规模的多样性带来优势：少数民族游戏的例子

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英文标题：
《Diversity of scales makes an advantage: The case of the Minority Game》
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作者：
Miroslav Pi\\v{s}t\\v{e}k, Frantisek Slanina
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We use the Minority Game as a testing frame for the problem of the emergence of diversity in socio-economic systems. For the MG with heterogeneous impacts, we show that the direct generalization of the usual agents\' profit does not fit some real-world situations. As a typical example we use the traffic formulation of the MG. Taking into account vehicles of various lengths it can easily happen that one of the roads is crowded by a few long trucks and the other contains more drivers but still is less covered by vehicles. Most drivers are in the shorter queue, so the majority win. To describe such situations, we generalized the formula for agents\' profit by explicitly introducing utility function depending on an agent\'s impact. Then, the overall profit of the system may become positive depending on the actual choice of the utility function. We investigated several choices of the utility function and showed that this variant of the MG may turn into a positive sum game.
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中文摘要：
我们使用少数群体博弈作为社会经济系统中多样性出现问题的测试框架。对于具有异质性影响的MG，我们证明了通常代理人利润的直接概括不适合某些实际情况。作为一个典型的例子，我们使用MG的流量公式。考虑到不同长度的车辆，很容易出现这样的情况：一条道路上挤满了几辆长卡车，另一条道路上有更多的司机，但车辆的覆盖率仍然较低。大多数司机排队的时间较短，所以大多数人获胜。为了描述这种情况，我们通过显式引入效用函数（取决于代理的影响）来推广代理利润公式。然后，根据效用函数的实际选择，系统的整体利润可能会变为正。我们研究了效用函数的几种选择，并表明MG的这种变体可能会变成一个正和博弈。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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PDF下载：
--> Diversity_of_scales_makes_an_advantage:_The_case_of_the_Minority_Game.pdf (367.39 KB)

2022-5-5 11:17:17 上传

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关键词：少数民族 多样性 Quantitative agent-based Introducing

规模的多样性带来了优势：以小型游戏Miroslav Piˇstˇeka为例，*, 捷克共和国科学院信息理论与自动化研究所，Pod Vod\'arenskou vˇeˇzi4，捷克共和国科学院普拉哈比物理研究所，Na Slovance 2，CZ-18221 Prahabastract，CZ-18208，我们使用少数群体博弈作为社会经济系统中出现多样性问题的测试框架。对于具有异质性影响的MG，我们表明，通常代理人的利益的直接概括并不适用于某些实际情况。作为一个典型的例子，我们使用MG的转换公式。考虑到不同长度的车辆，很容易出现这样的情况：一条道路上挤满了几辆长卡车，另一条道路上有更多的司机，但车辆覆盖率仍然较低。大多数司机排在较短的队伍中，所以大多数人获胜。为了描述这种情况，我们通过明确引入效用函数（取决于代理的影响），对代理利润公式进行了推广。然后，根据效用函数的实际选择，系统的整体性能可能会变为正。我们研究了效用函数的几种选择，发现MG的这种变体可能会变成一个正和博弈。关键词：少数民族博弈，经济物理学，随机过程-s、 05.40-a、 05.65+b1。简介十多年前[1,2,3,4,5]推出的少数派游戏（MG）在生态物理领域获得了“伊辛模型”的声誉[6,7]。尽管如此，伊辛模型的复杂性要高出许多数量级，但MG仍然是一个被广泛接受的框架，用于测试社会经济现象建模中的各种想法。

关于这一主题的大量文献中有几篇优秀的评论[8,9,10,11]，我们不打算在这里再次回顾。这可能是我们对异质性的理解的优势之一。*相应的authorEmail地址：miroslav。pistek@gmail.com（Miroslav Piˇstˇek），slanina@fzu.cz（FrantiˇsekSlanina）提交给Physica A的预印本2018年1月6日我们的工作主题属于经典MG的概括，适用于几个不同的试剂组。也许研究最深入的是两种年龄类型的nts变体，称为生产者和投机者[12,13,14]。出现的市场生态相当清楚地表明，这两个群体需要彼此获得更好的效率。从不同的角度来看，代理人可以分为领导者和指导者[15,16,17,18]。此外，如果模仿者以适当的比例出现，整个系统的性能可能会提高。如果经纪人被允许参与游戏或不参与游戏，取决于他们的得分[19,20,21,22]，就会观察到类似波动性聚集效应的爆发活动。类似的案例也考虑了以一定频率玩游戏的年龄段玩家。它们的频率可能分布广泛，这就为游戏引入了新功能[23,24,25]。对权重不同的投资者的情况进行了调查，得出了一个非常普遍的结论[26]。在我们的工作中，我们选择了一个更具体的情况，并表明它会导致新的非平凡的后果。从下面的考虑可以看出，为什么多样性在MG的框架内是有用的。

在MG的交通公式中，司机在两条备选道路之间进行选择，而那些选择不太拥挤的道路的司机则是赢家。如果所有车辆的长度相同，则只有少数代理可以算作赢家，即那些在道路上与少数驾驶员一起行驶的代理。然而，想象一下，除了卡车，还有许多小型城市汽车。很容易发生的情况是，其中一条路挤满了几辆长卡车，另一条路有更多的司机，但车辆仍然较少。大多数司机排队的时间较短，所以大多数人获胜。这就是我们论文的精髓，它只是对这一考虑的数学阐述。但是，之前的简单设置没有考虑车辆的实用性。从这个角度来看，驾驶员可以选择非常短的车辆作为最佳选择，这显然与实际交通情况相矛盾。事实上，汽车越长，可以搭载的乘客或负载就越多，这显然是因为耗油量高。为了模拟这些考虑因素，我们将车辆的效用表示为其长度的函数。通过这种方式，我们加入了有利于纤长车辆的功能。然而，引入效用函数的最终动机是代理面临的优化问题。我们将影响视为代理人可以选择的参数，以最大化其预期效用。2.MG中的异质群体一般来说，MG是一个有界源分配模型，由具有有界理性的代理驱动。在最简单的设置中，它们只有两个选项。在每一轮中，他们的目标是选择正确的行动，即：。少数特工选择的行动。然后，只有少数代理人可以赢得主要原因。为了适应环境，每个代理都有两种策略。

他们预测下一个最佳选择时只考虑了之前的几个结果。尽管如此，由于两种策略都是固定的，因此没有任何空间对代理进行调整。因此，每个代理计算每个策略的得分，然后遵循当前更好的策略。在城市交通中，司机拥有各种长度的汽车。遵循这一模式，我们为每一个代理分配一个单独的遗传影响。它可以直接解释为代理人驾驶车辆的长度，然而，还有一些更宏大的解释有待于结论。接下来，我们根据指定的影响将代理分为几个组。正式地说，我们有G∈ N+组代理。g组∈ {1，…，G}包含Ngagents，并且每个Ngagents都有影响Ig∈ R+。试剂总数isN=PGg=1n，g组的相对大小将表示为λg≡ Ng/N.为了更方便起见，我们为任意函数vg的加权平均引入以下符号∈ 所有组的R[vg]≡GXg=1λgvg。（1） 在本文中，我们将参考组的比率{λg}和{Ig}的实际值来影响游戏的配置。要恢复规范MG，必须将G、λ和Iequal设置为1。与MG中的通常情况一样，所有代理都接受相同的外部信息，并且他们都能够区分不同的信息（或备忘录）模式∈ {1，…，P}。这些模式以一致的概率随机出现。我们强调，在这篇论文中，我们将在具有均匀分布随机记忆的批次MG中工作，即所有P模式以相等的频率出现，模式的出现时间不相关，只有在使用所有P模式后，策略的分数才会更新。在这种设置下，我们可以相对容易地获得分析结果，而无需再进行计算机模拟。

在此过程中，我们依赖参考文献的结果。[37]和[38]，这表明具有随机均匀选择记忆的MG与规范MG非常接近，虽然不完全相同。所有重要的定性方面都是相同的，当我们接近临界点时，微小的定量差异就会减小。在后半部分中，我们将表示函数fu的平均值∈ R接管了所有信息模式≡PPPu=1fu。接下来，如果信息模式为u，则g组第i剂的strategys=±1规定的行动由u、sg、i表示∈ {-1, +1}. 然后，代理当前执行的动作readsaug，i（t）≡ au，sg，i（t）g，i（2），其中随机变量sg，i（t）是代理当前的策略选择。稍后将详细说明。以下c组合ωug，i≡au，+1g，i+au，-1克，1克，1克≡au+1g，i- au，-1g，i（3）允许我们将g组试剂的聚合作用写成asAug（t）≡NgXi=1aug，i（t）=NgXi=1ωug，i+sg，i（t）ξug，i.（4）接下来，对于我们拥有的所有药剂的所有个体作用的总体影响bu（t）≡GXg=1IgAug（t）。（5） 我们遵循MG的批次变量，其中策略得分qg，i（t）的差异演变为qg，i（t+1）- qg，i（t）=-ξug，iBu（t）（6）注意，在本定义中，试剂策略得分的更新仅包含变量ξug，i=±1，表示所选侧。分数的替代更新将与相关代理的影响成比例。我们稍后将讨论这两种选择之间的区别。现在，agent当前的策略选择sg，i（t）由随机规则prob{sg，i（t）=±1}=e±qg，i（t）cosh（Γqg，i（t））（7）控制，其中参数∈ R+通常被称为“学习率”。事实上，Γ的价值越高，代理人就越信任qg，i（t）所代表的当前知识。

此后，我们用角括号hxi表示关于概率分布（7）的任意随机变量x=x（sg，i（t））的平均值。特别是对于sg，i（t）本身的平均值，我们有mg，i（t）≡ hsg，i（t）i=tanh（Γqg，i（t））（8）在下文中，我们将把这个值称为磁化，类似于纯物理系统。在下一节中，这些磁化是评估MG中试剂性能所必需的。最佳情况下，我们可以计算所有mg，i（t）a s时间函数，并得出我们的结论。为了稍微简化这个程序，我们在这里使用了一种开创性的方法，即使用复制方法来解决MG问题[30,31]。因此，我们只在博弈动力学的稳定点上搜索mg，i（t）的值。本手册中定义的此类平稳值mg，i≡ 极限→∞TTXt=1mg，i（t）（9）同样的约定也将用于其他变量，以表示其稳态值。为了找到稳态，我们观察到→ 0，策略得分（6）的演变意味着以下磁化动力学（8）mg，i（t+1）- mg，i（t） -2 NΓIg1.- mg，i（t）H带有李雅普诺夫函数h（{mg，i}g，i，{au，±1g，i}g，i）=GXg=1IghAugi==GXg=1gNgXi=1au，+g，i（1+mg，i）+au，-g、 i（1）- mg，i）（11） 它在后续计算中扮演哈密顿量的角色。接下来，通过计算H的最小值的参数，我们得到了mg的平稳值，即如果我们使分数更新与代理人的实际影响成比例，这是在方程式（6）附近讨论过的另一个变量，那么方程式（10）将需要一个数值。然而，一个简短的计算表明，修改只包括等式（10）右侧的分母缺失。最重要的是，这两个定义产生相同的李雅普诺夫函数，因此计算的进一步过程是相同的。

因此，策略得分动态的处方（6）是否与实际影响成正比并不重要。然而，真正重要的是对经纪人的博弈结果的定义，如下文等式（14）所述。我们之前所做的选择（6）是为了使这一定义与定义（14）一致（见下文）。事实上，以前用哈密顿量H作为李雅普诺夫函数的方法并不是最普遍的。为了确定MG对任意Γ的行为，存在另一种掌握随机ca lc ulus的计算方法【32】。然而，研究表明，Γ的有限值仅在非遍历阶段影响结果，而在遍历阶段，结果与Γ无关。在这里，我们只研究RGODIC pha se，因此研究极限Γ→ 0是可接受的，并且李雅普诺夫函数的使用是合理的。在计算过程中，我们将在热力学极限下工作，即试剂的单位数N→ ∞, 保持所有组比率λg固定，同时将信息模式的数量限制为完整，P→ ∞, 保持fr动作α≡PN（12）固定。这个值是规范MG和广义MG的主要参数。3.代理人的利益在本节中，我们必须绕开MG上下文中使用的传统符号。为了结合代理人的效用函数，最好写下他们的收益，而不是损失e s。为了建立与规范MG的联系，这是与波动率σ的明确关系≡NlimT→∞TTXt=1hBu（t）i，（13），这是试剂性能的常见特征。首先，我们将g组的个体制剂i的当前结果定义为ρg，i（t）≡ -aug，i（t）Bu（t）. （14） 它表明代理在当前批次MG中是否成功。他有能力遵守“联合命令”，即。

要选择微克，i（t）=-符号（Bu（t））代表典型的信息模式u，保证他有积极的结果ρg，i（t），反之亦然。我们注意到，代理人的影响未包括在信息公式（14）中，这一事实是我们修改MG的关键点。接下来，对于g组内的平均结果，我们有ρg（t）≡Ngxi=1ρg，i（t）=-NghAug（t）Bu（t）i。（15） 到了稳定状态，我们可以把总体平均结果ρ（稳定值）写成ρ≡ [ρg]（16）为了将一个群体内的平均结果与该群体的平均收益联系起来，我们必须考虑效用函数U（I）。我们遵循经典经济学定义的标准方法。其目的是量化代理人在整个可能影响范围内的偏好[3 6]。换言之，代理人越倾向于导入ctI，U（I）赋予该影响的价值越高。例如，这种效用函数可以解释为长度为I的车辆所有者的利益。为了简单起见，我们假设效用函数对于所有组的所有代理都是通用的，并且是非负的。现在，我们定义了群g的平均概率∏{U（I）}gof，通过这种方式，效用函数为∏{U（I）}g≡ U（Ig）ρg.（17）然后，所有组的总体平均利润为∏{U（I）}≡h∏{U（I）}gi。（18） 我们注意到，U（I）的引入绝不等同于对影响的重新调整。如果我们考虑所有影响都具有相同的效用，即U（i）=1，我们得到一个极端情况，即∏{1}=ρ。另一方面，规定impac的效用与其大小成正比，即U（i）=i，我们观察∏{i}=-σ、 因此，最小波动率（13）是公式（18）定义的另一极端情况。现实情况将处于中间位置。例如，我们可以选择U（I）=Idfor0<d<1或U（I）=I/（I+1）。

然而，在下文中，我们将主要比较极端情况-σ和ρ，以便更好地看到差异。我们将看到，焦点的转移对我们将从计算结果中得出的结论具有重要影响。目前，我们定义了f、g组之间的相互可预测性∈ {1，…，G}θfg≡NNfNghAufihAugi（19），是对规范中可预测性通常定义的直接概括[9]。它对应于f组适应聚集注意力的能力，反之亦然。θfgis的值越小，f组和g组之间的相互掺杂就越多，因为它们的总出席率aufand和aufare更具反相关。然后，对于群g的平均可预测性，它保持θg≡NhAugihBui=[如果θfg]。（20） 它的知识是计算ρg的关键因素。事实上，如果我们应用近似xf=1IfNgXi=1NfXj=1ξug，iξuf，jh（sg，i- mg，i）（sf，j- mf，j）我 IgNgXi=1（ξug，i）（1）- mg，i）（21）在遍历过程中得到了证明，再次参见参考文献[9]，介绍了g的有序参数∈ {1，…，G}Qg≡Iggngxi=1mg，i，（22）并比较ρ和θg的定义，分别见（15）和（20），我们得到ρg=Qg- Ig2Ig- θg.（23）此时此刻，我们可以意识到θg的重要性。它不仅是群体预测总体影响Bu的能力的一个特征，而且是将群体g的结果ρgof的知识与哈密顿极小值的知识联系起来的一个纽带。回顾θfg的定义，见（19），以及方程式（11），我们可以对θfg=NNfNgdHdIfdIg进行反铆接。（24）因此，一旦我们知道H是影响Ig，g的函数∈ {1，…，G}，我们还利用相互可预测性θfg推导出所有群的平均可预测性θgf。4.