估计Heston模型的期权定价精度

Broadie和Kaya（2004）、Chan和Joshi（2010）对期权价格敏感性的数值计算进行了探讨，我们在此提出了一种替代方法。3.2. 期权价格敏感性PDE微分方程（5）关于参数向量p的每一个坐标，一个获得由梯度的5个坐标验证的五个独立PDEpg（x，y，t），2015年7月22日，定量金融敏感性˙Draft46开放域0<x，0<y，0<t<τ。(T- L）κg=（θ）- y）Gy（15）(T-L）θg=κGy（16）(T- L）γg=γyGy+ρxyG十、Y- λ√YGy（17）(T- L）ρg=γx yG十、y（18）(T- L）λg=- γ√YGy（19）这五种偏微分方程中的每一种都与五种边界条件有关。这些条件中的前四个由以下向量方程以紧凑形式给出，其中[0]是所有坐标等于0的向量，pg=0表示0<x，0<y，t=0（20）pg=0表示x=0，0<y，0<t≤ τ（21）limx→∞x[pg]=[0]表示0<y，0<t≤ τ（22）石灰→∞y[pg]=0表示0<x，0<t≤ τ（23）第五个边界条件是通过微分方程（8）得到的。这将产生以下边界条件，适用于0<x，y=0，0<t≤ τ、 Dκg=θyg，Dθg=κyg，Dγg=0，Dρg=0，Dλg=0。（24）其中D是比亚迪给出的一阶微分算子=T- rx十、- κθy+r.（25）我们现在概述了我们为解决期权价格偏微分方程和之前五个非齐次偏微分方程而实施的数值模式。4.

期权价格对参数误差敏感度的数值计算在具体的数值期权定价中，资产价格x>0和波动率平方y>0有明显的实际上界xB，yB，因此用边界域U=[0，xB]×0，yB]×0，τ]代替无界域g=R+×R+×0，τ]是标准的计算实践，其中xB，Yb是固定的大正数。然后计算g（x，y，t）作为验证2015年7月22日（x，y，t）的抛物线偏微分方程（5）的唯一函数，即UoU内部的定量金融敏感性˙Draft46以及边界上的以下五个条件Ug的U（x，y，0）=ψ（x）=（x- K） +对于0<x<xB，0<y<yB（26）g（0，y，t）=0对于0<y<yB，0<t≤ τ (27)[T- rx十、-κθy+r]g（x，0，t）=0f或0<x<xB，0<t≤ τ（28）limx→xBxg（x，y，t）=1表示0<y<yB，0<t≤ τ（29）石灰→yByg（x，y，t）=0表示0<x<xB，0<t≤ τ（30）为了求解偏微分方程（5），我们用标准的数值模式对（4）中的椭圆算子L进行了离散化，众所周知，这种模式在离散化重新定义下是稳定的。在Achdou and Pironeau（2005）、Ikonen和Toivanen（2004）等多篇论文中讨论了期权定价的数值格式。对于Heston模型下的欧式期权，论文Haentjens（2013）和O’sullivan（2013）都给出了明确的具体数值格式。我们使用Ikonen和Toivanen（2004）中概述的二阶空间离散化，以及Oosterlee（2003）中给出的逆微分公式，在域U上应用非if形式的时空有限差分网格。让网格步数分别为x、y和t方向上的m、n和s。每个方向上的网格步长都表示为x=xB/m；y=yB/n；t=τ/s。在网格点处，g的值的索引如下gkij=g（xi，yj，tk）=g（ix、 jy、 kt） 对于i=0，Mj=0。

Nk=0，s、 4.1。Spa ce离散抛物线偏微分方程（5）中的所有空间偏导数都具有可变系数，因此在域的某些部分，一阶导数项可能主导二阶导数项。为了离散这些空间导数，我们对美式期权采用了inIkonen和Toivanen（2004）使用的空间离散化方案。在离散化之后，L成为Awell在Ikonen和Toivanen（2004）中研究的矩阵。回想一下，具有正对角元素和非正对角元素的严格对角占优的M矩阵具有良好的稳定性（见Varga（2000），Windisch（1989））。一般来说，A不是M矩阵，但正如Ikon en和Toivanen（2004）所述，当（5）的时间离散化具有足够小的时间步长时，A成为对角占优。我们应用Ikonen和Toivanen（2004）的七点空间离散格式来求解期权价格。对于空间导数，我们使用二阶精确有限差分格式f，即一阶导数的经典中心差分格式和二阶导数的常用三点差分格式。相应的有限差分算子为δxgki，j=gki+1，j- gki-1，j2x、 δygki，j=gki，j+1- gki，j-12y、 （31）δxgki，j=gki+1，j- 2gki，j+gki-1，jx、 δygki，j=gki，j+1- 2gki，j+gki，j-1.y、 （32）2015年7月22日定量金融敏感性˙Draft46在边界j=0上，通过以下迎风离散化方案（见Glowinski（2008））评估（28）中y方向的导数δygki，0=-3gki，0+4gki，1- 吉基，22岁y、 如Ikonen和Toivanen（2004）所述，混合导数使用七点模板δxy离散，其中2十、yδxygki，jis由2gki给出，j+gki+1，j+1+gki-1，j-1.- gki+1，j- gki-1，j- gki，j+1- gki，j-1.

（33）我们以与inIkonen和Toivanen（2004）相同的方式处理Neumann边界条件（29）和（30）。这种空间离散化产生了一个半离散方程，dgdt+Ag=B，其中a是mn×mn矩阵，B是长度为mn的列向量。长度mn的向量g收集网格点处的所有期权价格值。矢量B在x方向上将项du e收集到Neumann边界条件，不依赖于t.4.2。时间离散对于时间离散，如Oosterlee（2003）中所述，我们使用BDF2格式（后向差分公式），这是一种二阶精度的im-plicit格式Oosterlee（2003）。时间kt BDF2方案为3gk+1- 4gk+gk-12t+Agk+1=B，对于k=1，2，L- 1.Ikonen和Toivanen（2004）和Oosterlee（2003）研究了该方案的稳定性。在BDF2方案的每次迭代中，我们需要最后两次迭代的值。为了得到第一次迭代，我们使用Euler sch eme-Glowinski（2008）：给定初始值g，我们计算gbyg- Gt+Ag=B。在中等网格尺寸下，我们已经在数值上证明，初始边值问题的这种时空离散化选择为我们提供了期权价格的稳定解。在每个时间步，我们使用LU分解来求解以下线性方程组（I+tA）gk+1=gk-gk-1+ tB，（34）其中I是mn×mn单位矩阵。一旦在我们的离散网格上计算了函数g，我们就用一种与刚才描述的格式非常相似的数值格式来求解灵敏度方程（15）（19）。为了评估方程（15）的右侧，我们使用中心差分方案来描述g的第一空间导数，对于g的第二空间导数，使用与（32）相似的3点模板，对于g的混合二阶导数，使用与（33）相似的7点模板。

敏感性方程的时空离散化与上述相同，然后我们可以在2015年7月22日用于计算期权价格的定量金融敏感性˙Draft46的同一网格上求解这些离散方程。我们已经通过连续的网格元素从经验上验证了，这种数值模式生成了灵敏度方程解的转换近似值。5.Heston联合SDESSET价格的参数估计是直接观察到的，但平方波动率Yt不是直接观察到的，必须间接估计。最常见的YT估计值是通过期权价格分析得出的“隐含”平方波动率和“已实现”平方波动率（seeAndersen et al.（2003年）、Barndor ff-Nielsen（2002年）、Dachuna Castelle和Florens Zmirou（1986年）、Garman和Klass（1980年）、Genon Catalot和Jacod（1994年），用于估计已实现波动率）。对于我们对标准普尔500指数日数据的研究，以下是√YIT由V IX在dex中的多个执行版本提供。在具体情况下，可用的p rice数据是N个观测值Un=XnT，N=1，2，N、 其中，T是用户选择的固定ub采样时间，标准值为每日数据的T=1/252。二次抽样的平方波动率Vn=yntar不可观测，由^Vn估算，通常通过平方隐含波动率或实际波动率计算。调用Θ=（κ，θ，γ，ρ）Heston SDEs驱动Xt，Yt的未知参数向量。在配套的预印本中（见Azencott等人（2015b）、Azencott等人（2015a）、Ren（2014）），我们研究了Vnby平方实现波动率的替代如何影响Heston SDE参数向量的估计一致性。这些结果确定了大类渐近一致估计量FN=FN（V。

，VN），从而使Θ的相关可观测估计量^FN=FN（^V，…，^VN）保持渐近一致，前提是窗口长度r和子采样步长T在特定但明确的多项式速率下依赖于N。我们推测，在适当的假设下，用平方隐含波动率代替VN的渐近稳定性结果也成立。这种类型的渐近稳定性建议如下估计Θ。从N个可观测数据（Un=XnT，^Vn=^YnT）开始，这些数据是从资产价格Xt和未知方波动率Ytof Xt的估计值^y中抽取的。具体地说，^Ytis是通过平方已实现波动率或平方隐含波动率计算的。在Azencott和Gadhyan（2015）中，我们介绍并研究了Θ的长度显式离散最大似然估计FN（V，…，VN）。渐近inN，这些估计是一致的，几乎是最有效的，但它们当然不是直接可观测的，因为它们涉及真正的平方波动率Vn。然而，在下面的显式公式中，我们用其估计值^Vn替换每个Vn，这为我们提供了形式为^N=FN（^V，…，^Vn）的可观测估计值Θ，让我们描述一下如何根据Azencott and Gadhyan（2015）中的真实波动率计算“不可观测”估计值FN，其中，它是在赫斯顿联合SDE正式欧拉分解后通过似然最大化得出的。

这种方法可以得到五种有效的统计数据a、b、c、d、fa=NN-1Xn=0（Vn+1- Vn）Vn，b=-NN-1Xn=0Vn+1- VN，c=N（VN- 五） d=NN-1Xn=0Vn，f=NN-1Xn=0Vn。（35）2015年7月22日定量金融敏感性˙Draft46这些统计数据几乎可以肯定地验证a>0、d>0、f>0、df- 4>0，2af- c> 0D+f- 4 > 0.我们对κ，θ，γ的近似极大似然估计由^κ=-2b+cdT（df- 4） θ=bf+2c2b+cd，γ=aT-bf+4bc+cd2T（df- 4). （36）当N→ ∞ 在固定且足够小的情况下，我们在Azencott和Gadhyan（2015）中表明，当概率趋于1时，这三个估计器验证了所有所需的自然约束（3），并在概率上收敛到真实参数。回想一下，Heston SDE（1）-（2）涉及两个布朗运动Wt和Bt。一旦对κ、θ、γ进行了估计，用时间步长T对SDE（1）和（2）进行离散，就可以自然估计出μ和DZn，dbn的布朗增量W（n+1）T- WnTand B（n+1）T- BnT。ρ的自然估计量^ρ是dzn和DBn的经验相关性，这是一个只涉及N，T和V，V，…，的解释分数，越南。此时，“不可观测”估计量FN=（κ、θ、γ、ρ）在V、…、和，越南。在前面给出a、b、c、d、f和FN的公式中，我们现在用可观测的^Vn替换所有的Vn，以获得一个显式的可观测估计量^N，它与N渐近一致→ ∞ 前提是T固定且足够小。为了简洁起见，我们通常会省略下标N，因为在我们下面的数据研究中，观测值的数量N是固定的。呼叫Θ矢量（^Θ）- Θ）参数估计误差。

这些理论误差不一定在L中，因为1/Yt并不总是有一个有限的秒矩，但我们的估计量的任何轻微截断都消除了在具体数据的数值应用中的这种困难。的协方差矩阵∑Θ然后提供估计误差的L-大小及其相关性。我们在（Azencott and Gadhyan（2015年）、Gadhyan（2010年））中验证了，对于N中等偏大，可以生成误差协方差矩阵∑的合理经验估计，如下所示。使用N个观测值XnT，ynt计算我们的估计器向量^Θ的相关值。然后模拟由Θ参数化的联合Heston SDE驱动的大量随机扩散轨迹ωjofduration NT。这是通过Heston SDE的标准Euler时间离散化实现的，离散化时间步长δ<<T。然后，上面给出的显式估计公式为每个模拟轨迹ωj提供了随机向量^jo的一个值- Θ是协方差矩阵∑的自然估计量。参数估计误差对期权定价的影响为了实施期权定价，我们从基础资产价格和平方波动率的N个联合观察（XnT，YnT）开始，其中T是固定的已知（或用户选择）子采样时间步。如前所述，我们使用这些数据来计算Heston模型系数的向量的估计量^Θf。考虑基于该资产的欧式期权，给定执行价格K和到期日d ateτ。在期权定价PDE（5）中，将未知的Heston模型系数替换为刚刚计算的估值器。期权价格f（x，y，t）=g（x，y，τ）- t） 通过解（5）计算的结果是否受到（随机）误差的影响f（x，y，t）。我们的目标是计算期权定价误差的数值界限。

期权价格f（x，y，t）=g（x，y，τ）-t） 还取决于under lyingparameter vectorΘ和λ。目前，我们只考虑参数向量Θ中误差的影响。影响λ的估计误差的影响将在下文第7节中单独研究。截至2015年7月22日，定量金融敏感性˙Draft46简化符号，我们经常忽略f的变量（x，y，t，Θ，λ）和相关变量（x，y，τ- t、 Θ，λ）对于g.使用这种简写约定，期权定价错误f等于误差g a影响g（x，y，τ）-t）。对于足够大和足够小的N，估计误差向量 Θ =^Θ-Θ变得任意小（见Azencott and Gadhyan（2015）），因此可以合法地应用一阶泰勒展开来获得近似值f= G Θg。Θ. （37）对于每个固定的qu（x，y，t，Θ），参数估计误差对选项有扰动影响，我们通过f、 对于方程（37），我们有近似值ε Θg*. Σ. Θg，（38）其中梯度Θg应在（x，y，τ）处进行评估- t、 Θ），以及* 表示矩阵转置。因为∑是正定义，我们有∑i，j |<p∑i，i∑j，对于所有i，j∈ {1,2,3,4}，这意味着∈ R、 不平等≤ 五、*. Σ. 五、≤ （Xi=1…4 | vi |∑1/2i，i）。（39）关于κ、θ、γ、ρ的估计误差的平方L-范数sκ、sθ、sγ、sρ是对角线项∑i、iof∑，因此方程（39）和（38）产生上限ε≤ sκ|κg |+sθ|θg |+sγ|γg |+sρ|ρg |。（40）引入第3.1节中定义的期权价格敏感性Senκ、Senθ、Senγ、Senρ，最后的不等式变为ε≤ sκSenκ+sθSenθ+sγSenγ+sρSenρ=εκ+εθ+εγ+ερ，（41）其中分别影响κ、θ、γ、ρ的估计误差对期权定价的个体影响由εκ=sκSenκ、θ=sθSenθ、εγ=sγSen、ερ=sρ定义。(42)6.1.

标准普尔500指数和波动率指数的联合SDEs模型拟合对于下面研究的股市示例，我们确定了一个二次抽样时间T，我们认为N个可观测数据（Un=XnT，^Vn=^YnT）是从资产价格Xt和未知平方波动率Yt的估计值^y中二次抽样的。为了说明我们如何量化参数估计误差对期权定价的影响，我们研究了标普500指数上两个期权的情况。我们使用了一个数据集（SP X）n，（V IX）nof n=252，记录了2006年标准普尔500指数及其应用程序Proximate年化波动率VIX的联合每日观察值。回想一下，由CBOE维护的VIX通过30天到期的期权的隐含波动率来估计SPX波动率，并在每年252个交易日的标准基础上进行年度化（见Exchange（2003））。我们认为（SP X）的历史时间序列及其波动率指标是在市场测度P下观察的。在两次连续每日观察之间的常规时间间隔T=1/252后，每日SPX观察值用（SP X）n=xNt表示，其中（Xt，Yt）是由标准Heston SDE驱动的基本Heston过程，参数未知n 2015年7月22日定量金融敏感性˙draft46vectorΘ。给定N个联合日数据（SP X）N，（V IX）N，我们因此设置Un=XnT=（SP X）N，并估计不可观测的平方波动率Vn=YnTby^Vn=b×（V IX），其中固定系数b简单地解释了波动率中涉及的固定年化系数。