一篮子期权的多项式近似定价

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英文标题：
《Pricing of Basket Options Using Polynomial Approximations》
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作者：
Pablo Olivares
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this paper we use Bernstein and Chebyshev polynomials to approximate the price of some basket options under a bivariate Black-Scholes model. The method consists in expanding the price of a univariate related contract after conditioning on the remaining underlying assets and calculating the mixed exponential-power moments of a Gaussian distribution that arise as a consequence of such approximation. Our numerical implementation on spread contracts shows the method is as accurate as a standard Monte Carlo approach at considerable lesser computational effort.
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中文摘要：
本文在二元Black-Scholes模型下，利用Bernstein多项式和Chebyshev多项式来逼近一些篮子期权的价格。该方法包括在对剩余标的资产进行条件调整后，扩展单变量相关合同的价格，并计算高斯分布的混合指数幂矩，该混合指数幂矩是这种近似的结果。我们在价差合约上的数值实现表明，该方法与标准蒙特卡罗方法一样精确，计算量相当小。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
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关键词：多项式 Conditioning Quantitative distribution Calculating

使用多项式近似法的篮子期权定价Pablo Olivares Abstract。在本文中，我们使用Bernstein和Chebyshev多项式来近似二元Black-Scholes模型下一些篮子期权的价格。在计算剩余的阿努斯分布的基础上，阿努斯分布的剩余阿努斯分布在计算阿努斯分布的剩余阿努斯分布的基础上。我们对价差合约的数值实现表明，该方法与标准蒙特卡罗方法一样精确，计算效率相当低。1.导言本论文的目的是研究标准多元Black-Scholes模型下的篮子期权，该模型使用一个标的资产相关条件合同的不同多项式近似。通过对一些资产价格进行条件化，我们将问题简化为计算具有随机罢工价格的Black-Scholes公式的期望值。在适当的多项式近似下，该期望值可从选定点的相应一维价格以及联合高斯分布的截断指数幂矩中获得。它允许以与aMonte Carlo方法相当的精度计算价格，且计算效率相当低。Li、Dengand Zhou（2008年、2010年）或Alvarez and Olivares（2014年）采用了泰勒多项式的另一种观点。虽然泰勒近似法根据条件价格的导数，用一个简单的封闭公式得出了相当合理的估计值，但在扩展完成后，这一点是非常合理的。

此外，由于这种扩展是参数集特定值的局部扩展，它可能会在远离考虑扩展点的值处引入显著误差，尽管这种误差很少。为了克服这一潜在问题，我们研究了Bernstein和Chebyshev多项式逼近的发展，它们在给定的闭合区间上实现了条件价格的一致收敛。为了简单起见，我们关注二维价差合约和BlackScholes模型，但该方法可以扩展到更复杂的模型，如单词和短语。伯恩斯坦、切比雪夫、泰勒、篮子期权、价差期权。2 OLIVARES、PABLOor和其他欧洲衍生品。例如，参见Olivares（2014），了解跳跃扩散和切换跳跃扩散模型的应用。在Mengand Ding（2013）和Fang and Oosterlee（2009）中可以找到关于傅里叶级数的有趣近似。篮子期权是单变量欧式看涨期权的多元扩展。一篮子期权以一组d股（篮子）的加权平均数为标的，产生的收益等于零的最大值，以及加权平均数与行使权之间的差异（或看跌期权的相反差异）。指数期权，其价值取决于股票或其他金融指数（如标准普尔500指数）的变动，以及基于天然气和石油价格差异的实物期权就是此类合同的例子。在利差期权的特殊情况下，Kirk（1995）、Carmona和Durreman（2003）、Li、Deng和Zhou（2008年、2010年）以及Venkataramanan和Alexander（2011年）的著作中曾考虑过几种近似方法，其中研究了不同的临时方法。本文的组织结构如下，在第2节中，我们介绍了模型、主要符号，并推导了扩展期权的伯恩斯坦近似。

在第三节中，我们研究了切比雪夫近似的情况以及对现货价格的敏感性。在第4节中，我们讨论了数值实现和结果。最后在第5节中，我们得出结论。2.基于伯恩斯坦多项式的近似我们首先介绍一些符号和我们的主要模型。让(Ohm, A、 P，{Ft}t>0）是一个过滤概率空间，并定义过滤fxt:=σ（Xs，0）≤ s≤ t） 作为由随机变量{Xs，0≤ s≤ t} 以通常的方式完成。用Q表示风险中性测量值和Q下的期望值。数量ua，频带MX（u，a，b）分别代表[a，b]上的截断矩和生成矩函数（g.m.f.），而函数N（.）是标准正态分布的累积分布函数（c.d.f.）。矩阵A表示矩阵A=（aij）的转置，而diag（A）则根据上下文，是主对角线中含有分量AiiI的对角矩阵，或是含有矩阵A对角线中分量的列向量。另一方面，对矩阵进行去噪，使AA=A。1的d维列向量由1d描述。现货价格的过程用St表示=S（1）t，S（2）t，S（d）t0≤T≤当Yt=（Y（1）t，Y（2）t，Y（d）t）0≤T≤Tde定义资产日志返回过程的时间t，相关为（1）S（j）t=S（j）exp（Y（j）t），对于j=1，2。

，D篮子期权定价3我们分析欧洲篮子期权，其在到期时间T和履约价格K时的收益由以下公式给出：h（ST）=dXj=1wjS（j）T- K+其中（wj）1≤J≤挑战一些确定性权重，x+=max（x，0）。这些合约中研究最多的可能是价差期权，其收益率（ST）=（S（1）T- S（2）T- K） +我们将重点讨论假设二维Black-Scholes动力学的情况d=2，在风险中性概率下，由以下公式给出：（2）dSt=rStdt+∑StdBtwhere Bt=（B（1）t，B（2）t）t≥0是一个二维布朗运动向量，<B（1）t，B（2）t>=ρt，∑是一个正定义的有限对称矩阵，定义为：∑=σ0 σ这里r>0是（恒定的）利率。等价地，在应用伊藤公式后：（3）dYt=（r-diag（∑）dt+dbt到期日为T>0且付息时间为h（ST）的篮子合约的价格，用CS:=CS（S，K，∑，ρ，r，T）表示，由以下公式得出：-rTEQh（ST）=EQhe-rTEQh（ST）| FY（2）Ti=EQ[C（Y（2）T）]（4）式中：（5）C（Y）：=e-rTEQh（ST）| FY（2）T|Y（2）T=Y表示当Y（2）T=Y时，具有基础（1）和支付（ST）的一维欧洲合同的价格。我们开始通过以下基本引理将价格CSin写成条件价格。引理1。在等式（2）给出的模型下，带payoff h（ST）的欧洲篮子合同的价格为（6）CS=weAEQeσσρY（2）TC（Y（2）T）式中：C（y）：=CBS（K（y），σ，S（1））4 OLIVARES，PABLOis标的资产S（1）上的看涨期权的Black-Scholes价格，两次执行价K（y），到期日T>0，波动率σ，现货价格（1）和执行价由：K（y）=we给出-A.柯-σσρy- wS（2）e（1）-σσρ）y带：A=-σσρ（ρσ+2r）- σ） Tσ=p1- 这是最好的证明。从方程（3）我们得到：YT=（Y（1）T，Y（2）T）~ N（r1）-diag（∑）T，∑ρT式中：∑ρ=σρσσρσσσ此外，众所周知，Y（1）TgivenY（2）的条件分布也是正态的。例如，见Tong（1989）。

因此我们可以写出（7）Y（1）T=u（Y（2）T）+σ√其中：u（Y（2）T）=（r（1-σσρ) +σσρ -σ） T+σσρY（2）和Z~ N（0，1），独立于Y（2）T。接下来，从等式（4）我们得到：CS=we-rTEQ情商S（1）eY（1）T+wwS（2）eY（2）T-千瓦+| FY（2）T= 我们-rTEQ情商S（1）eY（1）T- K（Y（2）T）+| FY（2）T（8） 其中K（y）=Kw-wwS（2）ey。将等式（7）代入（8），我们得到：CS=we-rTEQeu（Y（2）T）等式S（1）eσ√T Z- E-u（Y（2）T）K（Y（2）T）+| FY（2）T= 我们-rTEQE-（r）-σ） T+u（Y（2）T）当量S（1）e（r）-σ） T+σ√T Z- K（Y（2）T）+| FY（2）T= 韦克-（r）-σ） T+u（Y（2）T）C（Y（2）T）i（9）篮子期权的定价5式中：C（Y（2）T）：=CBS（K（Y（2）T），σ，S（1））=e-rTEQS（1）e（r）-σ） T+σ√T Z- K（Y（2）T）+| FY（2）T方程式（6）紧随其后。对任何人来说∈ N和[a，b] R我们考虑函数C（y）在区间[a，b]上的Bernstein多项式的第n次展开。表示CB（y，a，b，n），定义为：~CB（y，a，b，n）=nXν=0C（（b- a） νn+a）bν，n（y；a，b）1[a，b]（y）（10）其中a≤ Y≤ b、 ν=1，2，函数sbν，n（y；a，b）=bν，nY- ab- A.=(-1） n-ν（b）- a） nnν（y）- a） ν（y）- b） n-ν是[a，b]上n阶的伯恩斯坦多项式，且bν，n（y）=bν，n（y；0，1）因此，对于带报酬h（ST）的篮子期权的价格Cs，在[a，b]上截断的n阶伯恩斯坦近似被定义为：（11）~CB（a，b，n）：=wEQhe-（r）-σ） T+u（Y（2）T）~CB（Y（2）T，a，b，n）下一个定理为上述近似提供了一个表达式。定理2。

在模型（2）下，带付息h（ST）的利差合约价格Cs的n阶Bernstein近似由以下公式给出：~CB（a，b，n）=w（r-σ） T- bb- A.nnXν=0nν(-1） n-νC（（b）- a） νn+a）b- a（r）-σ） T- B其中：G（ν）=νXk=0νk（r）-σ） T- bb- A.kH（n）- ν+k）H（l）=lXm=0lm√Tσ（r）-σ） T- BM（r）-σ） T- BN-ν+kF（m）F（m）=e-udmMZ（u，~a，~b）dum | u=σ1ρ√T=mXk=0mk(σρ√T）m-kua-σρ√T，~b-σρ√T（k）和c（y）：=CBS（k（y），σ，S（1））6 OLIVARES，PABLOis标的资产S（1）上的看涨期权的Black-Scholes价格，两次执行价格k（y），到期日T>0，波动率σ，现货价格（1）和执行价格：（14）k（y）=-A.柯-σσρy- wS（2）e（1）-σσρ）y带：A=-σσρ（ρσ+2r）- σ） T（15）σ=p1- ρσ和＠a=a- （r）-σ） T√Tσ，~b=b- （r）-σ） T√Tσ证明。通过引理1，我们将方程（10）替换为方程（11），得到：~CB（a，b，n）=wEQhe-（r）-σ） T+u（Y（2）T）~CB（Y（2）T，a，b，n）i=w（b- （a）-nnXν=0nν(-1） n-νCS（（b）- a） νn+a）EQE-（r）-σ） T+u（Y（2）T）Y（2）T- A.νY（2）T- BN-ν[a，b]（Y（2）T）现在：情商E-rT+σT+u（Y（2）T）Y（2）T- A.νY（2）T- BN-ν[a，b]（Y（2）T）= eAνXk=0νk（b）- a） ν-凯克eσ1σ2ρY（2）TY（2）T- BN-ν+k[a，b]（Y（2）T）（16） 此外，我们还有：情商eσσρY（2）TY（2）T- BN-ν+k[a，b]（Y（2）T）=N-ν+kXm=0N- ν+km（r）-σ） T- BN-ν+k-mEQeσσρY（2）TY（2）T- 等式（Y（2）T）m[a，b]（Y（2）T）= eσσρ（r）-σ） T（r）-σ） T- BN-ν+kn-ν+kXm=0N- ν+km√Tσ（r）-σ） T- BmEQheσρ√T ZZm[~a，~b]（Z）i（17）篮子期权的定价7接下来，请注意：EQheuZZm[~a，~b]（Z）i=dmMZu、 ~a，~b达姆=√2πZ~b~ae-（十）-2ux）xmdx=eu√2πZ~b~ae-（十）-u） xmdx=eu√2πZ~b-uA-ue-y（y+u）mdy=eumXν=0mν嗯-νua-u、 ~b-u（ν）（18）最后代入方程（18），在u=σρ下计算√T，转化为方程（17），然后方程（17）转化为方程（16），我们得到方程（13）。备注3。

请注意，近似值CB（a，b，n）仅取决于区间[a，b]分区上的Black-Scholes期权价格的值和高斯多变量分布的截断混合指数幂矩。3.切比雪夫多项式逼近我们研究了另一种通过切比雪夫多项式逼近价格的方法。有关定义及其基本属性，请参见Masonand Handscomb（2003）。用（Tk（y））k表示∈第一类切比雪夫多项式序列[-1，1]我们考虑函数C（y）在区间[a，b]上的第n次逼近，该区间[a，b]用切比雪夫多项式表示，其中（19）CCH（y，a，b，n）=^C[a，b]（y）+nXk=1^ckTa，bk（y）1[a，b]（y）式中（Ta，bk（x））k∈Nis第一类切比雪夫多项式的序列on[a，b]定义为：Ta，bk（y）=Tk-1+（b）- a） （y）- （a）, A.≤ Y≤ 带值（^ck）0≤K≤切比雪夫展开式中相应系数的奈尔估计。[a，b]上的切比雪夫多项式与定义为：<f，g>=Zbaf（x）g（x）wa，b（x）dx8 OLIVARES，b加权函数wa，b（x）的标度积正交=1.-2（x）-a） b-A.- 1.-.注意| | Ta，bk | |=（（b）-a） π表示k6=0（b-a） π对于k=0当k6=0时，展开式中的系数可以计算为：ck=<C，Ta，bk>| | Ta，bk | |=（b- a） πZbaC（y）Ta，bk（y）wa，b（y）dy=（b）- a） πZbaC（y）Tk(-1+（b）- a） （y）- a） wa，b（y）dy=πZ-1C（a+b）- a（x+1）Tk（x）w-1,1（x）dx=πZπC（a+b）- 变量x改变后的a（cosθ+1）cos（kθ）dθ=-1+（b）-a） （y）- a） x=cosθ。另外：c=πZπc（a+b）- a（cosθ+1））dθ从梯形规则到近似黎曼积分系数（ck）0≤K≤nca可以通过[0，π]：^ck\'b上N个点的等距划分来估计- πNXj=0d（k）j，k=1，2，n^c\'b- a2NπNXj=0d（0）j其中：d（k）j=对于j=02C（a+b），为C（b）-对于j=1，2。

N- 1C（a）对于j=NChebyshev多项式，第一类多项式可以用变量的幂来表示。来自Amparo等人（2007）：（20）Ta，bk（x）=[k]Xl=0b（k）l-1+b- a（x）- （a）K-2.地点：b（k）l=(-1） k或l=k偶数(-1） lk-2l-1kk-LK- 陆上通信线对于篮子期权9的定价，我们以与伯恩斯坦多项式方法类似的方式将利差价格的n-thorder-Chebyshev近似定义为：^CCH（a，b，n）：=wEQhe-（r）-σ） T+u（Y（2）T）~CCH（Y（2）T，a，b，n）下一个定理提供了阿巴斯科特期权价格的切比雪夫近似：定理4。在等式（2）给出的模型下，带支付（ST）的欧洲篮子期权价格Csof的n阶切比雪夫近似值由以下公式给出：^CCH（a，b，n）=w^c[n（~b- σρ√（T）- N（~a）- σρ√我们-ρσTnXk=1[k]Xl=0^ckb（k）l2σ√肺结核- A.K-2l^G（k）- 2l）（21）式中：^G（k）=kXm=0公里2（r）-σ） T- A.- b2σ√*****k-mMZ（u，~a，~b）duk-m | u=σρ√t对于k=0，1，2，n、 ~b=b- （r）-σ） TσT，a=a- （r）-σ） 提防。

注意：eAEQheσ1σ2ρY（2）T(-∞,b） （Y（2）T）i=eAe（r）-σ） σσρTEQheσρ√T Z(-∞,~b）（Z）i=eAe（r）-σ） σσρTeσρT√2πZ~b-σρ√T-∞E-zdz=N（~b）- σρ√T）因此：eAEQheσ1σ2ρY（2）T[a，b]（Y（2）T）i=N（~b）- σρ√（T）- N（~a）- σρ√T）10 OLIVARES，Pablo引理1，我们考虑方程（19）和（20）得到：^CCH（a，b，n）=weAEQeσσρY（2）T^C（Y（2）T，a，b，n）=w^c[N（~b）- σρ√（T）- N（~a）- σρ√T）]+weAnXk=1^ckEQheσ1σ2ρY（2）TTa，bk（Y（2）T）1[a，b]（Y（2）T）i=w^c[N（~b- σρ√（T）- N（~a）- σρ√T）]+xk=1[k]Xl=0^ckb（k）l（b- a） k-2lEQeσ1σ2ρY（2）T2Y（2）T- A.- BK-2l[a，b]（Y（2）T）（22）现在：等式σ1σ2ρY（2）T（2Y（2）T- A.- b） k-2l[a，b]（Y（2）T）i=k-2lXm=0K- 2lm（2EQY（2）T- A.- b） mk-2l-mEQheσ1σ2ρY（2）T（Y（2）T- EQY（2）T）k-2l-m[a，b]（Y（2）T）i=eσσρ（r）-σ） T（2σ）√T）k-2lk-2lXm=0K- 2lm2（r）-σ） T- A.- b2σ√TmEQheσρ√T ZZk-2l-m[~a，~b]（Z）i=eσσρ（r）-σ） T（2σ）√T）k-2lk-0=xm2lK- 2lm2（r）-σ） T- A.- b2σ√Tmdk-2l-mMZ（u，~a，~b）duk-2l-m | u=σρ√t将最后一个表达式代入方程（22），我们得到方程（21）3.1. 与参数有关的灵敏度。利用上述近似值，可以分析模型和合同中参数的敏感性。值得注意的是，由于缺少一个封闭形式的价差公式，因此无法直接对其进行区分，从而获得相应的希腊货币。另一方面，在实践中，用蒙特卡罗方法计算具有合理误差的价格衍生品需要相当多的额外计算工作量。在这里，我们关注差价合约的增量，即切比雪夫近似给出的现货价格的敏感性。其他敏感性也以类似的方式出现。为此，我们稍微更改了符号，明确说明了对初始价格S（1）=和S（2）=S的依赖性。