多项式项结构模型

另一方面，邯郸（z）=nb（z）zn-1+n（n）-1） σ（z）zn-2.-R（z）zn=zn-2.nb（z）z+n（n）-1） σ（z）-R（z）z∈ 因为括号中的项是多项式，我们有（8）nb（z）z+n（n）-1） σ（z）-R（z）z∈ F F.同样，由于-1.∈ 福南-2.∈ 我们有-1） b（z）z+（n-1） （n）-2） σ（z）-R（z）z∈ F F（9）（n）-2） b（z）z+（n-2） （n）-3） σ（z）-R（z）z∈ F.（10）自σ（z）=nb（z）z+n（n）-1） σ（z）-R（z）z+（n）-2） b（z）z+（n-2） （n）-3） σ（z）-R（z）z-2.（n）-1） b（z）z+（n-1） （n）-2） σ（z）-R（z）z夹杂物（8）、（9）和（10）一起产生（11）σ∈ F同样，自Czb（z）=nb（z）z+n（n）-1） σ（z）-R（z）z-（n）-1） b（z）z+（n-1） （n）-2） σ（z）-R（z）z-（n）-1） σ夹杂（8）、（9）和（11）一起产生（12）b∈ F.最后，夹杂物（8）、（11）和（12）一起屈服∈ F.回想一下，n.现在代替R（z）=∑k=0Rkzk，b（z）=∑k=0bkzk，σ（z）=∑k=0Akzk，用于定义An，并将zn+2的系数设置为零（13）nb+n（n-1） a=r类似地，等于任何场Nb+n（n）展开式中zn+1的系数为零-1） a=R。最后，在a的展开式中，zn+1的系数等于零-收益率（14）（n）-1） b+（n-1） （n）-2） a=r注意等式（13）和（14）一起是等效的toR=nb=-n（n）-1） a.最后，将这些表达式代入方程（7），并比较这些单项式的系数，得出常微分方程组的gi函数。2.1. 有界状态空间的重要性。在本节的最后部分，我们将详细讨论假设2.1的重要性。连同本节开头的假设2.1，我们将看到定理2.3具有财务影响。对于技术问题，我们从以下引理开始：引理2.9。设F:R+×I→ R是连续函数，Z是状态空间I=（`，R）的随机过程。

如果有任何开放时间间隔 一、 存在0<t<tsuch-thatP（Zt）∈ A.T∈ [t，t]）>0if对于任何固定的t>0，F（t-t、 Zt（ω））=0，几乎每个（t，ω），那么f（x，z）=0（x，z）∈ R+×IProof。假设一些（x，z）的F（x，z）6=0∈ R+×I.然后通过F的连续性，在（x，z）B={（x，z）|x周围存在一些矩形B≤ 十、≤ 十、Z≤ Z≤ z} 对于任意（x，z）的F（x，z）6=0∈ B.现在设置打开间隔A=（z.z） 应用引理的条件，存在一些t<tsuch thatP{ω：z<Zt（ω）<z，t≤T≤ t} >现在让t=min{t，t+x-x} 和fix T=T+x。考虑函数F（T+x-·,Z·（·））：[0，t+x]×Ohm → R在集合D上求值，其中D=[t，t]×{ω：z<Zt（ω）<z，t≤T≤ t} 然后，通过定义D，F的第一个参数将在[x，x]范围内，第二个参数将在[z，z]范围内。因此，我们知道，在D上，F 6=0，具有非零度量。矛盾利用上述引理，我们可以证明以下定理，将代数定理2.3与某些财务方面联系起来。定理2.10。假设存在有界开区间I R和连续函数SB:I→ R、 σ：我→ R*R:我→ R+使溶液（Zt）t≥0到SDE，从任意点z开始∈ IdZt=b（Zt）dt+σ（Zt）dWt，Z=Z∈ 我的财产是∈ 一） =1，T≥ 0对于任何开放间隔A 一、 存在0<t<tsuch-thatP（Zt）∈ A.T∈ [t，t]）>0然后函数H（x，z）：R+×I→ R在K×I上有界，其中K R+是任何紧区间，是PDE的解决方案xH=bzH+σzzH-Rh受边界条件H（0，z）=1的约束∈Iif且仅当工艺（Mt）t≤Tde由MT定义=经验-ZtR（Zs）dsH（T）-t、 Zt）是每个固定t>0的真鞅，其中H∈C1,2（R+×I）。备注2.11。对于任何固定的T>0，过程（Mt）T≤这是一个真正的鞅等价于表达式：Ehe-RTtR（Zs）ds | Fti=H（T-t、 Zt）上述公式具有财务解释。

事实上，如果我们确定即期汇率过程（rt）t≥0as rt=R（Zt），债券价格Pt（T）=H（T-t、 Zt），则上述公式意味着债券价格模型不允许资产定价第一基本定理意义上的套利。证据如果过程（Mt）没有≤对于任何固定的T>0，这是一个真正的鞅，然后通过在Mt上应用伊藤公式，我们必须使漂移项消失。xH-BzH-σzzH+RH=0，在（T）处评估-t、 Zt）通过设置F=xH-BzH-σ在前面的引理中，我们得出结论，H是偏微分方程的解。即xH-BzH-σzzH+RH=0表示所有（x，z）∈ H的R+×i有界性由R≥ 0，因此对于任何固定的T>0,0≤ Ehe-RTtR（Zs）ds | Fti=H（T-t、 （Zt）≤ 1相反，如果H解出PDE，则过程（Mt）t≤对于任何大于0的函数都是局部鞅。因为H是有界的，R≥ 0，则过程（Mt）t≤这是一个有界局部鞅，因此是一个真鞅。备注2.12。实际上，只要即期汇率函数R是有界的，而不是严格正的，上述定理仍然成立。因此，多项式模型不存在套利，但可能允许负即期汇率。然而，由于只允许非负利率通常是利率模型所期望的属性，我们将坚持使用非负利率的情况。备注2.13。考虑情况d=1，假设函数H:R+×I→ R采用等式（4）的多项式形式。如果H是有界的，那么状态空间I 如果因子过程是有界的。（但是，请注意，对于指数多项式模型，H的有界性并不意味着I的有界性。）上述定理2.10表明，我们需要找到状态空间I有界的因子过程Z。

这可以通过应用Feller的爆炸测试来实现，因此对函数b（z）、a（z）有进一步的限制。在继续之前，我们简要介绍一下Feller的测试。我们假设一个开放区间I=（`，r），其中`<r∈ R.考虑SDEdZt=b（Zt）dt+pa（Zt）dWt，Z=Z∈ 我在这里b：我→ R和a：我→ R*给出了满足局部可积条件的可测函数：（15）ZKa（z）+b（z）a（z）dy<∞, 尽管如此 在爆炸时间定义为：S=inf{t>0:Xt之前，存在唯一的弱解/∈ （`，r）}Feller的测试函数定义为asv（x）：=ZxcZxza（z）eRzy2b（w）a（w）dwdydz，x∈ 对于某些固定常数c∈ I.定理2.14（费勒爆炸试验）。根据上述假设，P（S=∞) = 1.<=>利克斯↓`v（x）=∞ = 利克斯↑rv（x）和Feller测试函数v（x）的完整性与常数c的选择无关。引理2.15。在多项式模型中，如果因子过程（Zt）t≥0是非爆炸性的，并且有丰富的状态空间I。那么a（z）必须至少有两个不同的实根。证据在多项式模型中，函数b（z）、a（z）必须是多项式，因此局部可积条件（15）保持在某个有界区间I上。假设a（z）没有实根。那么对于任何z，a（z）6=0∈R.因此，Feller的测试函数v（x）将在所有x中都是有限的∈ R.如果a（z）只有一个实数根d，那么v（x）对于所有x 6=d都是有限的。因此，在这两种情况下，我们都无法找到两个不同的实数`，R，使得limx↓`v（x）=∞ = 利克斯↑rv（x）。通过Feller的检验，状态空间I，如果存在，必须是无界的。2.2. 具有唯一有界解的多项式SDE。通过到目前为止的讨论，我们可以理解有界因子过程Z在多项式模型中所起的作用。

I.3可能是一个代数模型，它将引导我们写出一个更具体的代数模型。因此，如果SDE恰好有一个解（不一定有界），那么以下模型是无套利的：即期利率过程rt:=R（Zt）时间t到期债券的价格t Pt（t）：=n∑k=0gk（T-t） 因为贴现债券价格是每个到期日t>0的局部鞅。特别是，如果SDE有一个有界解，那么上述模型不仅没有套利，而且还允许以下定价恒等式：Pt（T）：=n∑k=0gk（T-t） Zkt=Ehe-RTtR（Zs）ds | FTI因此，我们被敦促确定我们从应用algebraictheorem 2.3中获得的候选SDE是否允许这样的定价公式。下面的定理可以解决这个问题。它以多项式漂移和波动平方为特征，在有界状态空间中具有唯一解。定理2.16（具有唯一有界解的多项式系数的SDE特征）。假设a（z）和b（z）是多项式，其中a（`）=a（r）=0和a（z）>0表示`<z<r.LetD（z）：=2b（z）+a（z）h（a（z），b（z）），其中h（x，y）=1，x=y=0-1，否则以下各项是等效的：（1）对于每个z∈ （`，r）SDEdZt=b（Zt）+pa（Zt）dWthas是一个在（`，r）中取值的唯一强解，使得Z=Z（2）D（`）≥ 0≥ D（r）。在证明上述定理之前，我们将发现以下引理是有用的。引理2.17。假设a（z）和b（z）是多项式，对于某些常数c，区间c<z<r上的a（r）=0和a（z）>0。假设我们写a（z）=a（z）（r）-z） α和b（z）=b（z）（r-z） 某些整数α的β≥ 1, β ≥ 使得A（z），B（z）是A（r）6=0 6=B（r）的多项式。

净债务=2B（r）A（r）∈ R\\{0}和v（x）=ZxcZxza（z）eRzy2b（w）a（w）dwdydz那么下列陈述成立：（i）如果α=1，β=0，那么limx↑rv（x）=∞ 如果且仅当T≤ -1（ii）如果α=1，β≥ 1，然后limx↑rv（x）<∞（iii）如果α≥ 2，β=0，那么limx↑rv（x）=∞ 当且仅当T<0（iv）如果α≥ 2,β ≥ 1，然后limx↑rv（x）=∞证据在进行实际证明之前，我们首先确定符号F（x）~ g（x）as x→卡斯利姆→cf（x）g（x）=1还请注意，积分v（r）=ZrcZrza（z）eRzy2b（w）a（w）dwdydz很好地定义了可能的值∞ 因为被积函数是非负的。首先我们考虑α=1的情况，有两个子类需要考虑。副酶1：β≥ 在这种情况下，我们有：2b（w）a（w）=2b（w）a（w）（r）-w） β-1点w=r附近没有奇点，因此函数ZY2B（w）a（w）DW是连续的，且在区间[c，r]上有界。因此我们有：v（r）=ZrcZrza（z）eRzy2b（w）a（w）dwdydz<∞仅仅是因为（z）dydz<∞.子类2：β=0We First sete（w）：=2b（w）a（w）-T（r）-w）-因此e（w）是区间[c，r]上的连续函数，尤其是当w↑ r、 我们可以在这里应用医院规则：limw↑re（w）=limw↑r2B（w）A（w）-Tr-w=2·B（r）A（r）-B（r）A（r）A（r）<∞ 既然A（r）6=0，那么e（w）也在区间[c，r]上有界，我们就有以下估计：Zzy2b（w）A（w）dw=ZzyT（r）-w）-1+e（w）dw=T·logR-你-Z+ E（y，z），其中误差项E（y，z）有界为y，z∈ 因此，通过积分中值定理，我们得到：v（r）=ZrcZrza（z）eRzy2b（w）a（w）dwdydz=ZrcA（z）（r）-z） ZrzR-你-ZT·eE（y，z）dydz=ZrcA（z）（r）-z）-1.-T·eE（η（z），z）Zrz（r）-y） 其中η（z）是（z，r）中的某个常数。很明显，v（r）的完整性取决于积分Zrc（r-z）-1.-TZrz（r）-y） 因为被积函数A的剩余部分-1（z）eE（η（z），z）在积分区间[c，r]上是有限的。

显然，上述积分是有限的当且仅当T≤ -1.因此v（r）=∞ 如果且仅当T≤ -1.对于α≥ 2.有三个子类别需要考虑。副酶1：β≥ 在这种情况下，我们有：2b（w）a（w）=2b（w）a（w）（r）-w） β-α且在点w=r附近没有奇点，因此函数ZY2B（w）a（w）DW是连续的，且在区间[c，r]上有界。因此我们有：v（r）=ZrcZrza（z）eRzy2b（w）a（w）dwdydz=∞简单地说是因为rRcrrza（z）dydz=∞.子类2：β=α-1在这种情况下，我们有↑ r、 2b（w）a（w）~ T（r）-w） β-α那么对于任何ε>0，当y，z接近r时，我们有（1）-ε） TZzy（r）-w） β-αdw<Zzy2b（w）a（w）dw<1+ε）TZzy（r-w） β-αdwor（1+ε）TZzy（r-w） β-αdw<Zzy2b（w）a（w）dw<1-ε） TZzy（r）-w） β-αdw取决于T的符号。因此，当选取任意接近r的常数c时，我们必须确保v（r）的值在u（1）之间-ε） T）和u（（1+ε）T），其中u（T）定义为asu（T）：=ZrcZrza（z）etRzy（r-w） β-副酶β的αdwdydz-α = -1，我们有：u（t）=ZrcZrzA（z）（r）-z） α（r）-y） t（r）-z）-tdydz=ZrcA（z）（r）-z） α+tZrz（r-y） TDYDZT≤ -1，u（t）=∞ 自塞兹尔茨（r）-y） t=∞另一方面，当t>-1，u（t）=ZrcA（z）（r）-z）-α-t·t+1（r）-z） t+1dz=Zrc（t+1）A（z）（r）-z） 一,-αdz=∞ 自α≥ 2V（r）=∞ 因为u（（1）-ε） T）和u（（1+ε）T）都是∞.子类别3:0≤β ≤ α -2在这种情况下，我们再次得到v（r）的值在u（1）之间-ε） T）和u（（1+ε）T），其中u（T）在子类2中定义。自从β-α ≤ -2，u（t）的形式为：u（t）=ZrcZrzA（z）（r）-z） αetβ-α+1（（r-y） β-α+1-（r）-z） β-α+1）dydz=ZrcA（z）（r）-z） αe-tβ-α+1（r）-z） β-α+1Zrzetβ-α+1（r）-y） β-α+1dydzif t<0然后tβ-α+1>0和henceZrzetβ-α+1（r）-y） β-α+1dy>etβ-α+1（r）-z） β-α+1Zrzdy=etβ-α+1（r）-z） β-α+1（r）-z） andu（t）>ZrcA（z）（r）-z） α（r）-z） dz=∞因此v（r）=∞ 当T<0时，由于u（（1-ε） T）和u（（1+ε）T）是∞ 在这种情况下。如果t>0，则letf（z）A（z）是u（t）的被积函数。

i、 e.f（z）=（r）-z） αe-tβ-α+1（r）-z） β-α+1Zrzetβ-α+1（r）-y） β-α+1对于任何-1.≤ γ<0，我们有f（z）（r）-z） γ=Rrzetβ-α+1（r）-y） β-α+1dy（r）-z） α+γetβ-α+1（r）-z） β-α+1说明我们有条件α≥ 2, β -α ≤ -2.-1.≤ γ<0，t>0。因此作为z↑ 分子和分母趋于0，我们可以应用L\'Hospitals规则和getlimz↑rf（z）（r）-z） γ=limz↑r（α+γ）（r-z） α+γ-1+t（r）-z） β+γ因此当β=0时，我们可以取γ=-得出结论limz↑rf（z）（r）-z） γ=0。Thenu（t）=Zrcf（z）dz<Zrc（r）-z）-dz<∞ 当c接近r，因此v（r）<∞ 当T>0且β=0时，因为-ε） T）和u（（1+ε）T）在这种情况下是有限的。当β≥ 1，我们可以取γ=-1.得出limz↑rf（z）（r）-z） γ=∞. 然后u（t）=Zrcf（z）dz>Zrc（r）-z）-1dz=∞ 当c接近r，因此v（r）=∞ 当T>0和β≥ 1，因为两个u（（1-ε） T）和u（（1+ε）T）是∞ 在这种情况下。备注2.18。对于另一个极限点，我们可以重新定义a（z）=a（z）（z）-`)α、 b（z）=b（z）（z）-`)β和T=2B（`）A（`）。当我们替换T时，结论是相同的≤ -1和T<0乘以T≥ 1和t>0。现在我们准备证明定理2.16。证据通过应用费勒爆炸试验定理，我们可以证明D（`）≥ 0≥ D（r）当且仅当iflimx↓`v（x）=∞ = 利克斯↑rv（x），其中v（x）是伐木工人的测试功能。我们将考虑上限r，另一个极限相似。通过使用前面的引理，可以证明D（r）≤ 0当且仅当前面引理中从（i）到（iv）的一个例子成立，这可以逐案检查。2.3. 结论：一种算法。总之，多项式模型的搜索算法可以描述如下：步骤1：我们通过使用定理2.3对b，σ施加约束，以找到因子过程必须满足的候选SDEdZt=b（Zt）dt+σ（Zt）dwt。

到目前阶段，尚不能保证SDE有解决方案。第2步：然后我们应用定理2.16对函数b，σ施加进一步的约束，使SDE有唯一的有界非爆炸解。定理2.10确保我们正在考虑的模型在所有贴现的零息债券价格都是真鞅的意义上不存在套利。第3步：再次撤销定理2.3，以求解系数函数（gi），从而完全建立多项式模型。备注2.19。细心的读者可能会注意到，在步骤2中，我们没有在定理2中检查条件。10，即对于任何开放间隔A 一、 存在0<t<tsuch-thatP（Zt）∈ A.T∈ [t，t]）>0然而，通过简单应用Feller检验，这个条件成立。实际上，在多项式模型的情况下，函数b（z），a（z）是多项式。取任意A=（m，n） （`，r）=I，函数a（z）和b（z）a（z）的局部可积性条件意味着费勒的测试函数v（x）在点x=m，n处的评估是有限的。因此，通过应用Feller的testP（Tm<∞) = 1=P（Tn<∞)式中，Tm，Tn是点m，n的命中时间。在不丧失普遍性的情况下，假设最初，过程Z从点Z=Z<m开始。然后，通过过程Z的连续性，我们必须得出P（Tm<Tn<∞) = 因此存在一些t<t<t<t<Tn<∞) > 这正是我们想要的条件。3.两个例子在本节中，我们将考虑两个明确的参数化模型族。它们都是对应于n=2的二次模型。我们将解决这些问题，并尝试使用2006年至2014年的美国国债利率来校准参数。我们从雅虎金融获取数据，表1显示了一些原始数据。

每周对11个不同的成熟期数据进行采样。日期1M 3M 6M 1Y 2Y 3Y 5Y 7Y 10Y 20Y 30Y060210 4.33 4.5 4.68 4.67 4.64 4.61 4.54 4.55 4.56 4.73 4.53060217 4.39 4.55 4.7 4.7 4.69 4.67 4.59 4.58 4.59 4.76 4.56。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。140502 0.01 0.03 0.05 0.1 0.43 0.89 1.7 2.25 2.66 3.2 3.44140509 0.02 0.03 0.05 0.1 0.41 0.89 1.65 2.19 2.62 3.15 3.42表1。2006年6月10日至2014年5月9日期间的美国国库券利率，严格抽样，到期时间从1个月到30年不等。共有430×11次观测。表中的数字是百分比。完整的表格共包含430个样本日期。这里我们只提供第一个和最后两个样本日期的数据。一般来说，给定任何参数模型，让yi（x）是我从模型中计算出的到期时间。我们可以通过最小化数据中观察到的产量的平方和来校准模型参数。更具体地说，让Yi（xj）表示第i个样本日期的观测收益率，以及到期时间xj。我们希望选择模型参数，使下面定义的误差很小：E：=∑i、 j（易（xj）-yi（xj））在实践中，假设模型参数λ取参数空间∧中的值 Rk，我们可以从选择任意λ开始∈ 并计算相应的E（λ），E（λ）。然后我们可以比较E（λ）和E（λ），并且只有当E（λ）<E（λ）时才保持λ。否则，我们放弃λ并尝试在参数空间∧中随机选择一个新的候选λ。可以编写一个程序多次执行上述算法，得到的参数值可以很好地拟合数据。现在我们将介绍第一个示例，然后使用上述算法来拟合数据。示例3.1（四参数族）。这里，即期汇率过程r解出SDEdrt=α（β-rt）dt+prt（k）-rt）（`-rt）dwt，参数α>0和0<β<k<`。