作为市场不平衡度量的最优交易策略

，n）-sessiona-增量：ts，ri=ts，ri- ts，ri-1，i=2，Ns，r，（2）b-增量：Ps，ri=Ps，ri- Ps，ri-1，i=2，Ns，r.（3）它们未定义为Ns，r<2。将增量相加，可以跳过未定义的数量。用零替换它们将得到相同的总和，但由于总和的数量增加，会影响样本统计。对于每个不确定的情况，可能需要一种选择性的方法。c增量指的是sth课程的第一个价格与a（s）课程的最后一个价格之间的差异- 1） 第八届会议不带任何期待地讨论范围问题-增量：Ps=Ps- 附言-1Ns-1.（4）未定义n<2、Ns=0或Ns-1= 0. 定期会议、周末和节假日之间的c增量为cr增量、cw增量和ch增量。ci增量（内部）是指rth系列的第一个价格与a（r）系列的最后一个价格之间的差异- 1） 兰奇酒店-增量：Ps，r=Ps，r- Ps，r-1Ns，r-1.（5）未定义ms<2，Ns，r=0或Ns，r-1= 0. 如果所有s的ms=1，则第二个指数r可以从方程式1-3和下面的一些其他方程式中删除。这对一些未来来说是正确的。因此，有一系列c增量。价格b增量和c增量系列是在不同的等待时间内定义的。前者与a增量相关联。后者对应于两个类似a的增量加上一个已知的提前增量，通常比a增量、时间间隔会话和/或范围长得多。增量可通过影响初始和最终指数值a向前计算-增量：ts，ri+1=ts，ri+1- ts，ri，i=1，Ns，r- 1、（6）b-增量：Ps，ri+1=Ps，ri+1- Ps，ri，i=1，Ns，r- 1，（7）c-增量：Ps+1=Ps+1- PSN，s=1，N- 1.（8）ci-增量：Ps，r+1=Ps，r+1- Ps，rNs，r，r=1，太太- 1.（9）转发不会改变n、ms、Ns、Ns、r，这决定了数量是否被定义。

向后和向前的b增量have和c-have在Pc和ci增量有一个和两个较高的索引。对应于c增量的时间间隔由当前会话开始TSOA和之前结束Ts之间的已知间隔组成-1倍加上两个持续时间：在当前第一个滴答时间和TSOA之间，以及Ts之间-1和上一个最后一个滴答声时间，其中s=2，Nts=（Tso）- Ts-1c）+（ts）- Tso）+（Ts-1c- ts-1Ns-1） =ts- ts-1Ns-1.（10）这可以写为正向增量，其中s=1，N- 1.ts+1=（ts+1o）- Tsc）+（ts+1- Ts+1o）+（Tsc- tsNs）=ts+1- tsNs。（11） 与r=2，…，的ci增量相关的时间间隔，澳门特别行政区ts，r=（ts，ro-Ts，r-1c）+（ts，r）-Ts，ro）+（Ts，r）-1c-ts，r-1Ns，r-1） =ts，r-ts，r-1Ns，r-1.（12）r=1的相应正向时间间隔，太太- 1是ts，r+1=（ts，r+1o-Ts，rc）+（Ts，r+1-Ts，r+1o）+（Ts，rc-ts，rNs，r）=ts，r+1-ts，rNs，r.（13）方程式10-13中的和没有名字。a1增量为ts- Tsoand ts，r- 哦，罗。如果ts=ts，1和Tso=ts，1o，则a1增量将包含一次，用于组合来自范围和会话的a1s的样本。这2个增量是T-1c- ts-1Ns-1和Ts，r-1c- ts，r-1Ns，r-1.如果-1c=Ts-1，女士-1和ts-1Ns-1=ts-1，女士-1Ns-1，女士-1，则a2增量包含一次到一个样本中，该样本结合了范围和会话中的a2。a1和a2增量是Tso的分数- Ts-1或Ts，ro- Ts，r-1c。如果Ns>0，ms>1，但有些Ns，r=0，则a1和/或a2增量获得范围持续时间。这两个类似a的贡献仍然存在。随着24/7交易，c增量将成为历史。与基于恒定观察间隔的时间和价格增量分类不同，a-b-c增量与交易相关，并共享属性：它们是不可分解的——邻居之间没有滴答声。

a-b-c增量测量a-b-c属性。a-b-c过程演变如下：a）a属性决定时间变化，从而决定范围内下一个事务的时间；b） b类房地产决定价格波动和一定范围内下一笔交易的价格；c）c属性负责当前范围/会话最后一个和下一个范围/会话第一个价格之间的价格变化，并按价格连接两个相邻的范围/会话。在sth会话的第rth范围内的任何时间或价格都是第一次或价格加上a或b增量的代数，ri=ts，r+iXk=2ts，rk，i=1，Ns，r，（14）Ps，ri=Ps，r+iXk=2Ps，rk，i=1，Ns，r.（15）通常，当迭代索引大于最大值时，sumsPvanish，例如，如果i=1。从第一笔合同交易开始计算的时间和价格为arets，ri=t1,1+s-1Xj=1mjXl=1Nj，lXk=2tj，lk+mjXl=2tj，l+tj+1+R-1Xl=1Ns，lXk=2ts，lk+ts，l+1+iXk=2ts，rk，（16）图6:ZSN13于2013年5月21日周二交易。自上而下：价格vs。时间，N=N20130521,1+N20130521,2=9202+58381=67583个事务标记，a-b-c过程的a-b部分；具有过滤交易的MPS成本为75美元；音量节拍；累积体积；交易到达的速度。Ps，ri=P1,1+s-1Xj=1mjXl=1Nj，lXk=2Pj，lk+mjXl=2Pj，l+Pj+1+R-1Xl=1Ns，lXk=2Ps，lk+Ps，l+1+iXk=2Ps，rk，（17）式中，i=1，Ns，r，s=1，n、 r=1，如果每个范围至少有一个刻度，则方程式1-17是精确的。在等式17中，第一个价格加上a）b-、ci-和c-增量，从最后一个请求的sth会话之前的所有范围和会话，b）b-和ci-增量，从最后一个请求的sth会话之前的所有范围，以及c）剩余的b-增量，直到第i个。时间方程16是相似的。

a-b-c-过程、a战略、流动性、a-b-c-增量直方图、价格和数量分布如图6、7所示。图7:2013年5月21日星期二交易的ZSN13。频率直方图。顶部（从左到右）：a-增量（以秒为单位），最小增量为零；b增量（几乎对称，但不是高斯）。底部（从左到右）：形成多模态经验分布的价格（垂直中心线为平均值，左右线标记密度范围的70%，“价值区”，平均15%，从两端开始阶梯）；卷，最小值为1。7.2两个Shiryaev的任务描述金融节拍Albert Shiryaev[205，第379页]阐述了两个主要任务（作者翻译自俄文版）：（I）“节拍之间[VS:时间]间隔长度的统计数据是什么；（II）价格变化的统计数据是什么[VS:节拍之间]（绝对值或相对值）”。任务（I）与a属性和a增量相关。任务（II）与b属性和b增量有关。阿方索·杜福尔（Alfonso Dufour）和罗伯特·恩格尔（Robert Engle）[41，第2467页]评论了人们对此类研究日益增长的兴趣：“交易数据的大型数据集和强大的计算设备的可用性，引发了对市场微观结构研究的新一轮兴趣，并为其假设的实证研究开辟了新的领域”，参见文章集[125]。8 a增量a增量是不相同的交易时间。Globex交易是由匹配的图书订单引起的。a-b-c过程取决于到达的订单、图书状态和匹配算法。如果一个订单与队列中其他两个较小的订单匹配，则两个事务之间会触发一个CPU时间。CPU指令需要纳秒。如果书籍正在等待订单，则最短时间由订单转移决定。延迟会增加。

图1中11:00:00的一秒钟内的806个事务均匀分布将产生a增量1/（806+1）=0.0012秒。非均匀性会缩短一些时间。顺序顺序处理意味着非零a增量。然而，一秒钟的报告不准确给人留下了离散和零的印象。8.1截断后的1秒误差[11:00:00，11:00:01）→ 11:00:00, [11:00:01, 11:00:02) →11： 00:01，对于一次刻度，a增量0.5±0.5秒设置为零。对于11:00:00，11:00:01，将其设置为1，持续1±1秒。对于11:00:00,11:00:02，设置为2，持续2±1秒。具有讽刺意味的是，11:00.00.800、11:00:01.100、11:00.01.800报告为11:00:00、11:00:01、11:00:01不匹配a增量1和0，差异为0.3和0.7秒。把时间四舍五入到一秒也有问题：11:00:00.499→ 11 : 00 : 00, 11 : 00 : 00.500 → 11:00:01，a增量1保持0.001秒。这“错误地重塑”了高流动性下a增量的经验分布，并通过概率密度为零的理论连续分布使其近似变得复杂。真正的零a增量需要同时进行事务处理。最终，它可以实现类似于并行和多线程计算机应用程序。8.2不规则等待时间Benoit Mandelbrot和Howard Taylor[144，第1057页]写道：“……任何时间段内的交易数量都是随机的……”。因此，滴答之间的持续时间是不规则的。这些作者和彼得·克拉克[28][29]都是研究者之一，他们强调了这一事实对融资的重要性。随机时间是随机价格的一个次要因素。亚协调过程理论由所罗门·博希纳（Salomon Bochner）提出[22]。高频率的交易迫使传统在正常时间收集价格。查尔斯·古德哈特和莫林·奥哈拉的评论[68，pp。

80-81和第74页]：金融市场行为的传统研究依赖于在固定时间间隔内得出的价格观察结果。这种抽样模式可能是由一种普遍观点决定的，即无论推动证券价格和回报的是什么，它可能不会在短时间间隔内发生显著变化。金融领域的几项发展改变了这种看法。。。高频数据的一个基本特性是，观测可以在不同的时间间隔发生。交易在不规则的时间发生，独立于“观察”。常规时间的观测会错过很多滴答声。表15总结了a增量的简单统计数据。一个疗程内时间范围内的样本分别进行处理，并在日期列中标记为1和2。它们也组合在一个样本中。这些日期标志着这样的聚集和一次会议。8.3发现的主要规律作者注意到样本过剩峰度和a增量偏度之间的非线性依赖关系，图8。谷物是赢家。有趣的是，范围和集合中的点属于一条曲线。2013年4月29日、30日和5月13日、29日ZCN13的四个异常值对应于平均值<1。对于流动合同，时间不准确严重影响了统计数据。2013年5月21日和23日ZSN13的两个异常值也证实了这一点。ZBM13和ESM13的平均值增量在许多时段都不到1秒，见表15。关于时间差异的结论对他们来说是可疑的。其他的“星团”与谷物有共鸣。图8的右下图将991个条目与1.5<平均值<8000的条目组合在一起。它类似于威布尔峰度和偏度之间的已知依赖关系[188]。

“所有”行中的点偏离并被排除在外。对于相同的991个实体，标准偏差和平均值与相关系数0.957、斜率2.65和截距54.2相关，见图9。一个区间内所有a-增量之和接近于其持续时间的超对数曲线：平均值vs.Ns，r.假期前和最后一个交易日的较短区间和交易时段产生异常值。在液体较少的情况下，噪声会更大，其中θ1-和a2增量与射程持续时间相当，如图10所示。A增量的直方图（图7）可以转换为经验累积分布函数ECDF（图11）。累积分布函数CDF是概率分布的全部特征。Kolmogorov[100]定义：“让x，x，…，xnbe相互独立的随机变量遵循相同的分布规律P{xi≤ ξ} =F（ξ）。。。把Fn（ξ）=N（ξ）N，其中N（ξ）表示观察值不超过ξ的x的数量。F（ξ）是CDF。Fn（ξ）是ECDF。这个定义意味着计数重复。1秒的不精确性对它们有影响。因此，对于排序链1，2，2，5，5，5，7，8，9，9，作者将ECDF建立为（值，概率）：（1，0.1），（2，0.3），（5，0.6），（7，0.7），（8，0.8），（9，1）科尔莫戈罗夫的定义是直接计算ECDF和配对。但概率是否有价值呢≤ 7等于0.6还是0.7？Boris Gnedenko[66，第201页]澄清：例如，按照升序x排序的示例*≤ 十、*≤ . . . ≤ 十、*nECDF是fn（x）=0代表x≤ 十、*,KNX*k<x≤ 十、*k+1,1表示x>x*n、 （18）这并不是假设重复，但应用到我们的例子中会导致它们的内在品质：（x）≤ 1,0），（1<x≤ 2,0.1），（2<x≤ 5,0.3），（5<x≤ 7,0.6），（7<图8：流动性期货的样本超额峰度与样本偏度的依赖关系，2013年3月至7月≤ 8,0.7），（8<x≤ 9,0.8），（9<x,1）。

因此，使用的ECDF是连续的。它是一个一致估计，在x上一致收敛到一个带n的CDF→ ∞（格利文科·坎泰利主要统计定理[66，第201-207页]）。计算图11上的点时，应使用经过重复调整的方程式18。表15中A1-ALL和A2-ALL的平均值通常大于inA-ALL，而单个A2，尤其是a1s在范围和会话中通常为零：交易在第一秒和最后一秒到达。每个studiedsession都有一个或两个区间，给出了一个或两个a1s和a2s，这两个区间对于非流动性合约来说比较大。相比之下，a-的数量增加了Ns，r-1通常比2大。单一的非流动性“异常值”对a1和a2的影响强于A增量统计。让我们考虑一个范围为T，N的两个会话 N> 蜱虫的均匀分布：a=a1=a2=TN+1和a=a1=a2=TN+1。平均a增量为（a（N-1） +a（N）-1） ）N+N-2.≈2TN。平均a1和2区域1+a1=a2+a2≈2TNbut2TN2TN。157ZCN13的a1s由153个零、13916、60和30秒组成。在2013年7月7日19:00:00开盘的区间内，第一笔交易于19:15:16到达，产生a1=916。平均值6.4904大于平均a增量2.1373。图9:2013年3月至7月交易的16个期货的标准差和平均值（左）之间的线性相关性，以及超额峰度与偏度（右）增量的抛物线相关性。9建议对威布尔分布进行评论[41，pp。

2475-2476]对于描述交易之间的持续时间，威布尔分布是一种“合理的最小消耗”：“如果数据显示过度分散，极值（非常短和很长的持续时间）比指数预测的可能性更大，则首选威布尔分布。”指数分布CDF（x）=1- E-λx，x≥ 由于图8，对于作者来说，恒定基度为2且峰度为6的0是不合理的。沃洛迪·威布尔在1939年提出了一个自1951年以来的统计分布[235]名称[236]。南希·曼（Nancy Mann）[151]认为这与Fisher-Tippett III型分布[59]相似。威布尔的三个参数CDFisCDF（x）=F（x）=1- 经验-十、- xuxoM, （19） 其中，xu是位置或阈值，xo是比例，m是形状或图10：平均a增量是滴答数的可预测函数。模数。通过x的微分得到概率密度函数PDF，P DF（x）=DF（x）dx=mxo十、- xuxoM-1exp-十、- xuxoM. （20） 对于x<xu，CDF和PDF设置为零。设置xu=0给出了Rosinramler方程[187][236，讨论1952]。可以使用代换z=（x）导出分布平均值α-xuxo）m，x=xu+xozm，dx=xomz1-mmdz和第二类Euler积分的性质，伽马函数，对于实x>0[34][111]Γ（x）=R∞E-ttx-1dt，Γ（x+1）=xΓ（x），Γ（1）=1α=Z∞xuxP DF（x）dx=Z∞（许+xozm）e-zdz=xu+xoΓ1+m. （21）对于z，方程20，21和牛顿二项式（a+b）k=Pkj=0Cjkak-jbj，其中Cjk=k！J（k）-j） !！[111]，我们得到第k个中心矩（关于平均值）uk=Z∞徐（x）- α） kP-DF（x）dx=Z∞hxu+xozm- α-艾克-zdz=图11:a增量的典型ECDF，2013年4月5日=xkokXj=0Cjk(-1） jΓj1+mΓ1+k- 吉咪= xkoW（m，k）（22）这些时刻并不取决于徐。方差k=2等于方差=u=xoΓ1+m- Γ1+m（23）uq/uqpp=W（m，q）/Wqp（m，p）的比率不取决于xo。

因此，偏度=u=Γ1+m- 3Γ1+mΓ1+m+ 2Γ1+mΓ1+m- Γ1+m, （24）过度峰度=峰度- 3 =uu- 3 = -3++Γ1+m- 4Γ1+mΓ1+m+ 6Γ1+mΓ1+m- 3Γ1+mΓ1+m- Γ1+m（25）仅依赖于m，且m-参数相互依赖。Lanczos近似[117]适用于伽马函数计算。方程24和25用于在图8上绘制威布尔曲线。它与数据相似，但随着偏度的增加，会经历一个系统性的向上移动。10关于库马拉斯瓦米分布的评论进行水文研究时，Ponnambolam Kumaraswamy发明了三种概率分布[114]-[116]。一个[116]代表zmin≤ Z≤ zmaxisCDF（z）=F（z）=F+（1）- F） 一,-1.-Z- zminzmax- zminA.B（26）式中F（zmin）=F，F（zmax）=1。Fis zmin的累积概率。将F（z）与z进行微分，得出PDFP DF（z）=ab（1- F） zmax- zminZ- zminzmax- zminA.-1.1.-Z- zminzmax- zminA.B-1（27）这与原始f（z）[116，第81页，方程式3]的系数zmax不同-兹敏。事实上，库马拉斯瓦米对F（z）的微分与x=z有关-zminzmax-zmin代替承诺的z，z=zmin+（zmax- zmin）x，dz=（zmax-zmin）dx。F应该小心，因为zmaxzminp DF（z）dz=1-但不是一个。起始第k个力矩可以表示为αk=Zzmin-∞zkP DF（z）dz+ZzmaxzminzkP DF（z）dz+z∞zmaxzkP DF（z）dz，其中最后一个积分为零，但第一个积分为zkminfac，计算zmin处的概率质量（而非密度）。Q=zmax时-zminan和Kumaraswamy的x，ZzmaxzminzkP DF（z）dz=z（zmin+Qx）kab（1- F） xa-1(1 - xa）b-1dx==ab（1- F） kXj=0Cjkzk-jminQjZxa-1+j（1- xa）b-1dx。应用牛顿二项式。