高频市场中的自筹资金方程

这些工作大多从流动性接受者的财富模型开始，该模型将自我融资方程推广到交易成本设置。然而，总的来说，这些论文并不强调模型的推导，而是强调对其后果的研究。我们希望REN’E CARMONA和KEVIN Webster能够通过提供更准确的自我融资投资组合方程式，同时保持类似的可操作性，从而帮助解决与流动性提供相关的问题，如做市商。此类问题的一个有趣特征是，代理不直接控制他的投资组合，这增加了额外的建模挑战。为了记录在案，我们注意到本文献分支中使用的标准方程式为xt=Ltdpt-st | dL | t（2.6），其中再次假设库存过程L具有有限变量RT | dL | s<∞ 对于所有的FINET和STI，买卖差价。该模型的优点在于其简单、相对易操作，以及对市场的直接校准。它的缺点包括过程只能有有限的变化。此外，模型中没有价格影响、限价订单和其他微观结构因素。公式（2.6）与我们提出的公式（2.3）相比，可能看起来更接近。它只对应于一个不同的差异极限。在我们的框架中，可以通过考虑非消失的买卖价差、零价格影响和仅查看市场订单来恢复。请注意，对于低频市场，这些假设可能比我们的假设更自然。这大概就是他们被介绍的原因。3.实证研究和离散方程首次从高频市场召回标准术语。3.1. 高频术语。在高频市场上交易需要在一个叫做限价指令簿的物体上进行。

代理人可以通过两种可能的交易机制与他人互动：限价指令和市场指令。限价指令对向市场提供流动性的行为做出反应，而市场指令则从中获取流动性。我们将从事第一类交易的代理人称为流动性提供者，而按照市场指令进行交易的交易员将被称为流动性接受者。在真实市场中，交易者经常在提供流动性和采取策略之间切换，这在一定程度上模糊了这种定义。以下评论有助于突出差异流动性接受者为自己的攻击性付出代价。这种费用通常采取价差的形式，这是大多数交易发生的地方。相应的供应商获取该买卖价差交易一发生，价格就可能变动。如果是这样的话，它几乎总是有利于市场秩序，在一定程度上补偿了交易成本。这种现象被称为价格影响。这是接受者逆向选择限价指令的结果。o在连续两次交易之间，价格恢复到受影响价格和原始价格之间的某个值。价格恢复是一个直观的名称，通常用来描述这种高频特性接受者直接控制他们的库存。要想获得与市场的相关性，就需要对下一轮价格走势进行高频预测。其中做市商是一个特殊的类别。高频市场中的自筹资金等式7o供应商不直接控制他们的库存，只控制他们对市场订单流动的敞口。他们能捕获多少流量取决于他们的限价订单利率。如果流量导致错误选择，则认为它是有毒的。供应商策略的可行性取决于其捕获的扩散和流的毒性。3.2. 研究中使用的数据。

本文报告的统计测试是通过对纳斯达克瘙痒数据的分析得出的，其中包括欧洲央行近期高频交易研究[11]中使用的120只股票的组合。本文中包含的数据是使用可口可乐（KO）2013年4月18日的数据制作的。如前一个脚注所述，原始数据的唯一清理预处理是删除特殊交易和执行隐藏订单。这些数据不包含参与交易的代理人的身份。因此，与存货L、现金K或财富X相关的所有数量都是可被视为与代表性总流动性提供者相关的集合数量。中间价用p表示，买卖价差用s表示。交易的时间戳以微秒为单位，以日历时钟为单位。然而，数据分析是在交易时钟n=1。。。N其中每个时间步对应一个交易时间。例如，pn=ptn=ptn-其中tn是日历中的第n个交易时间，给出了第n个交易前的中间价格。两个交易时间之间发生的限价订单数据是最佳出价和最佳出价（以及中间价格）变化的来源，出于我们的分析目的，这些数据被丢弃。更一般地说，如果Y是一个离散过程，我们用纽约前瞻性增长nY=Yn+1- 伊恩。3.2.1. 更多的符号。我们在n-thtrade前用SN表示买卖价差。换句话说，SNI是在第n次交易之前，最好的出价和最好的出价之间的差异。我们将在后面讨论价差与价格变化的数量级相同，即sn≈ |np |。我们还看到了图1。作为交易时间函数的最佳出价、最佳出价和中间价格图（左）。

放大图表的一部分，查看三个图（右）之间的差异。用LN和KN表示第n笔交易前的存货和总流动性供应商持有的现金。NASDAQ提供的数据中，8 REN’E CARMONA和KEVIN Webster没有明确给出这些数量，但从L=K=0开始，可以在每次交易后轻松计算。事实上，Ln是交易的代数量到时间n的累计总和（针对卖出市场指令执行的限价指令的正交易量，以及针对买入市场指令执行的负交易量）。类似地，Knis是交易期间交换的现金累计到时间n的总和。AggregateLiquity provider根据交易时间n绘制的存货、现金Ln和Knheld如图2所示。可口可乐（KO）于2013年4月18日上市。存货、现金和财富属于总流动性提供者。3.3. 价格影响。从经验上讲，价格影响是一个简单的事实，即价格在每次交易后都会发生变化，并且倾向于有利于市场秩序的变化。已有多个实证研究和多个拟议的衡量标准和模型（[2,4,9,10,12,32,33,38,39]）。价格影响的主要经济学解释是逆向选择。在这项研究中，我们通过高频市场中的自筹资金方程来分离、测量和建模价格影响，这是一个简单的关系。nLNP≤ 0.（3.1）对于所有n=1。。。（N）- 1). 这种关系表明，当流动性提供者购买时，价格不会上升，当提供者出售时，价格也不会下降。从买家的角度来看，这意味着交易结束后，价格总是朝着对他有利的方向移动。我们在附录A中提供了（3.1）的严格统计测试。

为了便于说明，我们注意到，2013年4月18日，可口可乐（3.1）在我们简化的数据集20742笔交易中，除166笔交易外，其余均适用，占交易的0.9%。这种贸易影响关系对本文所考虑的离散模型的连续时间类似物具有明显的影响：供应商的库存和价格过程之间的二次协变量是负的，并且在减少。相反，流动性资产存量与价格过程之间的二次协变量是正的，并且在增加。图3。库存和价格路径之间的二次协变量。价格影响将给我们提供一个额外的令人信服的理由，让我们接受变化有限的交易量。事实上，当使用连续时间模型时，如果价格路径和库存具有不可忽略的二次协变量，那么我们不能将一个建模为差异过程，另一个建模为有限变化过程。备注3.1。价格影响的因果关系尚不清楚：交易是导致价格波动，还是仅仅预测价格波动？虽然这对数学理论并不重要，但对于解释来说，勒内·卡莫纳和凯文·韦伯斯特很重要，我们选择使用第二种方法。特别是，我们应该说，如果一个流动性接受者的库存变化与价格变动密切相关，那么他对价格有很好的短期预测。这通常是复杂的高频交易者的情况。另一方面，低频交易者交易速度较慢，获得的库存与较小的价格波动没有直接关系。3.4. 价格回升。这是另一个简单的观察。交易会影响价格，但通常最多通过一个买卖价差来影响价格。如果他们系统地将价格移动一个买卖价差，那么价格路径和制造商库存之间的相关性应该是一。

否则，它比1小，我们说价格已经从价格影响中恢复。请注意，在我们所有的关系中，这是统计上最薄弱的一个：可口可乐5%的数据都没有验证。图4。价格增量和价差之间的关系。从数学上来说，这意味着|np|≤ 对于n=1。。。（N）- 1). 在后面考虑的连续时间版本中，它将在差异限制中提供基于当前价差的瞬时价格波动上限。3.5. 一点会计知识。最后，我们从高频市场的第一原理推导出了自融资投资组合方程。因为在取消特殊交易和执行隐藏订单后，所有交易都是以最好的出价或要价进行的，现金交换的金额等于nK=(-（p-sn）nL如果nL≥ 0-（p+sn）nL else（3.2）高频市场中的自筹资金等式11，即供应商在购买（或出售）时支付出价（或收到要求）。这可以通过以下等式进行总结：nK=-pnnL+sn|nL |（3.3）3.5.1。总流动性提供者的财富。我们将财富定义为asXn=pnLn+Kn（3.4），即流动性提供者持有的现金加上其存货的中间价价值。总流动性提供者的财富Xnof在图2中与交易时间n.3.5.2相对应。离散自融资方程。我们从方程（3.3）和（3.4）中推导出财富过程X的动力学：nX=Lnnp+pnnL+NPnL+nK=Lnnp+sn|nL |+NPnL（3.5）3.5.3。经验验证。

我们比较了四个数量：1）实际财富，2）根据标准自我融资方程计算的财富：nX=Lnnp（3.6）用于经典Black-Scholes期权定价和Merton投资组合理论，3）根据标准自融资条件计算的财富：nX=Lnnp+sn|nL |（3.7）主张将交易成本纳入默顿的最优投资组合理论，最后4）根据我们的自我融资条件计算的财富（3.5）。2013年4月18日可口可乐股票的这四个财富过程的曲线如图5所示。换股或换日似乎不会影响以下事实，这些事实在本图中很容易说明。根据Black-Scholes理论的标准自我融资方程计算出的财富显然低估了总流动性提供者的实际财富。根据经典方程（3.7）计算出的财富试图纠正交易成本的不足，但它过高估计了总流动性提供者的财富。通过包含由二次协变量给出的逆向选择项，并使用我们提出的公式（3.5），可以减少误差，并实际消除误差。库存和价格之间的二次协变量很重要！3.5.4. 恢复无摩擦的情况。值得一提的一个令人惊讶的特性涉及sn=0的情况。事实上，后者并不符合无摩擦情况。相反，选择价格上涨|np |=sn/2，并使用价格影响为负的事实，即。nLn=-|nLn |，产生身份nX=Lnnp+sn|nL|- |np||nL |=Ln这是标准的自我融资投资组合方程。

在我们的高频框架中，不存在与摩擦相关的交易成本，而是不存在价格回收，因为在这种情况下，价格影响正好补偿了交易成本。12勒内·卡莫纳和凯文·韦伯斯特图5。总流动性提供者的实际财富图（如图2所示）以及根据三种自我融资条件计算的财富图。红色是无摩擦的。绿色对应于（3.7）。实际财富和根据我们的自我融资条件（3.5）计算的财富在图表上无法区分。3.6. 总结我们的经验证据表明，流动性提供者的存货L和财富X、买卖价差和价格p的方程和特征如下：3.6.1。自我融资方程。nX=Lnnp+sn|nL |+NPnL（3.8）3.6.2。价格影响（逆向选择）。nLNP≤ 0 (3.9)3.6.3. 价格回升|np|≤ sn（3.10）高频市场中的自筹资金方程133.6.4。消失的买卖价差。斯南德np具有相同的数量级，即sn≈ |np | 4。连续方程：买卖案例本节的目的是从上一节中建立的离散版本（3.8）推导公式（2.3）。在此过程中，我们还将推导价格影响/逆向选择约束、价格恢复和消失的买卖价差条件下的连续时间类比，等价于第3子部分的关系。6.关键是让滴答大小消失，假设买卖价差随滴答大小消失，并假设价格和库存收敛到不同的限制。备注4.1。买卖价差与价格跳升的数量级相同：滴答大小。

这尤其意味着买卖价差在差异限制中以绝对值消失，因此应以刻度大小来衡量。这一简单评论的数学结果是，交易成本不会随着刻度大小变为零而发生变化，从而允许存货的单位变动处于连续极限。我们在本节和第6节中使用的主要技术工具是Jacod和Protter[25]提出的离散化过程的大数函数定律。设φσ表示均值为0且方差为σ的高斯分布的密度函数。定理4.2（[25]中的（7.2.2]）。让（t，y）→ Ft（y）是一个适应Ft的随机函数，在（t，y）中是a.s.连续的，并验证增长条件Ft（y）≤对于某些常数C，我们有如下收敛性u.C.p.作为N→∞ 对于任何连续过程√N（Y（N+1）/N- Yn/N）→ZtZFs（y）φσs（y）dy，其中σt=d[y，y]tdt。我们的工作如下：（1）我们从库存L、价格p和买卖价差s作为数据的连续过程开始。（2） 通过对它们进行离散化，我们获得数据，以插入第3.6小节中列出的离散关系，从而得到离散时间输出关系。（3） 最后，我们再次求极限，得到离散输出的扩散极限，得到连续时间关系。在离散时间内，价格是一个纯粹的跳跃过程，因此具有有限的变化。在更大的时间尺度上，通常认为价格“缩小”到足以通过一个差异过程来近似。从数学上讲，这相当于一个消失的刻度大小。回想一下，蜱虫的大小通常是美分的数量级，即10-4相对于典型的股票价格。

考虑到与价格相比，存货路径的相对粗糙度，如图2所示，预计高频存货也将由具有有限变化的过程建模似乎是合理的。外汇市场中某些交易所的基点。14勒内·卡莫纳和凯文·韦伯斯特4。1.数学设置。让(Ohm, F、 F，P）是一个过滤概率空间，支持两个具有未指定相关结构的维纳过程W和ww。我们考虑价格p和供应商库存L的两个It^o过程：（pt=p+Rtuudu+RtσudWuLt=L+Rtbudu+RtludWu（4.1），其中广义F-可测平方可积随机变量，以及u、σ、b和L是F-适应的连续过程。最后，我们还假设F适应连续过程s的存在。现在考虑离散近似pNn=pn/Nand，同样适用于L、u、σ、b和L。解释如下：√这是蜱虫的大小，我们正式使其消失。对于买卖价差，我们定义sNn=√Nsn/Nin与我们之前的评论一致。将这些定义插入第3.6小节的方程式中，我们得到离散关系：nXN=LNnnpN+sn/N√N|nLN |+npNnLNnLNnpN≤ 0|npN|≤ sNn（4.2），其中第一个等式被理解为财富XN的定义。4.2. 主要结果。定理4.3。假设关系（4.2）对每N≥ 1.然后是limitlimN→∞XNBNTC在概率上一致收敛，并定义了一个过程XT，该过程与It^o过程Pt和Lt一起满足以下关系：dXt=Ltdpt+stlt√2πdt+d[L，p]td[L，p]t≤ 0σt≤qπst（4.3）证明。如果需要的话，使用一个局部的停止时间序列，我们可以在不损失任何概括性的情况下假设过程仍然是以常数为界的。