新古典增长模型中的近似聚集

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英文标题：
《Approximate aggregation in the neoclassical growth model with
  ideosyncratic shocks》
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作者：
Karsten Chipeniuk, Nets Hawk Katz, Todd Walker
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We provide an explicit aggregation in the neoclassical growth model with aggregate shocks and uninsurable employment risk. We show there are two restrictions on the unemployment shock for approximate aggregation to occur. First the probability of unemployment must be positive for each agent in each time period. That ensures a strong precautionary savings motive. Second, we must have like agents having similar future prospects. That is agents with similar employment status and wealth must have similar employment paths. The solution of the model must have distribution of wealth as a state variable and hence the curse of dimensionality must be confronted. We sidestep this thorny issue by introducing a Walrassian auctioneer that communicates the optimal amount of invested in every period for every outcome of the shocks to the agents.
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中文摘要：
我们在新古典增长模型中提供了一个显式的加总，其中包含总冲击和不可保险的就业风险。我们表明，对于发生近似聚集，失业冲击有两个限制。首先，在每个时间段，每个代理人的失业概率必须为正。这确保了一种强烈的预防性储蓄动机。第二，我们必须有类似的代理人，他们有着相似的未来前景。也就是说，具有相似就业地位和财富的代理人必须具有相似的就业路径。该模型的解必须将财富分配作为状态变量，因此必须面对维度灾难。我们回避了这个棘手的问题，引入了一位瓦拉森拍卖师，该拍卖师针对经纪人遭受的冲击的每一个结果，传达每个时期的最佳投资金额。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Classical Analysis and ODEs        经典分析与颂歌
分类描述：Special functions, orthogonal polynomials, harmonic analysis, ODE\'s, differential relations, calculus of variations, approximations, expansions, asymptotics
特殊函数、正交多项式、调和分析、Ode、微分关系、变分法、逼近、展开、渐近
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
--

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PDF下载：
--> Approximate_aggregation_in_the_neoclassical_growth_model_with_ideosyncratic_shocks.pdf (218.39 KB)

2022-5-6 03:34:31 上传

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关键词：新古典增长模型 新古典增长 增长模型 新古典 Neoclassical

具有特殊冲击的新古典增长模型中的近似聚集*Karsten O.Chipen iuk+Nets Hawk KatzTodd B.Walker§2014年3月初步和不完全摘要我们在新古典增长模型中提供了一个明确的聚集特征，包括聚集冲击和不可保险的就业风险。我们表明，就业冲击过程中有两个限制条件必须满足，才能保持近似的聚集。首先，每个时期每个代理人的失业概率都必须为正。这确保了强有力的预防性储蓄活动。第二，类似的代理必须有类似的未来前景。也就是说，具有相似就业冲击和财富分配的代理人不可能有显著不同的就业路径。模型解要求将财富分配作为一个相关的状态变量，因此必须面对维度诅咒。我们回避了这个棘手的问题，引入了一位沃尔拉斯拍卖师，该拍卖师为经纪人带来的每一次冲击，在每一个iod中提供最佳的总资本额。关键词：聚合、异构剂、不完全市场EL分类号：E21、D52、E24*Katz感谢NSF拨款DMS 1266104的支持。+加州理工学院数学系，kchipeni@caltech.edu加州理工学院数学系，nets@caltech.edu§印第安纳大学经济系，walkertb@indiana.eduChipeniuk，Katz&Walker:Approxical Aggregation 1简介带有不可保险特质的单部门新古典增长模型已成为宏观经济学的一个难题。该模型的早期版本用于检验不完全保险在永久收入假设、货币和规模政策、商业周期成本、资产定价等方面的作用。

这些论文产生了大量文献，证明了不完全市场假设的重要性，并导致该模型作为一种重要研究工具的流行。尽管很受欢迎，但很少有关于模型属性的分析结果。也许这方面最好的例子是聚合。关键信息是什么？（KS，以下简称）是指具有特殊风险和聚集冲击的新古典增长模型具有“近似聚集”特征KS采用了一种现在已经广为人知的数值方法，表明大多数代理人都可以通过资本积累进行自我保险。这些代理在状态变量中几乎有一个有效的策略函数，这允许聚合？？。在均衡状态下，存在一小部分接近借贷约束的代理人，但他们对总资本存量的总体贡献非常小，几乎可以忽略不计；因此，可以获得近似的聚合。虽然这个聚合结果是一个可靠的数值结果，但缺少正式的处理方法。这张纸填补了这个空白。我们的模型是具有有限数量的代理和时间段的KS模型。解决这个模型的主要挑战是，未来的资本价格取决于每个代理人的资产和就业状况。因此，财富分配是一个相关的国家变量。随着代理数量的增加，维度诅咒开始出现，这个问题变得难以维持。为了避免这个问题，我们引入了一位沃尔拉斯拍卖师，他为所有时间段和冲击的所有结果提前设定总资本水平。然后将该序列传送给代理。

有了这些知识，代理人就可以自由地进行投资消费分配，而不必知道财富的分配情况。我们证明了典型的代理人问题有一个唯一的解决方案，但在本文中，我们不接受解决瓦尔拉斯拍卖商问题的挑战。因此，我们不能断言我们的平衡的存在或唯一性。然而，这一设置确实允许我们提供聚集的完整特征。我们的主要定理给出了KS模型近似聚合的条件。我们证明了实现聚集所需的就业冲击有两个重要限制。首先，在每个时期，失业的概率都必须是正的。资本必须起到双重作用，即储存财富、促进跨时代的lChipeniuk、Katz&Walker：消费的近似总量替代，以及提供就业冲击保险。为了有效满足后一个条件，预防性储蓄必须足够高。每个时期的失业风险都确保了这一点。第二，具有相似背景的特工必须有相似的未来前景。财富几乎相同但就业前景迥异的经纪人不会有类似的消费比例。我们对员工就业途径的不同程度进行了界定。这些限制是对就业冲击施加的唯一限制。因此，我们的结果与KS的结果一致。2.环境2。1时间是离散的和有限的，由T个时段组成，并以T为索引。我们将使用新的日期从新信息到达开始的约定。任何已知或选择的变量都将被t.2.2索引，并且产品市场是完全竞争的。

聚合e生产技术为Cobb-Douglas，Yt=F（Kt-1，Lt）=ztKαt-1L1-αt，带α∈ [0,1]并汇总生产率冲击，zt。利润最大化带来了资本租赁率和工资率asRt=αztKt-1Ltα-1（1）重量=（1）- α） ztKt-1Ltα（2）2.3家庭有N个以j为指数的家庭，他们生活在T个时期。每个家庭根据toU（c，…，cT）=ETXt=1βt来计算消费量-1u（ct）（3）其中β∈ （0，1）是折扣系数。我们假设瞬时效用函数取常数相对风险规避（CRR A）u（ct）=（c1）的m-σt- 1)/(1 - σ） 因此，对于σ=1，u（ct）=对数ct。代理人被赋予每个时段一个单位的时间，不重视休闲。在t，ξt期间供应给市场的拉博尔家庭单位将是随机的，并且位于单位间隔上，以考虑失业、充分就业和就业不足。让随机变量ej，t∈ [0，1]表示属于Chipeniuk，Katz&Walker家族的工资账单份额：时间t时的近似聚合j。ej的可能值及其发生的概率构成了就业冲击。这些就业冲击会有一些限制，但也会足够普遍，足以在文献中找到标准假设[例如，KS]。目前，只要知道ej，twill可以依赖于之前的集合状态zt\'和就业状态ej，t\'，t\'，就足够了≤ t、 家庭有权以rt的time-t持有回报率使用资产。家庭j的流动预算约束可以写成cj，t=wtLtej，t+（1+rt）aj，t-1.- aj，t，其中aj，是家庭j持有的t期资产，其收益率为rt+1。我们假设代理行无法借款，因此将sset控股严格限制为正。也就是说，我们设定了自然借款限额。

市场清算将施加at=KT，我们可以重写预算约束ascj，t=wtLtej，t+（1+Rt- δ） kj，t-1.- kj，t（4），其中δ∈ （0，1）是资本的折旧率，家庭的资产收益率为rt=rt- δ、 2.4市场安排为了理性地做出决策，个体代理人必须考虑同行的选择。这很重要，因为总股本决定了资本支付的价格，从而决定了投资回报。总股本将是每个代理人财富的函数。一个完全理性的方法是让每个代理人跟踪财富随时间的分布，作为相关的聚合状态变量。如果N是“大的”，那么维度的诅咒就会占据上风，这就变得站不住脚了。取而代之的是，我们引入了一位沃尔拉斯拍卖师（以下简称拍卖师）来调解代理人之间的关系。她是唯一需要或使用财富分配知识的人。她的工作是设定资本存量的总水平Kt，1≤ T≤ T在所有时间段和冲击的所有结果中提前。拍卖师向每一位经纪人宣布她的选择。他们接受了她的预言。这就是他们的理性程度。拍卖师设定预测的方式只有一个限制。它们一定会成真。也就是说，对于任何t和之前冲击的任何结果，都必须是Kt=PNj=1kj，t，。这里右边的个人投资是解决经纪人问题的方法，左边的总投资是拍卖师的预测。我们指的是确保这些方程式适用于拍卖商的问题。方程组已确定：在冲击的结果树中，每个非终端节点有一个未知集合和一个方程。

这符合阿奇佩尼乌克、卡茨和沃克的精神：近似聚合一般均衡。每个节点，尽管可能无法实现，但都扮演着一个好角色。拍卖师必须确定价格，使供需平衡。对生产者问题的解决证明了代理人的有界性。他们相信是对的。每个代理都会根据给定的聚合资本优化其消费的预期贴现效用。我们称之为代理人的问题。代理人的问题有一个唯一的解决方案，这完全取决于代理人的初始资历和导演的预测。考虑代理人问题和拍卖师问题之间相互作用的一种方式是：可以考虑一种递归，其中拍卖师在所有可能的时间段内聚集，并且所有可能的结果都来自之前的冲击。然后，家庭解决代理人的问题，优化预期的贴现效用，并根据给定的生产者预测。因此，每个家庭j都会找到一个由随机变量{kj，t，cj，t}组成的唯一解，该解对应于t f期或每次冲击后的预期投资水平和相应消费。因此，拍卖师通过将kj、tacross家庭的价值相加，获得所需总量的清单。如果所需的总量与最初固定的总量相等，拍卖师已经解决了她的问题。否则，她将调整预测并重试。2.5竞争均衡竞争均衡是一种分配{（kj，t，cj，t）j∈[1，N]，Kt，Lt}Tt=1（5）和价格路径{Rt，wt}Tt=1（6），这样1。给定{Rt，wt，Kt}Tt=1，序列{（kj，t，cj，t）}Tt=1使每个j.2的约束（4）最大化。给定{Rt，wt}Tt=1，序列{Kt，Lt}Tt=1使每t的公司利润最大化。3。

资本市场和劳动力市场在每个时期都是清晰的。也就是说，PNj=1kj，t=Kt，Rt=Rt-δ、 andPNj=1ξj，t=Lt对于下面的每一个t.2.6递归公式，我们对资本进行完全折旧（δ=1）。这一假设只是简化了本次讨论的语言，Chipeniuk、Katz&Walker：近似汇总我们将在下文中看到，我们可以通过对某些影响变量的解释来重复相同的论点，但不完全折旧。允许Ohmt扣除t期投资的当前产出部分，并让sj，TBJ在该投资中所占份额。在总折旧（δ=1）的特殊情况下，利用柯布-道格拉斯生产技术要素份额的恒定性，我们可以根据当前产出Yt，cj，t=[（1- α） ej，t+αsj，t-1.- sj，tOhmt] Yt1≤ T≤ T（7）我们用ωj表示第j个代理人在总财富中的初始份额Yby，1：ωj，1=（1）- α） ej，1+αsj，0，（8）我们将ej，1和sj，0作为在做出任何决定之前已知的劳动力和资本的初始捐赠。当T=1时，代理问题的解决方法很简单。保存没有价值，所以所有东西都被消耗掉了：sj，每j 1=0。使用这个事实，当nt=2时，代理的问题可以写为max{ct}Tt=1c1-σ1 - σ+βEc1-σ1 - σ受制于c=[ωj，1- sj，1Ohm]Y、 c=[（1）- α） ej，2+αsj，1]y代替约束条件，问题变成了选择总投资份额sj，1的问题OhmY（由拍卖人指定），代理人将要求。每个人都将以最佳方式选择自己在总投资中的份额。在不平衡的情况下，代理人选择的股份可能会受到一厢情愿的影响，因为这样一个代理人解决他的问题可能会得出结论，他希望持有比拍卖人提供的更多的股份（sj，1>1）。

然而，拍卖人受到市场清算的约束，这种情况表明，只要拍卖人的问题没有得到解决，均衡就没有实现。解sj，1=f（ωj，1，ej，2，z，Ohm, Y） 上述问题中的一个表示值函数v（ωj，1；ej，2，z，Ohm, Y） =[（ωj，1- f（ωj，1，ej，2，z，Ohm, Y）Ohm)Y] 一,-σ1 - σ+βE[（αf（ωj，1，ej，2，z，Ohm, Y） +（1）- α） ej，2）Y]1-σ1 - σ注意，V包含对初始产出的依赖性，即Chipeniuk、Katz&Walker持有的该产出的分数：近似集合代理人、待投资的集合分数，以及代表未来冲击的随机变量。当T=3时，代理寻求最大化[（ωj，1- sj，1Ohm)Y] 一,-σ1 - σ+βev（αsj，1+（1- α） ej，2；ej，3，z，Ohm, Y） 其中，第二项是由两个时期的价值函数给出的贴现预期未来价值，该函数由投资回报αsj，1plus就业收入（1- α） ej，2在第2阶段开始时。上述问题的解现在产生一个判定规则sj，1=f（ωj，1，{ej，t}t=2，{zt}t=2{Ohmt} t=1，Y）（9）和相应的值函数v（ωj，1；{ej，t}t=2，{zt}t=2{Ohmt} t=1，Y）。（10） 在这个过程的基础上，对于一般（但有限）个周期T，我们得到了一个值函数vt（ω；{ej，T}Tt=2，{zt}Tt=2{Ohmt} t-1t=1，Y）=maxs（（ωj，1- sj，1Ohm)Y） 一,-σ1 - σ+βE VT-1[(1 - α） ej，2+αsj，1；{ej，t}Tt=3，{zt}Tt=3{Ohmt} t-1t=2，Y]。（11） 在LOG实用程序的情况下，会发生一种重要的简化。也就是说，主体的决定独立于初始聚合Y，因此我们可以重新表述问题，使值函数也独立于这个量。

这一结果让人想起最优投资组合文献，其中具有同质效用函数的代理人在独立于财富水平的高风险和无风险资产之间选择分配（参见？）。图1描述了总体经济的事件树视图，而图2是典型代理的对应图。如上所述，如图所示，日期为t的变量在该时期内是可选择或已知的。在这段时期的开始，冲击被实现，然后生产发生。这一时期以投资消费选择结束。最后，我们应该注意到，我们目前没有证据证明拍卖师的问题存在且唯一。我们提出以下猜想：猜想1：对于上述任意数量的N个代理人、m个时间段、初始捐赠的分布和就业冲击的选择，存在一个唯一的奇佩尼乌克、卡茨和沃克：近似聚合ytktctzt+1ξt+1Yt+1=zt+1KαtL1-αt+1Kt+1Ct+1Ohmt1- OhmTOhmt+11- Ohm图1：总体经济ωtYtktctzt+1et+1（αst+（1）- α） et+1）Ytkt+1ct+1Ohmt/ωt1- 圣Ohmt/ωtst+1Ohmt+1/ωt+11- st+1Ohmt+1/ωt+1tt+1图2：典型的Agent问题（ωt=αst+（1）- α） et+1）拍卖师问题的解决方案。我们目前还无法解决这个猜想，但正在积极研究。相反，我们提出的是一个关于该模型近似聚合程度的定理。回想一下，近似聚集是Krussel和Smith首次以非常强烈的方式在数值上观察到的一种现象。我们在这里所做的是提供一个相当弱的聚集形式的严格证明。由于我们无法解决拍卖商的问题，因此在获得模型解的严格存在性和唯一性方面，我们还没有真正的进展。