购买人寿保险以实现遗赠目标

此后，将所有财富投资于无风险资产，直到财富达到安全水平Hb，此时，如果财富大于或等于（1），最好购买b.（b）的人寿保险- ρ） H（b）- D） ，然后将所有财富投资于无风险资产，直到财富达到安全水平H（b- D） ，此时，最好购买b的额外人寿保险- D.证据。我们用引理2.4来证明这个命题。首先，不是e，φsin（2.7）是递增的、连续的，并且对于R上的w和D是分段可微的。当0≤ w<（1）- ρ） H（b）- D） ，rwφsw- λφs=-λ(1 - ρ） 分贝w+（1）- ρ） HDHbλr-1.≤ 0.事实上，这种不平等是严格意义上的，除非D=0，在这种情况下，个人没有死亡利益可以放弃。对于（1）- ρ） H（b）- D）≤ W≤ H（b）- D） ，φs解（2.3）中的微分方程；因此，rwφsw- λφs≤ 0在右侧。接下来，观察（1- ρ） Hφsw- φsD≤ R上为0。事实上，当0≤ w<（1）- ρ） H（b）- D） ，它们的内在品质是相等的，而rwφsw- λφs<0，d6=0；因此，当财富低于（1）时，最好放弃allone的人寿保险- ρ） H（b）- D） 。什么时候- ρ） H（b）- D） <w≤ H（b）- D） 这种不平等严格地存在；因此，我们推断，当健康度大于（1）时，投保任何人寿保险都不是最优的- ρ） H（b）- D） 。当w=（1）时- ρ） H（b）- D） ，个人在放弃所有的人寿保险和不放弃任何一项保险之间没有区别，只要最大限度地提高她将在财富相等的情况下死亡的可能性。我们假设当w=（1）时，她不参加任何人寿保险- ρ） H（b）- D） 因为，对于那笔财富来说，如果她不以保险来维持生命，那么死亡时的预期财富会更大；见推论2。下文第6段。最后，观察φsD（w，D）- Hφsw（w，D）≤ 右0。

事实上，当0≤ w<H（b）- D） 严格把关；因此，我们推断，在健康达到安全水平之前购买额外的人寿保险不是最优的。因此，我们已经证明φsin（2.7）的表达式满足变分不等式（2.6）。备注2.5。我们预计，当我们考虑其他模型时，本节的结果将成立，例如更多的一般财务和死亡率模型，包括那些时间不均匀的模型。具体而言，我们预计，当通过单一保费和现金价值购买保险时，最好等到财富达到安全水平后再购买额外的人寿保险，当财富足够低时，可以选择放弃人寿保险。例2.2。再次考虑示例2.1中的数据，只是现在假设允许投降。如果ρ=0.5，则最优策略的成功概率上升至0.24487。如果ρ=0.3，则进一步上升至0。31703.如第2.1节所述，对于被允许放弃人寿保险以换取其现金价值的人，确定死亡时的预期财富是有意义的。计算以下推论中的表达式很简单，所以我们把这个工作留给感兴趣的读者。推论2.6。对于遵循命题2.5中最优人寿保险购买和放弃策略的个人，死亡时的预期财富Es（w，D）=Ew，D（w（τD）），如果λ6=r:Es（w，D）=bh1-λHλ-里w+（1）-ρ） H DHbλr+λ（w+（1）-ρ） HD）λ-r、 如果0≤ w<（1）- ρ） H（b）- D） ，（b）- D） h1-λHλ-里wH（b）-D）λr+λwλ-r+D，如果（1）- ρ） H（b）- D）≤ W≤ H（b）- D） 。（2.8）如果λ=r，则死亡时的预期财富为是（w，D）=（w+（1）- ρ） HD）hH+lnHbw+（1）-ρ） HDi、 如果0≤ w<（1）- ρ） H（b）- D） ，whH+lnH（b）-D）wi+D，如果（1）- ρ） H（b）- D）≤ W≤ H（b）- D） 。（2.9）备注2.6。

注：Esin（2.8）和（2.9）处的t h在w=（1）处不连续- ρ） H（b）- D） ，这是指个人为了财富小于或大于（1）的最优放弃策略之间的差异- ρ） H（b）- D） 。可以证明Es（（1）- ρ） H（b）- D）-, D）≤ Es（（1）- ρ） H（b）- D） +，D）；因此，从死亡时预期财富的角度来看，当w=（1）时，个人最好不要放弃人寿保险- ρ） H（b）- D） ，即使达到b的概率是相同的，不管她是放弃了所有的人寿保险，还是没有放弃那一水平的财富。3.通过连续支付的保费购买的保险第3节与第2节平行，适用于通过连续支付的保费购买保险的情况；然而，我们颠倒了小节的顺序。在第3.1节中，允许个人随时更改其保险金额；在我们的时代背景下，这相当于即时定期人寿保险。相比之下，在第3.2节中，我们不允许个人终止人寿保险，因此在她的余生中，她必须支付购买的任何人寿保险。第3.1节中的问题解决方案比第3.2节中的问题解决方案更简单，因此我们首先介绍更简单的问题。3.1在本节中，我们假设个人通过连续支付的保费购买人寿保险，保险费率为h=（1+’θ）λ每一美元保险中的某些‘’θ≥ 0.此外，我们假设个人可以随时更改其保险金额。按比例加载包括费用、利润和风险保证金；因此，我们假设没有储备积累。因此，本节中的设置等同于个人定期人寿保险。

随着即时定期人寿保险不断支付保费，财富遵循动态（dW（t）=（rW（t）- hD（t））dt，0≤ t<τd，W（τd）=W（τd-) + D（τD）-) .（3.1）对于本节，可接受的保险策略D={D（t）}t≥0是任何非负过程。我们不坚持允许的策略是W（t）≥ 0代表所有t≥ 0，概率为1，因为负漂移项不断消耗财富-hD（t）。因此，如果个人死亡前财富达到0，我们通过有效结束游戏，修改了达到最佳财富的最大概率的定义。定义τ=inf{t≥ 0:W（t）≤ 0}，并通过φt（w）=supDPw（w（τd）定义值函数∧ τ) ≥ b） ，（3.2）其中，我们最大化了超容许策略D。（我们使用一个条表示保费是可连续支付的，我们使用上标t表示保险是定期人寿保险。）我们指的是在毁灭之前达到遗赠目标的最大概率。为了激发这个问题的验证引理，我们进行以下非正式讨论。因为D是一个瞬时控制，我们预计‘φt解决以下控制方程：λ‘φt=rw‘φtw+maxDλ1{w+D≥b}- hD′φtw, （3.3）其中指示器功能为1{w+D≥b} 如果w+D等于1≥ 否则等于0。我们没有在第2节的问题中计算这个指示符函数，因为对于0≤ W≤ H（b）- D） and0≤ D<b，我们自动得到w+D<b。在（3.3）中，指示函数等于0或1，对应于这些值中的每一个，我们选择作为（受限）最小值，因为-hD′φtw，即由w+D<bor w+D构成≥ b、 分别。具体来说，如果指标等于0，则最佳保险为D=0；如果它等于1，那么最佳保险是D=b- W

因此，我们可以用等价表达式替换方程（3.3）：λ′φt=rw′φtw+maxλ - h（b）- w） φtw，0.用“wt”表示该问题的安全水平。我们通过以下论证得出：收入r可以为死亡福利提供资金，我们要求死亡福利和现有财富之和等于目标b；也就是说，r’wth+’wt=b，或者等效地，’wt=hbr+h。当定价中使用的风险率为h时，不等于购买b的终身保险的单一保费。这些观察结果导致了以下验证引理。引理3.1。设“Φt=”Φt（w）是一个在[0，\'wt]上不递减、连续且分段可微分的函数，其中，\'wt=hbr+h，但“Φt”在0处可能不可微分。假设Φs满足以下变分不等式on（0，\'wt]：λ′Φt=rw′Φtw+maxλ - h（b）- w） Φtw，0, （3.4）如果需要，我们使用单边衍生品。此外，假设Φt（\'wt）=1。n，在[0，\'wt]，\'φt=\'Φt.因此，在接下来的情况下，似乎不像是“数学魔术”，我们讨论如何获得最大化问题的解决方案。因为我们在w=`wt有一个边界条件，所以我们从这一点开始反向工作。在任何财富水平w，个人选择购买B的保险- 我们不买保险。首先，假设在“wt”附近，个人购买了b的全额保险- W表示λ（°φt）的结果解- 1) = -（hb）- （r+h）w）φtw，其中φt（\'wt）=1，乘以φtf。那么，φtf由φtf（w）=1给出- K血红蛋白- （r+h）whbλr+h，对于w，接近¨wt。这里，k>0是一些（未知）常数。接下来，假设在“wt”附近，个人购买了n-o保险；用φt表示λ′φt=rw′φtw的结果解，其中φt（\'wt）=1，则φt由φt（w）给出=（r+h）whbλr，对于w近wt。为了确定w近wt时φ和φtf中哪一个更大，比较它们在wt时的导数。

因为λr+h<1，limw→ \'wt（\'φtf）w（w）=∞, 虽然（\'φt）w（\'wt）是正的，但是是有限的。因此，对于“wt”附近的财富，φt≥\'\'φtf。这可能是因为在财富的某个区间，我们有≤\'\'φtf。然而，suchan区间的存在取决于λ≤ r或λ>r.如果λ≤ r、 然后“φt”≥\'\'对于所有0≤ W≤ “wt；在第3.2点中，我们证明了‘φt=’φt。如果λ>r，则存在财富水平w*∈ （0，\'wt）使得\'φt≤\'\'φtfon[0，w*) 和φt≥\'\'φtfon[w*, “wt]；在命题3.5中，我们证明了“φt=”φtfon[0，w*)和“φt=”φ吨[w*, “\'wt]，选择常数k，使“φt”在w处连续*.提议3.2。如果λ≤ r、 然后，在毁灭之前达到遗赠目标的最大概率由φt（w）给出=（r+h）whbλr，（3.5）对于初始财富w∈ [0，\'wt]。相关的最佳人寿保险购买策略是，在财富达到安全水平“wt”之前，不购买任何人寿保险，此时购买b的人寿保险是最佳选择- (R)wt=rbr+h证明。我们用引理3.1来证明这个命题。首先，请注意，\'φtin（3.5）在[0，\'wt]上是连续的，并且在[0，\'wt]上是递增的，\'φtis在（0，\'wt]上是可区分的，\'φt（\'wt）=1。接下来，注意λ′φt=rw′φtw，在（0，\'wt.）上。不等式λ- h（b）- w） φtw≤ 0仅当且仅当1-r+hrxλr-1+hrxλr≤ 0，（3.6）表示所有0<x≤ 其中x=（r+h）whb。对于λ=r，不等式（3.6）显然是正确的。为了显示λ<r的不等式（3.6），定义（0,1]byf（x）=1- （xa+1）-1+cxa，其中c:=hr>0，a:=λr∈ （0，1），我们希望展示f（x）≤ （0，1）上的0。为此，请观察limx→0+f（x）=-∞, f（1）=0，这就足以证明f在（0，1）上增加了- a） xa-2+caxa-当且仅当（c+1）（1）- （a）≥ 0，这是真的。因此，我们证明了φtin（3.5）满足变分不等式（3.4）。

选择保险策略源于“φt”用D解决变分不等式这一事实≡ 0.备注3.1。当死亡的力量小于或等于关注的力量时，他们会觉得自己有时间达到安全水平；因此，对于个人来说，最好是投资于无风险资产，等到达到安全水平后再购买任何人寿保险。对于初始财富w，t i m e t等于w（t）=wert，财富达到安全水平的时间等于τ＠wt=rln血红蛋白（r+h）w.死亡前达到安全水平的概率等于e-λτwt等于φtin（3.5），如预期。从备注3.1中的讨论中，我们得出以下推论。推论3.3。如果λ≤ r、 然后，对于遵循命题3.2中最优人寿保险购买策略的个人，死亡时的预期财富，\'Et（w）=Ew（w（τd）），由\'Et（w）给出=bh1+hr+hλr-λi（r+h）whbλr-λwr-λ、 如果λ<r，whr+hh+ln血红蛋白（r+h）wi、 如果λ=r.（3.7），则备注3.2。注意，\'Etin（3.7）在（0，\'wt]上唯一地解出以下BVP:（λ（\'Et- w） =rw¨Etw，¨Et（¨wt）=b.接下来，我们考虑λ>r的稍微复杂的情况，并给出一个有用的引理，我们将其归入附录a。引理3.4。假设c和a是常数，使得0<c<1<a。n，以下三个语句成立：（a）函数f[0，1]由f（x）=xa+（1）定义- x） c- 1具有唯一的零x*在内部（0,1）。此外，f（x）≤ 0换0≤ 十、≤ 十、*, 和f（x）≥ 0代表x*≤ 十、≤ 1.（b）函数fon[0，1）由f（x）=1定义-ca（1）- x） c-1.-1.-ca(1 - x） [0，x]上的cis非负*].（c） 函数fon[0，1]由f（x）=1定义-acxa-1+交流电- 1.x在[x]上为非正*, 1].我们用引理3.4来证明下面的命题。提案3.5。

如果λ>r，那么在毁灭之前达到遗赠目标的最大概率m由φt（w）给出=1.-血红蛋白-（r+h）whbλr+h，如果0≤ w<w*,（r+h）whbλr，如果w*≤ W≤ 对于初始财富w，wt=hbr+h，（3.8）∈ [0，\'wt]。给，w*是以下表达式（0，`wt）中唯一的零：（r+h）whbλr+血红蛋白- （r+h）whbλr+h- 1.（3.9）相关的最优寿险购买策略如下：（a）如果财富w小于w*, 然后购买b的人寿保险- w、 （b）如果财富大于或等于w*, 然后，在财富达到安全水平“wt”之前不要购买人寿保险，此时最好购买b的人寿保险- (R)wt=rbr+h证明。首先，使用引理3.4（a）证明（3.9）中的表达式在（0，`wt）中有唯一的零。为此，设a=λr>1，c=λr+h∈ （0,1）和x=（r+h）whb；然后，（3.9）中的表达式变成finLemma 3.4（a）。我们知道FH是一个不完整的零x*in（0,1）；因此，w*=hbx*r+his是（0，`wt）中（3.9）的唯一零。接下来，请注意，\'φt（\'wt）=1时，\'φt n在[0，\'wt]上是递减的、连续的和分段可微的。在[0，w]上*),(λ - 1） \'\'φt=（（r+h）w- b） φtw，（3.10）和等式λ- h（b）- w） φtw≥ 0（3.11）当且仅当1-B- wb1.-（r+h）whbλr+h-1.≥ 0.（3.12）在不等式（3.12）中，设a=λr>1，c=λr+h∈ （0,1）和x=（r+h）whb，如前所述；然后，（3.12）变成≥ [0，x]上的0*), 从引理3.4（b）中我们知道这是正确的。因此，我们证明了[0，w]上的不等式（3.11）*). 从方程（3.10）和不等式（3.11）可以看出，“‘φt’是引理3.1中关于[0，w]的变量不等式（3.4）*). 因为“φtsatis fies（3.3）与D（w）=b-w当0≤ w<w*,我们推断，对于财富少于w*, 为了达到遗赠目标，最好购买保险。在[w]上*, \'wt]、λ′φt=rw′φtw，（3.13）和等式λ- h（b）- w） φtw≤ 0（3.14）当且仅当1-r+hr·b- wb（r+h）whbλr-1.≤ 0

（3.15）在不等式（3.15）中，设a=λr>1，c=λr+h∈ （0,1）和x=（r+h）whb，如前所述；然后，（3.15）变成≤ [x]上的0*, 1] ，我们从引理3.4（c）知道这是真的。因此，我们证明了[w]上的不等式（3.14）*, “wt]。从方程（3.13）和不等式（3.14）可以看出，“‘φt’是引理3.1中关于[w]的变量不等式（3.4）*, “wt]。因为当w时，D（w）=0的φtsatis fies（3.3）*≤ W≤ 1，我们推断，对于财富大于或等于w*, 我选择不买保险。相反，最好等到财富达到安全水平“wt=hbr+h”，此时个人将购买BRR+h保险。备注3.3。财富等于w*, 当个人购买全额保险D（w）=b时，财富死亡的概率等于b- 直到财富达到0，或者直到财富达到安全水平，她才购买保险。因此，她在这两种策略之间是不同的，我们选择了不买保险策略，因为在这种策略下，她在死亡时的预期财富更大；见下文推论3.6。备注3.4。当λ>r且处于i-w时∈ [0，w*), 最佳控制时间tequalsW（t）=hbr+h时的财富-hbr+h- We（r+h）t，它不断减小，在个体死亡之前可能达到零。hitszero财富的时间由τ=r+hln给出hbhb- （r+h）w.个人死亡时财富（包括死亡福利）等于b的概率等于个人在时间τ或1之前死亡的概率- E-λτ，与预期的一样，等于φt。当最初的财富∈ [w]*, “\'wt]，然后该个人将其所有财富投资于无风险资产，使得时间t时的财富等于wert，并且在财富达到安全水平之前，她不会购买保险。\'wt=hbr+h。根据备注3.4中的讨论，我们得出以下推论。推论3.6。

如果λ>r，则遵循命题3.4中最优人寿保险购买策略的个人的预期死亡财富，\'Et（w）=Ew（w（τd）），由\'Et（w）给出=B1.-血红蛋白-（r+h）whbλr+h, 如果0≤ w<w*,bh1-hr+hλ-里（r+h）whbλr+λwλ-r、 如果w*≤ W≤ 此外，重量（3.16）和重量（w*-) <\'Et（w*+).备注3.5。在[0，w]上*), 我们可以证明，Etin（3.16）唯一地解决了以下BVP：（λ（\'Et- b） =（（r+h）w- hb）\'Etw，\'Et（0）=0。在[w]上*, \'wt]，\'Etin（3.16）唯一地解出以下BVP，如备注3.2所示：（λ（\'Et- w） =rw¨Etw，¨Et（¨wt）=b.接下来，我们给出了分界点w的性质*. 出于对空间的兴趣，我们省略了这个推论的证明，但请感兴趣的读者提供它。推论3.7。当λ>r时，分界点w*在全额保险D（w）=b之间- w代表w<w*没有保险D（w）=0代表w≥ W*满足以下特性：（a）w*与遗产目标b成比例增加。（b） w*随着λ的增加，死亡率增加。（c） w*与无风险回报率r相关的减少。备注3.6。（a） 很明显，w*与b成比例变化。实际上，x*=（r+h）w*HBs1- （十）*)λr=（1）- 十、*)λr+h。这个方程依赖于b，所以x*不随b变化；因此，w*双常数。（b） λ对w有相互竞争的影响*. 对于固定的保险费率，w*随着λ的增加而增加，因为个体在达到安全水平之前死亡的可能性更大，wt=hbr+h。因此，对于h fixed，Shei更可能希望现在购买全额保险，而不是等待达到安全水平。然而，保险费率h随着λ的增加而增加，因此我们必须考虑w*安全水平随h而增加，这使得个体不太愿意等待达到安全水平。但是，随着h的增加，Premium变得更加昂贵；因此，个人购买全额保险的愿望减弱了。