π（qt，q，vT，St，St）i、 其中：At:={v∈ P（t，t），|vs|≤ ρmVs，a.e.in（t，t）×Ohm},式中：Xt，x，vt′=x+t′trXt，x，vs- vsSt，S，vs- VsLVSVdsqt，q，vt′=q+^t′tvsdst，S，vt′=S+u（t′）- t） +t′tσdWs+k（qt，q，vt′）- q） 。与该问题相关的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程如下：-屠- u苏-σ苏- sup | v|≤ρmVt五、曲+rx- vS- LvVt及物动词xu+kv苏= 0，终端条件为：u（T，x，q，S）=-经验(-γ（x+qS）- π（q，S）））。备注5。