时间不一致的移动目标均值效用组合选择

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英文标题：
《Time-Inconsistent Mean-Utility Portfolio Selection with Moving Target》
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作者：
Hanqing Jin and Yimin Yang
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this paper, we solve the time inconsistent portfolio selection problem by using different utility functions with a moving target as our constraint. We solve this problem by finding an equilibrium control under the given definition as our optimal control. We firstly derive a sufficient equilibrium condition for second-order continuously differentiable utility funtions. Then we use power functions of order two, three and four in our problem and find the respective condtions for obtaining an equilibrium for our different problems. In the last part of the paper, we consider using another definition of equilibrium to solve our problem when the utility function that we use in our problem is the negative part of x and also find the condtions for obtaining an equilibrium.
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中文摘要：
本文以一个移动目标为约束条件，利用不同的效用函数来解决时间不一致的投资组合选择问题。我们通过在给定的定义下找到一个平衡控制作为我们的最优控制来解决这个问题。首先给出了二阶连续可微效用函数的一个充分平衡条件。然后，我们在问题中使用二阶、三阶和四阶的幂函数，并分别找到获得不同问题平衡的条件。在本文的最后一部分，我们考虑使用另一种均衡的定义来解决我们的问题，当我们在问题中使用的效用函数是x的负部分时，我们还找到了获得均衡的条件。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Time-Inconsistent_Mean-Utility_Portfolio_Selection_with_Moving_Target.pdf (428.12 KB)

2022-5-5 20:24:27 上传

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关键词：Applications Differential Quantitative Optimization equilibrium

时间不一致的平均效用对开本选择*在本文中，我们使用不同的效用函数来解决时间不一致的投资组合选择问题，移动目标是我们的约束条件。我们通过在最优控制的定义下找到平衡控制来解决这个问题。我们推导出了表皮功能的有效平衡条件，并在问题中使用了二阶、三阶和四阶幂函数，并找到了获得不同问题平衡的相应条件。在本文的最后一部分，我们还考虑了当我们在问题中使用的效用函数为x时，使用另一个均衡定义来解决我们的问题-并找出获得平衡的条件。关键词：时间不一致性，随机控制，均衡控制，前后向随机微分方程，效用函数，投资组合选择*牛津大学数学研究所和野村数学金融中心，牛津伍德斯托克路，牛津牛津牛津大学OX2 6GG和牛津-曼研究所，牛津沃顿韦尔路鹰屋，牛津OX2 6ED.+牛津大学数学研究所，牛津伍德斯托克路，OX2 6GG。内容1简介32问题设置42.1符号。42.2我们问题的动机。42.3电力效用函数的均衡定义。62.4表皮功能的充分平衡条件。63效用函数h（x）=x均值-方差投资组合选择123.1为我们的问题引入了一个拉格-安吉乘数。133.2我们问题的转变。

.143.3找到潜在平衡的详细信息。153.4为我们的问题获得平衡的条件。224效用函数h（x）=-xfor mean cubic portfolio s election 234.1我们问题的转化。234.2找到潜在平衡的细节。244.3为我们的问题获得平衡的条件。274.4我们问题的特殊解决方案。295效用函数h（x）=x用于强烈的风险规避325.1我们问题的转化。325.2找到潜在平衡的细节。335.3为我们的问题获得平衡的条件。356效用函数h（x）=x-对于更强烈的风险规避386.1本节平衡点的符号和定义。386.2找到均衡库的详细信息。397结论431引言随机控制现在是一个成熟且成熟的研究课题。本文引述胡、金、周[1]关于时间不一致控制问题的研究综述如下。在随机控制的研究中，虽然大多数时候没有明确说明，但标准的假设是时间一致性，这是关于渐进过滤的条件预测的基本属性。因此，从今天开始查看的最优控制从明天开始将保持最优。

时间一致性为动态规划方法提供了理论基础，包括生成的HJB方程，它是现代随机控制理论的支柱。然而，与时间一致的问题相比，时间不一致的问题要多得多。双曲线贴现Ainslie[7]和连续时间均值-方差投资组合选择模型Basak Chabakauri[8]，Zhou和Li[9]提供了两个时间不一致的著名例子。与金和周[10]的行为金融模型一样，概率扭曲是时间不一致的另一个独特来源。受实际应用（尤其是在数学金融领域）的推动，时间不一致控制问题最近吸引了大量研究兴趣，并试图寻求平衡控制而非最优控制。在概念层面上，我们的想法是，控制者在每一时刻做出的决定都被视为与控制者未来化身将要做出的所有决定的博弈。因此，“平衡”控制是指任何时候偏离它的情况都会变得更糟。从博弈的角度来看，Ekeland和Lazrak[11]探讨了确定性时间不一致最优控制，Bjork和Murgoci[3]将这一思想扩展到了随机环境，推导出了一个尽管非常复杂的HJB方程，并将该理论应用于动态Markowitz问题。Yong[12]研究了一个时间不一致确定性线性二次控制问题，并通过一些积分方程导出了平衡控制。然而，时间不一致控制的研究总体上仍处于起步阶段。在本文中，我们使用不同的效用函数来解决时间不一致的投资组合选择问题，其中移动目标是我们的约束。

我们通过在给定定义下找到一个平衡控制作为最优控制来解决这个问题。首先，我们推导了表皮功能的有效平衡条件。然后，我们在曲线问题中使用了二阶、三阶和四阶幂函数，并找到了获得不同问题n平衡的相应条件。在本文的最后一部分，我们考虑当我们在问题中使用的效用函数是x时，使用另一个均衡定义来解决我们的问题-我们还发现了这个问题达到平衡的条件。本文的结构如下。在第2节中，我们设定了我们想要研究的问题，并给出了在问题中使用幂函数时的平衡定义。在本节中，我们还将证明表皮功能的有效平衡条件。在第3节中，我们使用h（x）=xa作为问题中的效用函数，并通过设置一个以Lagra Ngian乘数为位置的确定性过程，找到问题非平衡的条件。在第4节和第5节中，我们使用h（x）=-我们直接将问题转化为一个更简单的形式，并为我们的问题找到实现非平衡的条件。在第6节中，我们使用h（x）=x-在我们的问题上。我们在本节中对平衡给出了不同的定义，通常我们会找到获得平衡的条件。

最后，我们在第7.2节“问题设置2”中做一些评论。1符号本文中使用的符号如下所示L∞Ft、 t；Rl: 本质有界{Fs}的集合∈[t，t]-自适应过程s.LFt、 t；Rl: {Fs}的集合∈[t，t]-适应过程sf={fs:t≤ s≤ T}带有Eh\'Tt | fs | dsi<∞LGOhm; Rl: 随机变量集ξ：(Ohm, G）→Rl，BRl用Eh|ξi<∞LpFOhm; Ct、 t；Rl: 连续{Fs}集∈[t，t]-适应过程sf={fs:t≤ s≤ T}带E“sups∈[t，t]| fs | p#∞（Wt）t∈[0，T]：Wt，·WdtT∈[0，T]一个d维布朗运动(Ohm, F、 P）Et[·]：对于任何t，E[·| Ft]∈ [0，T），我们考虑满足以下等式（dXs）的一对投资组合和财富过程（π，X）=rsXs+πTs（uxs- rs1）ds+πTsσsdWss∈ [t，t]Xt=Xt（2.1），其中1是1的d维向量，W是d维标准布朗运动，r是无风险利率过程，uxis是风险资产的漂移率向量过程，σ是风险资产的波动过程，它是d×d矩阵，假设是可逆的。在本文中，我们假设∈ L∞F（0，T；R），ux∈ L∞F0，T；研发部, σ ∈ L∞F0，T；Rd×d和σ-1.∈ L∞F0，T；Rd×d,这意味着它们都是有界的，此外，我们还假设r和σ总是确定性的。实际上，除了在使用X作为效用函数的情况下，我们也会假设uxto具有确定性。

然后，上述财富过程的动态可以写成（dXs）=rsXs+πTsσsθsds+πTsσsdWss∈ [t，t]Xt=Xt（2.2），其中θ=σ-1（ux- r1）是风险的市场价格，很明显θ∈ L∞F0，T；研发部这意味着θ也是有界的。2.2我们问题的动机一个标准的静态均值-方差投资组合选择问题，其固定均值目标为πV ar（XT）s.t。dXs=rsXs+πTsσsθsds+πTsσsdWsX=xE[XT]=lπ∈ Uπad=π | π ∈ 如果0，T；研发部在这个π（3）中（XT）- （分机）s、 t。dXs=rsXs+πTsσsθsds+πTsσsdWsX=xE[XT]=lπ∈ Uπad=π | π ∈ 如果0，T；研发部（2.4）可以写成πE[h（XT- l） ]s.t。dXs=rsXs+πTsσsθsds+πTsσsdWsX=xE[XT]=lπ∈ Uπad=π | π ∈ 如果0，T；研发部（2.5）其中h（x）=x。在本文中，我们想通过以下两种方式扩展上述问题。首先，我们希望将h（x）扩展到其他类型的效用函数，而不仅仅是x的函数。其次，我们希望将静态平均目标E[XT]=l扩展到任何t的移动目标Et[XT]=Xte\'Ttusds∈ [0，T），其中u是我们所需的回报过程，它被假定为有界的和确定性的。基于这两个动机，对于任何给定的效用函数h（x），我们的目标是找到一个组合π，以最小化ej（T，Xt；π）=Et[h（Xt- Et[XT]）（2.6）在任何时间t∈ [0，T），其中Xt=Xt。

为了满足移动目标的要求，我们希望对我们的控制πs.t.Et[XT]=Xte\'Ttusds有一个约束，T∈ [0，T）（2.7）因此我们的目标是∈ [0，T）使用Xt=xtis，在上述约束下找到一个控制π，以最小化j（T，Xt；π）=ethXT- Xte\'Ttusdsi（2.8），这意味着我们想要解决一系列的问题，对于任何t∈ [0，T）minπethXT- Xte\'Ttusds是TdXs=rsXs+πTsσsθsds+πTsσsdWs，s∈ [t，t]Xt=Xtπ∈Uπad=nπ|π∈ 如果0，T；研发部Et[XT]=Xte\'Ttusds，T∈ [0，T）o（2.9）根据Bjork a和Mur goci[3]，如果上述问题族中的终端求值函数h（x）依赖于Xt=Xt，那么如果不能在给定的效用函数h（x）之外进行分解，那么该函数将导致时间不一致。在这里，我们的效用函数h（x）依赖于项Xte\'Ttus，因此我们的问题族（2.9）在大多数情况下是时间不一致的。当我们使用效用函数h（x）=e-αx对于某些α>0，我们的问题族（2.9）的目标是j（t，Xt；π）=EthhXT- Xte\'Ttusdsi=Et“e-αXT-Xte\'Ttusds#= eαXte\'TtusdsEtE-αXT这意味着我们的问题族等价于目标为^J（t，Xt；π）=Et的标准控制问题E-αXT当X是马尔可夫过程时，这就变成了一个时间一致性问题，可以用动态规划来解决。

但为了权力和x-这将导致效用函数的时间不一致性，因此本文主要研究以下效用函数h（x）=x，-x、 x，x-通过使用whichour问题族（2.9）成为时间不一致的问题。2.3电力效用函数均衡的定义根据时间不一致性，需要以适当的方式定义“最优”的概念。在这里，我们采用了平衡控制的概念，该概念仅适用于任何t∈ [0，T）。给定一个控制u*, 无论如何∈ [0，T），ε>0和v∈ LFtOhm; 研发部, 中性，ε，vs=u*s+v1s∈[t，t+ε），s∈ [t，t]（2.10）定义2.1。让你*∈ Uadbe一个给定的控件，Uadbe是一组可接受的控件。L etX*是对应于u的状态进程吗*. 控制u*称为平衡iflimε↓0J（t，X）*Tut，ε，v）- J（t，X）*TU*)ε≥ 0（2.11）表示任何t∈ [0，T）和v∈ LFtOhm; 研发部s、 t.ut，ε，v∈ Uad，其中ut，ε，由（2.10）定义。请注意，这里我们使用了胡、金、周[1]中定义的平衡控制的定义，它定义为开环控制，与比约克和穆尔戈奇[3]中的定义不同，后者的定义基于反馈控制。在这个定义中，[t，t+ε]中控制的扰动不会改变[t+ε，t]中的控制过程。我们将此定义用于功率效用函数h（x）=x，-x、 克森利。

对于h（x）=x-我们将使用另一个平衡定义，该定义将在第n.2.4节中定义。表皮功能的有效平衡条件在以下三节中，当我们在问题中使用我们的幂函数时，我们将把我们的问题转化为以下形式的任何问题的一系列问题∈ [0，T）小步舞曲[h（YT）- Yt]s.t。戴斯=brsYs+uTsθsds+uTsdWsYt=ytu∈ 乌阿德=u | u∈ 如果0，T；研发部（2.12）在θ有界的情况下，br是一个确定性过程，h（x）是给定的表皮性函数。这里我们有J（t，Yt；u）=Et[h（Yt- Yt）。对于这类问题，平衡控制的定义2.1转化为以下命题。提议2.2。让你*∈ 如果0，T；研发部成为一个既定的控制者*是对应于u的状态进程吗*. 控制u*是问题族（2.12）iflimε的平衡↓0J（t，Y）*Tut，ε，v）- J（t，Y）*TU*)ε≥ 0（2.13）表示任何t∈ [0，T）和v∈ LFtOhm; 研发部, 式中，ut，ε，由（2.10）定义。这里，我们给出了当Y是（2.12）中定义的过程时，平衡控制的一个充分条件，在任意t处使用二阶泰勒展开∈ [0，T），其灵感来源于胡、金、周[1]的思想。让你*成为一个固定的控制者，并且*是相应的状态过程。佛拉尼t∈ [0，T]，我们在时间间隔[T，T]中定义过程pt∈ LF（t，t；R），qt∈ 如果t、 t；研发部,Pt∈ LF（t，t；R）和Qt∈ 如果t、 t；研发部满足以下BSDE系统（DPT=- brsptsds+（qts）TdWs，s∈ [t，t]ptT=dh（Y*T-Y*t） dx（2.14）（dPts=-2个brsPtsds+（Qts）TdWs，s∈ [t，t]PtT=dh（Y*T-Y*t） dx（2.15）提案2.3。对于任何ε>0，t∈ [0，T），v∈ LFtOhm; 研发部ut，ε，vde由（2.10）定义。我们有t、 Y*Tut，ε，v- J（Y，Y）*TU*) = Et^t+εtvT∧ts+Pts | v | ds+o（ε）（2.16），其中∧ts=Ptsθs+qtsf用于任何s∈ [t，t]。证据这里我们在Yong和Zhou[2]中使用标准摄动方法。