市场影响悖论

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英文标题：
《Market Impact Paradoxes》
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作者：
Igor Skachkov
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  The market impact (MI) of Volume Weighted Average Price (VWAP) orders is a convex function of a trading rate, but most empirical estimates of transaction cost are concave functions. How is this possible? We show that isochronic (constant trading time) MI is slightly convex, and isochoric (constant trading volume) MI is concave. We suggest a model that fits all trading regimes and guarantees no-dynamic-arbitrage.
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中文摘要：
成交量加权平均价格（VWAP）订单的市场影响（MI）是交易率的凸函数，但大多数交易成本的经验估计是凹函数。这怎么可能？我们证明了等时（恒定交易时间）MI是略微凸的，等时（恒定交易量）MI是凹的。我们提出了一个适用于所有交易制度并保证无动态套利的模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Market_Impact_Paradoxes.pdf (463.84 KB)

2022-5-5 07:02:39 上传

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关键词：Quantitative Applications Computation QUANTITATIV Application

市场影响悖论Skachkoviskachkov@yahoo.comDecember2013年12月13日摘要成交量加权平均价格（V W AP）指令的市场影响（MI）是交易率的凸函数，但大多数交易成本的经验估计是凹函数。这怎么可能？我们证明了等时（恒定交易时间）MI是略微凸的，等时（恒定交易量）MI是凹的。我们提出了一个模型，该模型适用于所有交易制度，并保证没有动态套利。内容1导言32市场影响作为一个扩散过程63市场影响理论中的悖论104结果和讨论15A交易引擎191导言在Farmer等人[12]（F GLW）最近的一篇论文中，作者列举了研究市场影响的三个原因：理论（市场影响形状反映了经济学的一般规律），生态（市场影响使大型基金经理的资产多样化）和实用（正确评估市场影响对最佳交易策略至关重要）。在本文中，我们几乎完全关注市场影响理论的实践方面。更确切地说，我们试图找到市场弹性对大型母公司订单执行的功能形式。。不幸的是，经验数据是有争议的，它们是在不同且不透明的条件下聚合和过滤的，有时解释不一致。在本节中，我们简要介绍了市场影响内核，这些内核允许对最佳交易轨迹进行封闭形式的分析解决方案。

在第2节中，我们将介绍一个差异核心，在接下来的几节中，我们将展示该模型如何帮助解决市场影响理论和经验数据之间的矛盾。短期内的分析性市场影响模型我们假设价格S动态：S=S+h[x]+SσWt（1），其中h[x]是一个临时市场影响函数，通常取决于执行历史，是中间价格，即最佳报价和有效报价（BBO）的平均价格。h[x]=Ztf（q（τ））K（t- τ） dt（2）市场影响核K（τ，t）被假定为凸单调递减函数，在时间K（τ，t）=K（t）内同伦- τ) .上世纪末的GKAC模型Grinold and Kahn（1999）[17]和Almgren and Chriss（1999）[2,3,4]（GKAC）独立开创了变分法在投资组合清算问题上的应用。如今，大多数现代交易引擎使用不同的方法修改。他们建议均值-方差效用Φ=Zt（E（R）-■λV ar（R））dtI用于表示应在当前交易日或未来几天内执行的大额订单的母订单，以及表示将直接提交给交易所的母订单部分的子订单。我怀疑这些术语来自交易应用程序的开发人员，是从C++/Javalanguages语法继承而来的。另一个术语“隐藏订单”是一个描述性术语，从试图检测那些大订单的高频贸易商的角度来看。术语隐藏订单也适用于未显示在市场上的交易订单。

（F GLW）使用了术语元序，我将把这个名称与函数Φ[x]=ZT（h[x]˙x给出的父序互换使用-λ（Sxσ）dt（3）计算变量我们得到以下等式2kx=ddtZT˙x（τ）K（|t- τ|）dτ（4）R是绝对资产价格回报率，单位为V，ar是方差，t是时间范围。x和x是股票的初始和终端位置x是当前位置˙x是其时间导数读取率q=-˙当现金流流入时，x为正值η为临时市场影响系数η=ησADV SADV为平均日交易量λ为风险规避参数。λ=k=＠λ/＠ηf（q）被简化为交易率的线性函数，f=-■η˙x提出了卷积积分核的最简单形式k（t）=δ（t），Diracs delta泛函，得到了一个很好的解析解x（t）=Xsinh（k（t）- t） sinh（kT）+XTsinh（kT）sinh（kT）（5）指数核解（5）是实践中最佳轨迹的可接受近似值，但它不能描述单个离散交易的市场影响（它是一个增量函数）。瞬时恢复假设不现实，与校准程序不一致。δ˙xΦ=ZT[δ（˙x（t））ZT˙x（τ）K（t- τ）dτ+˙x（t）Ztδ（˙x（τ））K（t- τ） 我们改变第二个积分的积分阶，得到δ˙xΦ=ZTZT˙x（τ）K（|t）- τ|）dτδ（˙x（t））dt要解决这些问题，必须用光滑核替换δ函数。狄拉克δ函数之后的下一步是指数核函数（t）~ 经验(-βt）最优轨迹的通解将由x=Cekt+Ce给出-kt+DH（t）+DH（t）- T）（6）式中，H（T）是重边函数。我们需要四个方程来找到四个任意常数。两个方程代表初始条件和终止条件，另外两个方程来自于x（t）没有exp（±βt）项的要求。

经过一些简单但繁琐的代数运算，我们得到了一个熟悉形式的解：x（t）=XBsinh（（k（t））- t） +A）sinh（kT+2A）+XTBsinh（kT）sinh（kT+2A），其中=lnsβ+kβ-k、 B=k√λ、 k=λβλ+β（7）在Skachkov[24]中可以找到更详细的推导和更一般的解。对于风险中立型雷达（λ→ 0）指数冲击松弛下的最优调度是两个跳跃和它们之间的直线的组合。limλ→0x=（X）- 十） T- tT+（XT+XT）tTX=XT=X- Obizhaeva和Wangzhaeva研究了具有指数核的XTβT+2（8）最优交易策略[22]。他们首先指出了最佳路径在时间间隔结束时的不连续性，并得出了最佳风险中性轨迹（8）。β→ ∞ 我们的结果（7）适用于经典解决方案（5）。2市场影响作为一个扩散过程这是一个钻杆测试方案。图1：钻杆测试。图2：压降和累积试验。两种卷积积分核模型因其简单而自然成为首选。在这两种情况下，我们都有最优轨迹的解析解。GKAC模型是无记忆的，这意味着交易历史并不重要。随着指数衰减（市场波动与放射性一样），我们也不需要了解全部历史——只需要了解当前状态。这对交易引擎的开发者来说是一个巨大的解脱。如果该程序被中断，可以使用新的股票仓位值或单个附加参数（预期当前价格和预期均衡价格之间的差异）从头开始重新启动。这两个模型都证明了它们对于连续制度下的贸易安排是有用的。不幸的是，它们都与市场长期记忆的经验证据相矛盾。

人们几乎普遍认为，市场扰动是一种幂律，而平方根在实践中是一种很好的近似值。另一个可取的特性是没有价格操纵策略，即在往返（X=XT）执行时赚钱的可能性。Huberman和Stanzl[19]介绍了这种规律性条件，Gathereal[13]对其进行了详细分析，Gathereal和Schied[14]在随后的综述中对其进行了详细分析。一些模型不承认价格操纵，但它们的最优执行轨迹可能在买卖交易之间长期振荡[1]。这是用抽象函数拟合真实自然或社会现象的常见问题。为了避免任意一般函数的奇数效应带来的复杂性，我们借用了一个模型，在这个模型下，良好的行为是有保证的。Decay核的一个很有希望的候选者是一个扩散方程的解。由微可压缩流体填充的多孔介质中的压力传递由线性抛物线方程组和初始和边界条件控制：ft- κfxx=0，0<x<xf（x，t）=h（t），-x<x<0（9），其中κ是一个扩散系数，下标t和x表示时间和空间变量的偏导数。f（0，x）=0h（t）=f（t，0）c·ht=q（t）+κfx，x=0（10）最初分布是均匀的。内边界条件是：第一个方程是压力（价格）的连续性，第二个方程是现金（液体）流量和井筒储存的平衡，q（t）是已知的交易（流量）率，q（t）是累计交易量，q=Qt。

我们假设流量是价格梯度的线性函数，这是多孔介质流体力学中的达西定律或传热中的傅里叶定律。x=x时的外边界条件≤ ∞ 允许在容量有限的情况下，模拟交易流量对市场（水库）均衡价格的永久影响。fx=0（x=x时的不可穿透壁），（11）系统（10）在拉普拉斯域\'h=\'qcs+κpsκtanh（psκx）=\'q\'K（12）中的解，其中\'y表示拉普拉斯变换：\'y=Ly。在本文中，我们关注的是暂时的影响，并没有考虑很长的交易时间。假设我们储层的外边界比研究的半径κx大得多 1解决方案（12）可以简化，并在分析上反转回时域“K=cs”+√sκ（13）hδ（t）=K（t）=c-1.exp（~t）·erfc（p~t），（14），其中erfc（t）是一个互补误差积分erfc（t）=1- erf（t）。冲击后即刻t=κc（0）=c-1（15）然后微扰衰减为timeK（t）\'√πκt，x~t 1、（16）至永久价值K(∞) =c+x（17）恒定单位贸易率的市场影响q（t）≡ 1是格林函数或源函数的积分。在拉普拉斯域中，积分只需除以拉普拉斯变量s。作为积分变换方法的免费赠品，我们可以将方程（12）转化为给定交易率的市场影响，并获得维持预定价格价值的所需利率。

例如，如果我们想保持固定价格与到达价格的差异S、 我们需要在初始射击后（初始时间的q isDirac delta函数）以时间速率的平方根递减进行交易。q=cδ（t）+rκπt（18）相应地维持S∝ tα价格增长，交易率q=c·αtα-1+√κtα-Γ（α+1）Γ（α+）（19）是必需的。选择差异化过程作为市场动态的基础，我们可以保证不会出现诸如振荡最优轨迹和动态套利等意外情况[13]，[14]。从孔隙流体力学的角度来看，交易成本是该过程需要做的工作（财富）：W=ZV（T）VP dV（T）（20），其中P是压力（预期股价），V（T）是成交量（当前交易量）。该过程是绝热的，即系统与其环境之间没有热量（信息）交换。根据热力学第一定律W=IP dV（t）≥ 0（21）将“thermo”替换为“mercato”，我们可以假设：对于mercatodynamics循环，供应给封闭系统的财富减去从封闭系统中移除的财富，等于该系统支付的净额。不可能建造一台永久的移动机器，在不消耗财富的情况下持续交易。Diffusion model丰富而详细，有大量物理和工程方面的问题，这些问题已经得到了详细的解决和分析：即经典的热不溶体传导理论[10]，多孔介质流体力学和现代油气井测试工程[18]。例如，我们可以考虑“储层”或双重孔隙（裂缝-基质）地层内边界的“表皮效应”，以模拟与标准行为的各种偏差。真实气体拟压力动力学的非线性问题也得到了很好的发展。图1和图2显示了钻杆测试（DST）以及DST下降和恢复期间压力与时间的曲线图。

此外，我们可以自由选择我们的空间维度D：任意维度的扩散方程导致相同类型的修正贝塞尔方程。正以恒定速率qh（t）交易的股票价格的渐近行为~ Qt1-D/2，D<2ln（t），D=2（22）市场影响衰减方程12的拉普拉斯逆变换是本文的主要技术成果。K（t）=L-1cs+κpsκtanh（psκx）（23）由于现代数值反拉普拉斯变换算法对于像扩散方程解这样的光滑函数是快速而准确的（见参考文献[23]），因此没有在时域中找到任何分析简化的实际需要。当然，通过选择任意幂函数k（t）=C+C（t+t）α（24）可以得到类似但不相同的结果。此时，我们可以将井-储层系统视为一个增广空间，将空间维数X视为一个辅助维数，从而通过构造得到一个没有动态套利和振荡的解。在下一节中，我们将找到扩散系数和井筒储存系数的物理含义，并尝试解释空间变量x。拉丁语单词mercatus-市场+希腊语单词Δνναι（dynamis）-力量。Agorodynamics（希腊语αγoρα（agora）-市场）一词在词源上与市场影响理论中的悖论更为一致。我们推导出了一个相对简单的线性模型，该模型是动态套利证明，正确描述了市场扰动的衰减。在本节中，我们将把它与大量的经验教训相协调，即市场影响是大型母订单交易率的凹函数，如果市场参与度很小（<1%），然后略微凸[9]，高达50%ADV，VWAP算法的性能会发生变化。

好消息是这些事实相互矛盾。即时市场影响虽然市场影响和价格影响有时被视为同义词，但这显然不是即时或冲动影响的情况。限价指令簿（LOB）的平均相对深度在包括巴黎证券交易所、纳斯达克、斯德哥尔摩证券交易所和深圳证券交易所在内的广泛市场中呈驼峰状。据报道，SPY可用的最大平均深度出现在最佳出价和最佳出价水平，这也可以被视为以最佳出价和出价（BBO）为代价的最大深度的驼峰[16]。这意味着“无偏”瞬时价格影响应该有一个复杂的形状：首先是凹形，然后是凸形。我们排除了凸形瞬时冲击，将其视为几乎纯粹的理论伪影。在现实中，只有当一个意外错误的大订单和一个错误的限额（没有人取代纯粹的市场订单）扫过书中的几个最佳出价/要价水平时，才会出现这种情况。几乎可以肯定，这是程序员或手工交易员的人为错误（或价格操纵的迹象）。在大多数情况下，冲动性价格影响等于零，否则流动性股票等于1滴答[15]。相反，对于LOB的非零扰动，瞬时市场影响永远不会为零，并且不可直接测量。例如，我们想购买200股XY Z，并在BBO的两侧看到1000股。我方提交投标价格限价订单或按要求提交市场订单。在这两种情况下，SMID价格都没有变化，在这两种情况下，我们预计在未来的一段时间内，XY ZX的市场将略高。