鞅不等式与确定性不等式

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英文标题：
《Martingale Inequalities and Deterministic Counterparts》
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作者：
Mathias Beiglb\\\"ock, Marcel Nutz
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We study martingale inequalities from an analytic point of view and show that a general martingale inequality can be reduced to a pair of deterministic inequalities in a small number of variables. More precisely, the optimal bound in the martingale inequality is determined by a fixed point of a simple nonlinear operator involving a concave envelope. Our results yield an explanation for certain inequalities that arise in mathematical finance in the context of robust hedging.
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中文摘要：
我们从解析的角度研究了鞅不等式，并证明了一个一般的鞅不等式可以简化为一对在少量变量中的确定性不等式。更精确地说，鞅不等式的最优界由一个包含凹包络的简单非线性算子的不动点确定。我们的结果解释了在稳健套期保值背景下数学金融中出现的某些不平等现象。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Martingale_Inequalities_and_Deterministic_Counterparts.pdf (259.68 KB)

2022-5-5 11:29:42 上传

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关键词：不等式 确定性 inequalities Differential Applications

鞅不等式与确定性对策*Marcel Nutz+2014年10月21日摘要我们从分析的角度研究了鞅不等式，并证明了一般鞅不等式可以简化为少数变量中的一组确定性不等式。一个非线性算子在一个简单的鞅上精确地确定了一个最优的凹点。我们的结果解释了在稳健对冲的背景下，数学金融中出现的某些不平等现象。鞅不等式；凹面信封；不动点；稳健对冲；Tchakaloff的2010年主题分类理论60G42；49L201简介鞅不等式在概率论和分析的许多领域都很丰富；参见例如Burkholder的调查[11]，了解大量文献。我们从鸟瞰的角度研究离散时间鞅的一般不等式，并将它们与某些确定性不等式联系起来。事实上，我们应该看到，每一个鞅不等式都可以通过*维也纳大学数学系，马蒂亚斯。贝格尔博eck@univie.ac.at.Research由FWF拨款P21209和P26736支持。+哥伦比亚大学统计与数学系，mnutz@columbia.edu.NSF资助的研究DMS-1208985。我们非常感谢约瑟夫·泰奇曼（Josef Teichman）启发了关于Tchakaloff理论的讨论，这导致了文本中所述的鞅版本。

我们还要感谢副主编埃尔汉·贝拉克塔尔和两位匿名推荐人的建设性评论。两个确定性的，事实上，鞅不等式在本质上不是非常概率的。鞅不等式的一个简单例子是Doob的极大二次线性，表示运行的最大M*T:=sup0≤T≤满足的任意鞅的T | Mt |km*Tk≤ 2kMTk，其中k·kis是L-范数。我们可以用E[f（MT，M）的形式来表达*T） ]≤ 0表示合适的函数f；也就是说，f（x，y）=y- 4 | x |。我们要考虑的鞅不等式的一般形式是isE[f（ZT）]≤ a、 （1.1）其中a是常数，Z=（Zt）t∈Nis是定义为M函数的合适状态过程；在前面的例子中，Z=（M，M*). 更准确地说，让Xbe成为一个向量空间（我们的鞅在其中取值），让Z成为aset，用作状态空间。然后Z值过程Z由一个函数φ：Z×X确定→ Z通过Zt+1=φ（Zt，Mt+1- Mt）和一些初始值z。同样在这个例子中，φ（x，y，d）=（x+d，y∨|x+d |）通过添加下一个增量来更新M，并在必要时增加运行最大值。给定f:Z→R和φ，我们可能会问，是否存在一个（1.1）适用于所有T的有限常数asuch∈ N和所有具有规定初始值的鞅，以及a的最佳（最小）值是什么。下面是一个可能的答案。考虑作用于函数g:Z的算子A→R通过预先与φ合成，并在与鞅增量相对应的变量的原点处取凹包络：Ag（z）=g（φ（z，·））（0），z∈ Z.如果u是支配f的固定点；也就是说，Au=u和u≥ f，thena=u（z）是（1.1）中的容许常数。在自然条件φ（z，0）=z下，一个简单的单调性参数表明a有一个极小的固定点U支配f。

该固定点可通过迭代A并传递到极限u=A从f中获得∞f:=limn→∞我们将看到a=u（z）是（1.1）中的最佳常数。在这个意义上，我们可以说鞅不等式可以简化为两个确定性不等式≥ Au和u≥ f、 （给你≥ 实际上，我们可以注意到，u定义了一个更强的鞅不等式。也就是说≥ f、 E[u（ZT）]≤ u（z）比原来的不等式E[f（ZT）]≤ u（z）具有最优常数，我们注意到不等式u≥ f在大多数感兴趣的情况下都是严格的。回到我们的例子，我们可以检查最小执行点是否由u（x，y）=（y）给出- 4 |x |如果|x |<y/2,2y- 4 | x | y如果|x |≥ y/2，所以对应于初始值z=（x，| x |）的最佳常数是a=-2 | x |，而u的知识实际上进一步加强了Doob的最大不等式（推论4.3）。当然，也有非常相关的鞅不等式，它们只适用于某些特定类别的鞅；例如，非负鞅，增量为1的鞅，等等。许多这样的不等式可以在我们的框架内通过适当选择Z并赋值来实现-∞ 在合适的子集上定义函数f（另见第4.2节）。所有这些都与概率论或测度论无关；事实上，后者似乎只是为了明确预期。为了清楚地区分这一方面（同时也为读者节省一些可测量的选择参数），我们将发展简单鞅的理论（即，包含无穷多个值的鞅），以便所有期望值实际上都是有限和。在大多数有趣的情况下，f和φ（以及固定点u）具有一些连续性，通过后验近似可以传递到一般马尔可夫。

然而，我们也提供了一个更符合本文精神的替代论点，它甚至适用于在X是有限维的限制下仅可测量的函数。也就是说，我们设计了Chakalo-Off定理的鞅版本，指出给定一个可测（可积）函数G:（Rn）T→ R和n维鞅M，我们可以找到一个简单的鞅n，使得E[g（n，…，NT）]=E[g（M，…，MT）]，而且n定律的（有限）支持在于M定律的支持。注意，这里有一个实际的等式；不需要近似值。本文概述的理论可以被看作是D.L.Burkholder的几篇关于鞅不等式的证明策略的一般公式，其中Z由X、它的运行极大值和它的平方函数组成。也就是说，他使用了一类函数u，大致对应于我们所说的固定点，在各种鞅不等式中找到了可容许的或尖锐的康斯坦茨，事实上，他似乎至少知道这里给出的结构的一部分；具体参见[13]中的定理2.1，以及[10,11,12]等，以及Os,ekowski[22,23]最近的专论评论文章。从霍布森[17]开始，在数学金融领域出现了一系列关于鞅不等式的不同文献。在这种情况下，过程X采用RNA中的值，代表n种可交易证券的贴现价格，而f（ZT）被视为在固定时间范围T到期的期权。问题是找到一个最小常数a和一个可预测过程H（即，Ht是X的函数。

，Xt-1） 这样a+TXt=1hHt，Xt- Xt-1i≥ f（ZT），（1.2），其中内积hHt，Xt-Xt-1 I被解释为价格Xt产生的收益或损失-1.在持有证券单位时对XT进行变更。因此，如果a作为期权的价格，交易策略H允许以稳健（无模）的方式对冲f（ZT）的风险。我们观察到，通过对双方的期望，（1.2）意味着鞅不等式e[f（ZT）]≤ a、 沿着这些思路，我们得到了几个鞅不等式的“路径”证明。关于稳健融资的这些及相关结果，请参见[1,2,4,5,7,14,16,21]等；在霍布森[18]和奥博霍[20]的调查中可以找到更多的参考文献。特别是，Bouchard和Nutz[6]的一个结果表明，有限时间内的任何鞅不等式都可以与（1.2）类型的不等式相关联。然而，这里使用的机制（用于处理更一般的情况）只产生了H的非建设性存在结果，对不等式的性质几乎没有深入了解。我们将看到，在本质上，H被明确地确定为u（φ（z，·））的导数.本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们考虑了固定时间范围T的鞅不等式，并通过动态规划将最优常数与某些凹包络联系起来。第3节主要讨论不明确依赖于时间范围T的鞅不等式；这种时间同质性的进一步条件导致了上述定点考虑。本文还讨论了与数学金融的联系。在第四节中，我们用两个简单的例子来说明这个理论，Doob的极大Lp不等式和Burkholder的不等次鞅不等式。

第5节总结了Tchakalo-off定理的鞅版本。2鞅不等式和凹包络这将便于处理在扩展实线性中取值的函数=[-∞, ∞]. 大会∞ - ∞ = -∞ （2.1）始终使用；特别是在凹度和积分的定义方面。设X为实向量空间。给定一个函数g:X→R、 我们定义了它的凹面信封g: 十、→R是控制g，org的最小凹函数（x） =在f{ψ（x）|ψ：x中→ R是凹的，ψ是凹的≥ g} ，x∈ 我们需要在几个变量上取连续的信封。给定一个整数t≥ 0和g:Xt+2→R、 我们首先介绍函数Gt:Xt+1→R、 gt（x，…，xt）：=g（x，…，xt，·）（xt）；换言之，我们传递到最终变量中的凹包络，并在p最终变量处计算结果函数。为了一个整数≥ 0，然后我们可以定义成分（T）=o · · · o T-它将T+1变量的函数映射为一个变量的f函数。我们的第一个目标是，对于固定的时间范围T，确定由f:XT+1定义的鞅不等式的最佳常数→R表示连续包络f（T）。给定x∈ 十、 我们将用MT（X）表示X值简单鞅M，…，的所有定律的集合，MTsatisfyingM=x。注意，在鞅M的原概率空间上的任何期望E[f（M，…，MT）]都可以表示为f的期望u[f]：=Eu[f]：=Rf du，根据μM定律；后一种观点在续集中会更方便。我们强调，积分∈ MT（x）是一个有限的和，因此不需要任何可测量的条件，而且，根据（2.1），我们有u[f]=-∞ 如果u[f+]=u[f-] = ∞ .一般情况并不比X=R更困难。此外，以下大部分内容适用于复杂情况，没有变化。提议2.1。

设f:XT+1→ R.Thenf（T）（x）=supu∈MT（x）u[f]，x∈ X.（2.2）或，用不同的词陈述：证明一个不等式[f（M，…，MT）]≤ a适用于所有鞅M，从xboils开始，直到检查f（T）（x）≤ a、 事实上，f（T）（x）是最佳常数。作为证明的第一步，我们考虑T=1的情况。注意到m（x）只是x上所有概率度量u的集合，具有有限的支持度，重心u[IdX]=x，以下恒等式本质上是ical类（见Kemperman[19]）；为了完整起见，我们陈述了细节。引理2.2。让g:X→ R.THNSUPu∈M（x）u[g]=g（x） ，x∈ X.证据。让x∈ X和u∈ M（x）； ≤ u[g] =Xλig（十一）≤ G（x） 作为g是凹面的，显示supu∈M（x）u[g]≤ G（x） 。要查看质量，让x，x∈ X和λ∈ (0, 1). 如果ε>0，则存在εi∈ M（xi）使（具有∧ b:=min{a，b}）μεi[g]≥ ε-1.∧ supu∈M（xi）u[g]- ε.利用λμε+（1- λ） uε∈ M（λx+（1）- λ） x），我们得到λsupu∈M（x）u[g]+（1- λ） supu∈M（x）u[g]≤ lim supε→0λμε[g]+（1）- λ） με[g]≤ supu∈M（λx+（1）-λ） x）u[g]，表明x 7→ supu∈M（x）u[g]为凹形。鉴于supu∈M（x）u[g]≥δx[g]=g（x），g的定义（x） 现在产生supu∈M（x）u[g]≥ G（x） 。广义视界T情形的推广可以理解为一个动态规划参数，其中鞅定律在随机控制问题中扮演着控制的角色。给定g:Xt+2→ R、 因此，我们引入（值）函数et（g）：Xt+1→ R、 Et（g）（x，…，xt）：=supu∈M（xt）u[g（x，…，xt，·）]，以及组分Et:=Eto · · · o ET-它将T+1变量的函数映射为T+1变量的函数。引理2.3。设f:XT+1→R.然后（E）o · · · o ET-1） （f）（x）=supu∈MT（x）u[f]，x∈ X.（2.3）证明。我们首先假设f从上方有界。

看到不平等“≤”, 设ε>0。对于所有0≤ t<t和（x，…，xt）∈ Xt+1，设ut（x，…，Xt）∈M（xt）为ut（x，…，xt）[Et+1（f）（x，…，xt，·）]≥ supu∈M（xt）u[Et+1（f）（x，…，xt，·）]- ε.我们可能会在Xt+1上看到一个随机内核，它配备了离散∑场。回顾我们仅使用具有有限支持的度量，我们可能会形成产品度量με：=（u · · ·  uT-1） （x）是由Fubini定理得到的MT（x）的一个元素。然后我们有（E）o · · · o ET-1） （f）（x）≤ εT+με[f]≤ εT+supu∈MT（x）u[f]。由于ε>0是任意的，这就产生了所声称的不等式。看到“质量”≥ ”, 菲克斯∈ X并注意到∈ MT（x）可分解为产品u=u u · · ·  uT-1度量单位u∈ M（x）和内核ut xt，使得ut（x，…，xt）∈ M（xt）代表所有x，xt∈ X.根据运营商Et的定义，我们有（Eo · · · o ET-1） （f）（x）≥ (u u · · ·  uT-1） [f]=u[f]，权利要求如下：∈ MT（x）是任意的。最后，对于一般函数f，我们观察到（2.3）的两边沿着R值函数的递增序列（fn）是连续的，其性质为{fn=-∞} = {fn+1=-∞}, N≥ 1.因此，我们可以将上述内容应用于f∧ n并作为n传递到极限→ ∞.命题2.1的证明。因为引理2.2表明命题2.1是引理2.3.3时间齐次鞅不等式let x的直接结果∈ 十、 设X=X，设（Xt）t=1,2，。。。是X×X×·上的坐标映射过程。此外，设Z为非空集，fix a函数φ：Z×x→ 给定∈ Z、 我们定义了Z值过程Z=（Zt）t=0,1，。。。byZ=z，Zt+1=φ（Zt，Xt+1- Xt）。我们为所有函数Z的s集写Z→ R、 配备了逐点偏序和收敛性，并定义了算子A:RZ→ RZviaAg（z）：=[go φ（z，·）]（0），z∈ Z.此外，我们还为T折构图A写了一篇文章o · · · o A.

使用这种表示法，命题2.1可以重新表述如下。引理3.1。让f:Z→R和let（x，z）∈ X×Z.ATF（Z）=supu∈MT（x）u[f（ZT）]。这个引理看起来可能没有命题2.1那么一般，命题2.1允许对X路径的一般依赖，但让我们提到，通过选择z=N×xnw，我们可以安排事情，使Zt=（t，X，X，…，Xt，0，0，…）。从现在开始，我们主要研究适用于任意时间范围T的鞅不等式。结构条件φ（z，0）=z，z∈ Z（3.1）在这种情况下似乎是很自然的，我们将此作为一个长期的假设。然后，算子A具有以下单调性性质。引理3.2。设g，g′：Z→R.Then（i）Ag≥ G（ii）g≥ g′意味着银≥ Ag′。证据鉴于（3.1），我们有ag（z）=g（φ（z，·））(0) ≥ g（φ（z，0））=g（z），z∈ Z.第二个性质源自.定理3.3。让f:Z→ R.然后是limitA∞f（z）：=limn→∞Anf（z），z∈ Zexists-inR与函数A∞F∈ RZis被描述为A中占主导地位的最小执行点。备注3.4。引理3.1，A∞f（z）是由f，φ和z决定的鞅不等式的最优视界独立常数f。事实上，引理3.1自然地扩展到a∞f（z）=supu∈M∞（x） u[f（Z∞)]如果我们用M表示∞（x） x值单鞅（Mt）t的所有定律集∈N满足M=x。注意，任何这样的鞅最终都是恒量，so，Z∞:= limnZnis定义良好的u-a.s.适用于所有u∈ M∞（x） 。定理3.3的证明。它来自引理3.2 thatf≤ Af≤ · · · ≤ Anf，n≥ 1.特别是，限制A∞f（z）：=limn→∞Anf（z）∈R代表所有z∈ 接下来，让我们观察一下，如果（gn）n≥1.Rzi是一个不减损的序列，然后Limingn=（limngn）.事实上，这两个限制都在增加，因此得到了很好的界定，而且 立马暗示李明N≤ （林格南）.